《希尔伯特黄变换》PPT课件.ppt

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1、希尔伯特黄变换 黄诚惕，希尔伯特 -黄变换及其应用研究 提要 1)分析了时变信号处理的发展及现状 2)介绍时变信号处理常用方法和新的 时变信号处理方法， HHT信号分析方 法 1)分析了时变信号处理的发展过程及现状 传统的信号分析与处理都是建立在傅立叶分析的基础 上的，它有三个基本的假设：线性、高斯性和平稳 性，建立的是一种理想的模型。傅立叶分析在科学与 技术的所有领域中发挥着十分重要的作用，但是它使 用的是一种全局的变换，因此无法表述信号的时频局 部性能，而这种性质恰恰是非平稳 (时变 )信号最根本和 最关键的性质，因此就不适合用于分析非平稳信号。 现实生活中存在的自然或是人工的信号大多是非

2、平稳 信号，如语音信号、机械振动信号、心电信号、雷达 信号及地震信号等。因此为了分析和处理非平稳 (时变 ) 信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革 命，提出并发展了一系列新的信号分析与处理理论， 即非平稳 (时变 )信号分析与处理。 2 HHT Huang于 1998年提出了一种新的信号分析方法 希尔伯特一黄变换 (Hilbert Huang Transform， 简称为 HHT)。应用这个方法时需执行两个基 本步骤：首先，用 EMD方法 (The empirical mode decomposition method )把信号分解成一些 本征模态函数 (intrinsic Mode

3、 Function，简称为 IMF)。接着，对分解得到的 IMF分量进行 Hibert变换，从而得出时频平面上的能量分布 谱图 (Hilbert谱 )。下面对这个方法中所涉及到 的一些概念进行简要说明： 对任意的时间序列 X(t)， Hilbert变换 Y(t)定义为： (1) 这里 P表示柯西主值，变换对所有 类成立。根据 这一定义，当 X(t)与 Y(t)形成一个复共轭时，就可得 到一个解析信号 Z(t)： Z(t)=X(t)+iY(t)=a(t) (2) (3) 这样， Hilben变换提供了一个独特的定义幅度与相位 的函数。式 (1)定义 Hilbert变换为 X(t)与 1/t的卷积

4、；因 此它强调了 X(t)的局部特性：它是一个幅度与相位变 化的三角函数 X(t)的最好局部近似。在 Hilbert变换中， 用下式定义瞬时频率： (4) dtXPtY 1 pL tie tX tYttYtXta a r c t a n,22 dt td 对于一个简单的信号例如正弦信号，只有满足局 部对称于零均值时，其瞬时频率才有意义。 2.1本征模态函数 (IMF)的概念 在物理上，如果瞬时频率有意义，那么函数必须是对 称的，局部均值为零，并且具有相同的过零点和极值 点数目。在此基础上， NordneE.Huang等人提出了本征 模函数 (Intrinsic Mode Function，简称

5、 IMF)的概念。本 征模函数任意一点的瞬时频率都是有意义的。 Hunag等 人认为任何信号都是由若干本征模函数组成，任何时 候，一个信号都可以包含若干个本征模函数，如果本 征模函数之间相互重叠，便形成复合信号。 EMD分解 的目的就是为了获取本征模函数，然后再对各本征模 函数进行希尔伯特变换，得到希尔伯特谱。 一个本征模态函数是满足如下两个条件的 函数： (1)在整个数据序列中，极值点的数量与 过零点的数量必须相等，或最多相差不 能多于一个。 (2)在任一时间点上。信号的局部极大值 和局部极小值定义的包络平均值为零。 第一个限定条件是非常明显的；它近似于传统的平稳高 斯过程关于窄带的定义。第

6、二个条件是一个新的想法： 它把传统的全局限定变为局部限定。这种限定是必须的， 它可去除由于波形不对称而造成的瞬时频率的波动。 采用本征模态函数（以下简称 IMF）这个名称是因为 它代表了信号数据中的振荡模式。 IMF在按过零点定 义的每一个周期中，只包括一个本征模态的振荡，没 有复杂的叠加波存在。如此定义，一个基本的 IMF并 不限定为窄带信号，也可以是幅度调制和频率调制的。 事实上，它可以是非平稳的。图 1是一个典型的本征模 态函数。本征模态函数 (IMF)概念的提出使得用 Hnbcn 变换定义的瞬时频率具有实际的物理意义，而提出 IMF分量的 EMD分解方法的出现则使瞬时频率可用于 复杂的

7、非平稳信号的分析。 2 2时间特征尺度 现在有三种测量时间尺度的方法：相邻两过零点间隔 的时间尺度，相邻两极值点间隔的时间尺度，相邻两 曲率极值点间隔的时间尺度。三种情况中，时间间隔 都是用来局部测量事物时间变化的。局部极值时间间 隔和曲率时间间隔尺度代表了整个波形，无论波形是 否穿过零线。 Huang等人分析认为，时间尺度代表了 信号的局部震荡尺度，并且仅表示一种震荡模式。这 种震荡从一个极值点到另一个相反的极值点，因此时 间尺度是震荡本身所隐含的尺度，称为特征时间尺度。 EMD方法使用的时间尺度是极值点间隔，它当然提供 了一个很好的对时间尺度测量的方法。所谓的局部是 特征尺度是指信号重量邻

8、近极大值点或者极小值点的 时间间隔。 HHT分析方法是通过对信号本身的局部特 征进行分析，从局部特征时间尺度入手，获得不同时 间尺度特征的有限个 IMF分量。 2.3EMD分解方法 EMD是 Empirical Mode Decomposition的 简写，通常被称为经验模态分解法，是 Huang在 1996年提出的信号分解算法，这 主要是从复杂信号里分离出 IMF的过程， 也称为筛选过程 Sifting Process)。在此基 础上， 1998年 Huang及其同事提出了较为 完整的 Hilbert Huang变换法。 EMD是 HHT方法中至关重要的一部分。 EMD方法假设任何信号都由不

9、同的本征模态函数 (IMF) 组成，每个 IMF可以是线性的，也可以是非线性的， IMF分量必须满足下面两个条件：一是其极值点个数 和过零点数相同或最多相差一个，二是其上下包络关 于时间轴局部对称。这样任何一个信号就可以分解为 有限个 IMF之和。分解过程基于以下假设： (1)信号最 少有一个极大值和一个极小值； (2)时域特性由极值间 隔决定； (3)如果数据序列完全缺乏极值但是仅包含拐 点，那么它也可通过求导一次或多次来揭示极值点， 而最终结果可以由这些成分求积分来获得。具体方法 是由一个“筛选”过程完成的： (1)首先找出 s(t)所有的极大值点并将其用三次样条函数 拟合成原数据序列的上

10、包络线：以及所有的极小值点 并将其用三次样条函数拟合成原数据序列的下包络 线；图为一测试数据及其包络线、均值线示意图。 (2)计算上下包络线的均值，记为 m1(t)；将原数据序列 s(t)减去该均值即可得到一个去掉 低频的新数据序列 h1 下图即为 s(t)和 h1的示意图。 (3)h1一般仍不是一个 IMF分量序列，为此需要对它重 复进行上述处理过程。重复进行上述处理过程 k次，直 到 h1(t)符合 IMF的定义要求，所得到的均值趋于零为 止，这样就得到了第 1个 IMF分量 c1(t)，它代表信号 s(t) 中最高频率的分量： h1(k-1)(t)-m1k(t)=h1k(t),c1(t)

11、=h1k(t) (5) 图为分解得到的第一个 IMF分量 c1(t)，图中可以 看出极值点数与零点数目满足 IMF的要求。 第一个 IMF,c1 (4)将 c1(t)从 s(t)中分离出来，即得到一个 去 掉高频分量 的差值信号 r1(t)，即有： r1(t)=s(t)-c1(t) (6) 将 r1(t)作为原始数据，重复步骤 (1)(2)(3)，得到第二个 IMF分量 c2(t) ,重复 n次 , 得到 n个 IMF分量。这样就有： r1(t)-c2(t)=r1(t) (7) . rn-1(t)-cn(t)=rn(t) 当 cn(t)或 rn(t)满足给定的终止条件 (通常使 rn(t)为一

12、单调函数 )时，循环结束。 由 (6) (7)可得： (8) trtcts nn j j 1 )( 其中， rn(t)为残余函数，代表信号的平均趋势。而各个 IMF分量 c1(t)， c2(t)c n(t)分别包含了信号不同时间特 征尺度大小的成分，其尺度依次由小到大。因此，各 分量也就相应地包含了从高到低不同频率段的成分， 每一个频率段所包含的频率成分都是不同的，且随信 号本身的变化而变化。 2.4 Hilbert谱和边际谱 在 IMF定义和 EMD的基础上， Huang等人系统地 提出了一种分析信号的新理论或新方法。它包 括两个大组成部分， EMD和与之相应的 Hilben 谱分析方法。即

13、首先用 EMD将任意信号 s(t)分解 成有限个 IMF的和 然后分别对每一个 IMF分量用 Hilbert变换进行谱 分析。最后得到信号的瞬时频率表示 : trtcts nn j j 1 )( (9) 这里省略了残余函数 rn(t)， Re表示取实部。称式 (9)右 边为 Hilbert时频谱，简称 Hilbert谱，记作 (10) 它是瞬时振幅在频率 ,时间平面上的分布。 在式 (9)中省略残余函数 rn(t),是因为它或者是一个常数， 或者是一个单调函数。虽然可以把 rn(t)看作一个长周期 波的一部分，但考虑到长周期的不确定性，及信号所 包含的信息主要在高频分量中，因此做了省略处理。

14、dttjn i i tjn i i ii etaetats 11 ReRe)( dttjn i i ietatH )(Re, 1 tj i i ieats 1 Re dttHH , 展开式 (9)中，每个分量的幅值和相位都是随时间可变的， 而同样信号 s(t)的 Fourier变换展开式为 (11) 其中 ai,wi为常数。这清楚地表明： HHT对信号的瞬时频率 表示是 Fourier展开的一般化，它不仅提高了信号的效率， 而且能够表示可变的频率。因此，新方法突破了傅立叶变 换的束缚。用 Hilbert谱可以进一步定义边际谱为： (12) 这里由 HHT得到的边际谱与 Fourier频谱有相似之 处，从统计观点上来看，它表示了该频率上振幅 (能量 )在时间上的累加，能够反映各频率上的能 量分布，但因为瞬时频率定义为时间的函数，不 同以往 Fourier等需要完整的振荡波周期来定义局 部的频率值，而且求取的能量值不是全局定义 的。因此对信号的局部特征反映更准确，在这方 面优于 Fourier谱。尤其是在分析非平稳信号时， 这种 定义对于频率随时间随时变化的信号特征来说， 能够反映真实地振动特点。 Thanks for your attention!