GIS 中线元位置不确定性的随机过程模型

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1、http;/测绘信息网GIS中线元位置不确定性的随机过程模型* 史文中 刘文宝(香港理工大学，香港九龙) (山东矿业学院，泰安，271019)THE STOCHASTIC PROCESS MODEL FOR HANDLING POSITIONAL UNCERTAINTY OF LINE SEGMENTS IN GISShi WenzhongLiu Wenbao (The Hong Kong Polytechnic University) (Shandong Mining Institute, Taian,271019)Abstract Based on the stochastic proce

2、ss theory, the distribution function of the line segments is given in this http;/测绘信息网paper. The uncertainty information matrix is defined, and the generalized error band model is developed, which is used to measure the positional uncertainty of line segments. The models of “-band”model1 and “e-band

3、”model2are summzed unified by this model.Key words Stochastic line segments, Uncertainty, Stochastic process, Generalized error band.摘要本文基于随机过程理论导出了随机线元的分布函数和分布密度表达式，定义了不确定性信息矩阵，引入了广义误差带概念，进而从理论上概括和统一了前人提出的“-带”1和“e-带”2模型。关键词随机线元 不确定性 随机过程 广义误差带分类号P2081 引言http;/测绘信息网自从Chrisman1引用Perkal3提出的“-band”概念描述

4、矢量GIS中的线元位置不确定性以来，后人根据这一思想做了许多发展，其中最有代表性的为误差带247、置信带6和可靠带7。对误差带的研究，主要有解析法27和模拟法89。但现有解析研究http;/测绘信息网的数学基础均为离散随机变量，由于它无法从整体上描述由无穷个连续点构成的线元，因而有关结果在理论上是不严密的。为此，本文首先基于随机过程理论建立一种描述线元位置不确定性的整体模型；然后将平面随机点元的常规误差椭圆扩展到平面随机线元的广义误差带。2 随机线元的统计描述2.1 随机线元的统计特征分析图1 随机线元Z0Z1Fig.1 The random line segment Z0Z1图1中，Zt(X

5、(t),Y(t)为由端点Z0和Z1定义的随机线元Z0Z1上的任意一点。现假定： 随机线元Z0Z1端点坐标向量Z0(X0Y0)T和Z1=(X1Y)T是自相关和互相关的； Z0和Z1均服从二维正态分布，即： http;/测绘信息网ZiN2(Zi，ZiZi) (i=0,1)(1)其中zi(XiYi)为随机线元Z0Z1端点坐标向量Zi(XiYi)(i0，1)的数学期望，Zi，Zi为协方差阵，即：(2)显然，由随机线元Z0Z1两端点坐标向量构成的四维随机向量服从四维正http;/测绘信息网态分布11：Z01N4(Z01，Z01Z01)(3)其中，而：http;/测绘信息网(4)由于随机线元Z0Z1上任意

6、点Zt(X(t),Y(t)的坐标公式为67(5)即X(t)和Y(t)分别为正态随机变量X0、X1和Y0、Y1的线性组合，故也服从正态分布。于是，随机线元Z0Z1由t0,1时的两族无数个正态随机变量X(t)和Y(t)构成。由随机过程的定义知10，随机变量族X(t),t0,1和Y(t),t0,1是两个具有相同自变量参数t的随机过程。因此，http;/测绘信息网从统计学角度看，随机线元Z0Z1是一个二元向量随机过程Z(t)=(X(t)Y(t)T，t0,1。2.2 分布函数和分布密度随机线元Z0Z1的分布函数和分布密度由随机过程X(t),t0，1和Y(t),t0，1的联合分布密度唯一确定。对于任意的正

7、整数n及任意的ti,tj0，1(i,j=1,2,，n)，根据Kolmogrov定理10，随机变量族X(ti),Y(tj);i,j=1,2,，n的联合分布函数：F(x1,y1,x2,y2，xn,yn;t1,t1,，tn,tn)=PX(t1)1,Y(t1)1,X(t2)2,Y(t2)2,，X(tn)n,Y(tn)1/2，则随机线元Z0Z1上的临界误差圆偏向Z1端； 当时，有t=(1)/(2)，则临界误差圆位于随机线元的中点处； 当202时，有t(1)/(2)，则临界误差圆偏向Z0端。由此可知，当随机线元Z0Z1两端点Z0、Z1处的误差圆不等时，其上的临界误差圆总是偏向端点误差圆较小的一边，如图4。

8、显然，20=2时的“G-http;/测绘信息网带”退化为“e-带”，即“e-带”是“G-带”的特例。图4 各向同性随机线元的“G-带”Fig.4 The direction independence character of the G-band4.2 均匀且各向同性的随机线元http;/测绘信息网当ZZ(t1,t2)满足下列条件时13，即: (t,t)ij(t1,t2)(eiej)(23)(24)随机线元Z0Z1具有均匀且各向同性。其中ei,j为空间基向量，为随机线元Z0Z1上任意两点Z(t1)和Z(t2)间的归一化距离，L为随机线元总长；l(L)和m(L)为纵、横相关系数，且满足边界条件l

9、(0)=m(0)；ij为Kronecker-函数；XX(t2)-X(t)，Y=Y(t)-Y(t)；Xi,Yj中的下标，i,j=1,2是指两个坐标投影分量。在式(24)中，当tt2=t时，有：(25)其中为随机线元的坐标方位角。此时，借鉴文献13中的思想计算l(L)和m(L)后，http;/测绘信息网易证所得随机线元上任意点Zt处的协方差阵为单位阵7，即随机线元Z0Z1上各点处的误差椭圆均变为等半径的误差圆，其叠置图即为“-带”。这说明“-带”也是“G-带”的特例。4.3 随机线元的均匀性与各向同性的代数与几何解释图5 具有不同统计属性的随机线元的广义误差带Fig.5 Error bands o

10、f stochastic process based line segments with different statistical characteristics http;/测绘信息网and examples对于随机线元Z0Z1的均匀性，从代数学的角度看就是Z0Z1上所有点处的误差椭圆为平移不变量；从几何学的角度看则表现为Z0Z1上所有点处的误差椭圆的大小和主轴方向相同，如图5(b)。对于随机线元Z0Z1的各向同性，从代数学的角度看就是Z0Z1上所有点处的误差椭圆均是旋转不变量；从几何学的角度看则表现为Z0Z1上所有点处的误差椭圆均变为圆，如图5(c)。对于随机线元Z0Z1的均匀且各向同

11、性，从代数学的角度看，就是Z0Z1上所有点处的误差椭圆既为平移不变量，又为旋转不变量；从几何学的角度看则表现为Z0Z1上所有点处的误差椭圆均变为等半径的误差圆，如图5(d)。http;/测绘信息网5 算例分析讨论了“G-带”的理论基础，下面通过算例说明在GIS环境下生成“G-带”的具体方法。图6 随机线元Z0Z1“G-带”的可视化Fig.6 Visualization of “G-band”of the random line Segment Z0Z1表1 起算数据表Tab.1 Original data set线元号Z0Z1X0/mY0/m2X0/m22Y0/m22X0Y0/m2X1/m Y

12、1/m 2X1/m2 2Y1/m2 2X1Y1/m2 1500.00100.0015.8415.840.00500.00 120.00 15.84 15.84 0.00 2500.00100.003.963.960.00500.00 120.00 15.84 15.84 0.00 3500.00100.0018.918.718.83500.00 120.00 18.91 8.71 -8.83 4500.00100.0018.918.718.83500.00 120.00 18.91 8.71 8.83 5500.00100.0015.5812.04-10.05500.00 120.00 15.

13、58 12.04 10.05 6500.00100.007.524.683.89500.00 120.00 15.58 12.04 10.05 7500.00100.0017.3010.329.58500.00 120.00 6.82 5.38 4.08 8500.00100.004.038.17-3.59500.00 120.00 13.81 13.81 -10.20 表1给出随机线元Z0Z1端点Z0(500.00，100.00)和Z(500.00，120.00)的八种不同误差状态信http;/测绘信息网息。表2中列出了由式(16)计算的随机线元Z0Z1端点Z0(r=0)和Z1(r=1)处的

14、误差椭圆几何参数，以及由式(5)和(16)计算的随机线元上临界误差椭圆的位置和几何参数。图6是利用根据式(16)计算的线元上任一点处的误差椭圆几何参数在ARCVIEW环境下绘制的“G-带”，椭圆长短轴与线元长的比例尺为21，其中(1)、(2)为各向同性随机线元，(4)为均匀性随机线元，其余为一般http;/测绘信息网性线元。特别地，(1) 还是“G-带”的一种特例，即“e-带”。显然，在GIS良好的图形环境下，很容易生成随机线元的“G-带”，从而较精确地、直观而全面地反映线元上任一点点位在各个方向上的误差分布情况，以及线元整体的误差分布情况，同时还可图解任意点位在任意方向上http;/测绘信息

15、网位差的大小，方法类同文献11。表2 计算数据表Tab.2 Computed results线元号Z0ZrZ1A0/mB0/m0/()t/mXr/mYr/m2Xr/m2Yr/m XrYr/m Ar/m Br/m r/() A1/m B1/m 1/() 13.983.9800.503001107.927.92 0.00 2.81 2.81 0 3.98 3.98 0 21.991.9900.205001043.173.17 0.00 1.78 1.78 0 3.98 3.98 0 34.901.90300.505001109.464.35 0.00 3.07 2.09 0 4.90 1.90 1

16、50 44.901.90300.505001109.454.36 4.42 3.46 1.34 30 4.90 1.90 30 54.901.901400.505001107.796.02 0.00 2.79 2.45 0 4.90 1.90 40 63.201.40350.315001065.083.38 2.81 2.68 1.14 36 4.90 1.90 40 74.901.90350.695001134.903.56 2.86 2.86 1.14 38 3.20 1.40 40 83.201.401200.315001063.245.23 -2.68 2.66 1.17 124 4.

17、90 1.90 135 我们对某城市土地信息中心(LIC)建立的ARCVIEW3.0空间数据库中11 000数字地形图上http;/测绘信息网居民区的一部分进行了实例检验，其中包含矢量GIS中的点、线、面三种要素。由于数字化数据的精度相同，即xy=0.20 m,因此，点的“G-带”退化为误差圆；而线要素和面要素在GIS中均是由折线定义的点要素，画出了相应的误差椭圆。对线要素和面要素，以折线为基本单位，画出了“G-带”，有关“G-带”相互连接叠加后，构成了线要素和面要素的位置不确定性可视化指标。每条折线的计算和显示时间为2 s。在一幅地形图上，地形及要素的类型越复杂，构成要素的折线越多，则在现有

18、计算机环境下，需要累加相应的运行时间。显然，对GIS输出的各种图件，均可以根据要素类型不同，选择点或折线为基本单元画出误差(椭)圆或“G-带”，以便用可视化方式表达地图要素的位置不确定性。6 结论http;/测绘信息网(1) 一个平面随机点元的统计表现为一个二维随机变量，其不确定性由协方差阵描述，而误差椭圆是相应的可视化指标。(2) 一条平面随机线元的统计表现为一个二元向量随机过程，其不确定性由不确定性信息矩阵描述，而误差带是相应的可视化指标。(3) 随机线元的统计属性由线元端点坐标的误差状态唯一决定。当随机线元满足各向同性时，“G-带”退化为“e-带”；当同时满足均匀性和各向同性时，“G-带

19、”退化为“-带”。(4) 随机线元的“-带”是一种理想情况。由于均匀各向同性的随机线元在现实中是不存在的，因而，“-带”只是度量随机线元不确定性的一种近似指标。致谢：感谢香港理工大学陈永奇教授和武汉测绘科技大学黄幼才教授在写作本文中给予的指导和帮助。http;/测绘信息网收稿日期： 1996-09-16， 截稿日期： 1997-09-29。史文中，男，35岁，博士。香港大学基金委员会(编号：0354059A3340)、国家自然科学基金(编号：49671063)和测绘遥感信息工程国家重点实验室开放基金(编号：WKLZ(92)-03-04)联合资助项目。7 参考文献http;/测绘信息网1 Chr

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