(整理)全国高中数学联赛试卷及答案

《(整理)全国高中数学联赛试卷及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(整理)全国高中数学联赛试卷及答案（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、（2）可能造成轻度环境影响的建设项目，编制环境影响报告表，对产生的环境影响进行分析或者专项评价；安全评价可针对一个特定的对象，也可针对一定的区域范围。 1999年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1 给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6, bn=a3n-2+a3n-1+a3n,，则数列bn 【答】（ ）(A) 是等差数列

2、(B) 是公比为q的等比数列(C) 是公比为q3的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列2 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x|-1)2+(|y|-1)22的整点(x,y)的个数是 【答】（ ）(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 253 若(log23)x-(log53)x(log23)-(log53)，则 【答】（ ）(A) x-y0 (B) x+y0 (C) x-y0 (D) x+y04 给定下列两个关于异面直线的命题：命题：若平面a上的直线a与平面b上的直线b为异面直线，直线c是a与b的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题

3、：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么 【答】（ ）(A) 命题正确，命题不正确 (B) 命题正确，命题不正确(C) 两个命题都正确 (D) 两个命题都不正确5 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 36 已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，ABC是 (A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定 【答】（ ）二、填空

4、题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7. 已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是_.8. 已知=arctg，那么，复数的辐角主值是_.9. 在ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，则=_.10. 已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_.11. 已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数

5、是_.12. 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30, SA=2。那么三棱锥S-ABC的体积为_.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13. 已知当x0,1时，不等式恒成立，试求的取值范围。14. 给定A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的坐标。15. 给定正整数n和正数M，对于满足条件M的所有等差数列a1,a2,a3,.，试求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值。 第二试一、(满分50分) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，

6、BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC=EAC.二、(满分50分) 给定实数a, b, c，已知复数z1 , z2 , z3 满足：，求|az1+bz2+cz3|的值。三、(满分50分) 给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。 1999年全国高中数学联合竞赛答案一、选择题题号123456答案CABDBC提示：1.(C). 由题设，因此，是公比为的等比数列.2.(A) 由,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0

7、)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个.3.(B) 记f(t)= ，则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)f(-y).故x-y，即x+y0.4.(D). 易知命题不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题也不正确. 5.(B) 设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛.由题意，可得，即=44+r.由于0r3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数.6.(C) 设B(t 2,2t),C(s 2,2s),st,s1,t1，则直线BC的方程为，化

8、得2x-(s+t)y+2st=0.由于直线BC过点(5，-2)，故25-(s+t)(-2)+2st=0，即(s+1)(t+1)= - 4.因此，,所以，BAC=90，从而ABC是直角三角形.二、填空题题号789101112答案6 43提示：7. 6. 首项为a为的连续k个正整数之和为由Sk2000，可得60k62.当k=60时，Sk=60a+3059，由Sk2000，可得a3，故Sk=1830,1890,1950；当k=61时，Sk=61a+3061，由Sk2000，可得a2，故Sk=1891，1952；当k=62时，Sk=62a+3161，由Sk2000，可得a1，故Sk=1953.于是，题

9、中的n有6个.8. z的辐角主值 argz=arg(12+5i)2 (239-i)=arg(119+120i) (239-i) =arg28561+28561i=9. . 10.记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4, b=3, c=5, ,右准线l为. 如果P在双曲线右支，则 |PF1 |=|PF2 |+2a=ed+2a.从而，|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a2d，这不可能；故P在双曲线的左支，则 |PF2|PF1|=2a , |PF1|+|PF2|=2d.两式相加得2|PF2|=2a+2d. 又|PF2|=ed

10、,从而ed=a+d.故. 因此，P的横坐标为.11. 43 设倾斜角为，则tg=-0.不妨设a0，则b0, sin=f(0)0. (1)取x (0，1)，由于 ，所以，恒成立，当且仅当 (2 )先在0,2中解(1)与(2)：由cos0,sin0，可得0注意到02，故有2 ,所以， .因此，原题中的取值范围是2k+0，则cos=f(1)0,sin=f(0)0. (1)取 x0= (0，1)，则 由于 +2x(1-x)，所以，00 (2)反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sin0，f(1)=cos0，且x(0，1)时，f(x)2x(1-x)0先在0,2中解(1)与(2)：由cos0,sin0

11、，可得00, , sin2, sin2,注意到 02，故有 2 ,所以， .因此，原题中的取值范围是 2k+2k+ ,kZ 14. 记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e.则a=5,b=4,c=3,e=，左准线为x=, 过点B作左准线x=的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，垂足为M.由椭圆定义，|BN|=|BF| .于是，|AB|+|BF|=|AB|+|BN|AM|(定值)，等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时，此时B(，2) , 所以，当|AB|+|BF|取最小值时，B的坐标为(，2).15. 设公差为d,=,则S= =(n+1)+d.故 .则 因此 |S|(n+1)

12、，且当 =,d= 时，S=(n+1)+ =(n+1) =(n+1)由于此时4=3nd,故 所以，S的最大值为(n+1)（5）为保障评价对象建成或实施后能安全运行，应从评价对象的总图布置、功能分布、工艺流程、设施、设备、装置等方面提出安全技术对策措施；从评价对象的组织机构设置、人员管理、物料管理、应急救援管理等方面提出安全管理对策措施；从保证评价对象安全运行的需要提出其他安全对策措施。对策措施的建议应有针对性、技术可行性和经济合理性，可分为应采纳和宜采纳两种类型。1999年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准安全预评价方法可分为定性评价方法和定量评价方法。一、解析：连结BD交AC于H对BC

13、D用塞瓦定理，可得 因为AH是BAD的平分线，由角平分线定理，可得 故 过点C作AB的平行线AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J则 . 所以， 从而，CI=CJ.又因为 CIAB，CJAD，故 ACI=-ABC=-DAC=ACJ因此，ACIACJ从而，IAC=JAC，即 GAC=EAC（3）环境影响技术评估。二、解析： 记 ei=cos+isin可设 ，则 由题设，有ei+ei+e-i(+)=1.两边取虚部，有0=sin+sin-sin(+)故=2k或=2k或+=2k，kZ因而，z1=z2或z2=z3或z3=z1如果z1=z2，代入原式即 故 这时，|az1+bz2+cz3

14、|=|z1|a+bci|=类似地，如果z2=z3,则|az1+bz2+cz3|=;如果z3=z1,则|az1+bz2+cz3|=所以，|az1+bz2+cz3|的值为或 或 三、解析：(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,ak，且1a1a2ak，aiZ，1ik因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为 xiai,xi-1，0，1若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，,n的物品，则上述表示式中含有1，2，n，由对称性易知也含有0，-1，-2，-n，即xiai|xi-1，0，10,1，n所以，2n+1=|0，1，n| |xiai|xi-1，0，1|3k，即 n设 n (m1,mZ)，则km且

15、k=m时，可取a1=1,a2=3,am=3m-1 由数的三进制表示可知，对任意0p3m-1,都有p=yi3i-1，其中yi0，1，2则 p-=yi3i-1-3i-1=(yi-1)3i-1 令xi=yi-1，则xi-1，0，1故对一切-l 的整数l，都有l=xi3i-1 ,其中xi-1，0，1由于n，因此，对一切-nln的整数l，也有上述表示综上，可知k的最小值f(n)=m(n) .2.早期介入原则；(2).当n3 时，由(1)可知1，3，3m-1，3m就是一种砝码的组成方式下面我们证明1，3，3m-1,3m-1也是一种方式若1l ，由(1)可知l=xi3i-1，xi-1，0，1则 l=xi3i

16、-1+0(3m-1)；若 ln3 ，则 l+1由(1)可知l+1=，其中xi-1，0，1易知xm+1=1(否则l3i-1-1=-1,矛盾)则l=(3m-1)所以，当n时，f(n)块砝码的组成方式不惟一（五）安全预评价方法.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的，即ai=3i-1(1im)若对每个-l,都有l=xiai，xi-1，0，1即 xiai|xi-1，0，10,1，注意左边集合中至多有3m个元素故必有xiai|xi-1，0，1=0,1，从而，对每个l，-l ,都可以惟一地表示为l=xiai，其中xi-1,0,1因而，ai=则(xi+1)ai=xiai+ai=xiai

17、+令yi=xi+1,则yi0，1，2由上可知，对每个0l3m-1，都可以惟一地表示为l=yiai，其中yi0，1，2特别地，易知1a1a2am分类具体内容应编写的环境影响评价文件下面用归纳法证明ai=3i-1(1im)当i=1时，易知yiai中最小的正整数是a1,故a1=1假设当1ip时，ai=3i-1 由于yiai=yi3i-1, yi0，1，2就是数的三进制表示，易知它们正好是0，1，2，,3p-1，故ap+1应是除上述表示外yiai|yi0,1,2中最小的数，因此，ap+1=3p由归纳法可知，ai=3i-1(1im)规划审批机关在审批专项规划草案时，应当将环境影响报告书结论以及审查意见作为决策的重要依据。综合，可知，当且仅当n=时，上述f(n)块砝码的组成方式是惟一确定的1.直接市场评估法