示范教案(2.1--平面向量的实际背景及基本概念)

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1、第二章 平面向量本章教材分析丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材一方面从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着简介了平面向量的有关知识学生将理解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与措施表述和解决数学、物理中的某些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表达的基本,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着简介了向量数量积的性质、运算律及坐标表达.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了以便,特别能有效地解决线段的垂直问题最后简介了平面向量的应用.教学

2、的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和措施，又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之因此有用，核心是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的多种有关问题.这一章的内容虽然概念多，但大均有其物理上的来源,虽然抽象，却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角，恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,并且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.本章充足体现出新教材特点以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观简

3、介向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的解决重要通过观测、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论这一章中的某些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,摸索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学措施，有的还让学生进一步考虑有关的问题.对知识的解决,都尽量设计成让学生自己观测、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标事实上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题,同步也可以用几何的观点解决某些代数问题4.本章教学约需12学

4、时,具体分派如下,仅供参照.标题学时2平面向量的实际背景及基本概念1学时2.2向量的线性运算3学时23平面向量的基本定理及坐标表达2学时2平面向量的数量积学时.5平面向量的应用举例2学时本章复习2学时2.1 平面向量的实际背景及基本概念整体设计教学分析 本节是本章的入门课，概念较多,但难度不大学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物辨别平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,因此它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几种具体的例子阐明它的应用位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表达位置,研究如何由一

5、点的位置拟定此外一点的位置.位移简要地表达了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型.力是常用的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中尚有其她力,让学生举出物理学中力的其她某些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基本.三维目的.通过实例,运用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及拟定平面向量的两个要素,弄清数量与向量的区别2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.3在

6、教学过程中,应充足根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性.重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表达向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学时安排1学时教学过程导入新课 思路1.（情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的处逃窜，猫在处向正东方向的处追去,猫能否追到老鼠呢?学生立即得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,由于方向错了教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.图 思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相似的路程,如何用数学式子表达这两列火车的位移？

7、从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一种不错的选择.推动新课新知探究提出问题在物理课中,我们学过力的概念.请回忆一下力的三要素是什么?尚有哪些量和力具有同样特性呢?这些量的共同特性是什么?如何运用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特性的量呢?新的概念是对这些具有共同特性的量的描述，应如何定义这样的量呢？数量与向量的区别在哪里? 活动:教师指引学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移同样的某些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大

8、;速度与加速度都是既有大小,又有方向的量;物理中的动量与矢量均有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量 教师引导学生观测思考这些量的共同特性，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题讨论成果:略.我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量略.提出问题如何表达向量?有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表达向量的什么?长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?满足什么条件的两个向量是相等向量

9、?单位向量是相等向量吗?有一组向量，它们的方向相似或相反，这组向量有什么关系?如何定义平行向量?如果把一组平行向量的起点所有移到一点O，它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?数量与向量有什么区别?数学中的向量与物理中的力有什么区别? 活动:教师指引学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题特别是有向线段，是学习向量的核心.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表达,两者有本质的区别向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一种顺序,假设A为起点、为终

10、点,我们就说线段A具有方向,具有方向的线段叫做有向线段，一般在有向线段的终点处画上箭头表达它的方向以为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面 已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.有向线段涉及三个要素:起点、方向、长度.图2 懂得了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一拟定.用有向线段表达向量的措施是:1起点是A,终点是B的有向线段,相应的向量记作：.这里要提示学生注意的方向是由点指向点B,点A是向量的起点.用字母a,b,表达.（一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用）向量(或a）的大小,就是向量（或a)的长度(或称模)，记作|(或|).教师要注意引导学生将数量与向

11、量的模进行比较，数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小由于方向不能比较大小,像ab就没故意义,而|a|故意义.讨论成果:向量也可用字母a,b，c,表达(印刷用粗黑体表达),手写用a 来表达，或用表达向量的有向线段的起点和终点字母表达,如、.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相似,则这两个向量就是相似的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同，尽管大小和方向相似,也是不同

12、的有向线段图3长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的.长度等于个单位的向量,叫做单位向量.长度相等且方向相似的向量叫做相等向量是平行向量平行向量定义的理解:第一，方向相似或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定与任历来量平行即0a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量,b,c平行,记作abc.如图.图 又如图4,a，c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出=a,=b,=.这就是说，任一组平行向量都可以移动到同

13、始终线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 阐明:平行向量可以在同始终线上,要区别于两平行线的位置关系是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是由于任一组平行向量都可移到同始终线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同始终线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以互相平行,要区别于在同始终线上的线段的位置关系.数量只有大小,是一种代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、大小双重性质，不能比较大小力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素，与起点的位置无关.应用示例例 如图5，试根据图中的比例尺以及三地的位置

14、,在图中分别用有向线段表达A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)图5分析:本例是一种简朴的实际问题,规定画出有向线段表达位移,目的在于巩固向量概念及其几何表达解：表达A地至B地的位移,且|232m;(AB长度8000 00010 00)表达A地至C地的位移,且|26km.(AC长度8 0 00010000） 点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表达位置,研究如何由一点的位置拟定此外一点的位置.如图5,由A点拟定B点、C点的位置.变式训练一种人从A点出发沿东北方向走了0 m达到B点，然后变化方向,沿南偏东15方向又走了00 m达到点，求此人从C点走回A点的位移.图解:根据题意画

15、出示意图,如图6所示.|=10 m，|=10 m,A4515=60,A为正三角形.|100 m，即此人从C点返回A点所走的路程为00m.BAC6,CA=BAC-BAD=15,即此人行走的方向为西偏北15.故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15方向100m.图7例2 判断下列命题与否对的,若不对的,请简述理由.(1)ABC中，与是共线向量；(2)单位向量都相等 活动:教师引导学生画出平行四边形，如图7. 由于B/C,因此.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不拟定,因此单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1,但方向不拟定.解:(1)对的;(2）不对的.点评:本题考察基本概念,对于

16、单位向量、平行向量的概念特性及互相关系必须把握好.图例3 如图8,设O是正六边形ADEF的中心,分别写出图中所示向量与相等的量. 活动：本例是结合正六边形的某些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质教科书中规定判断与,与与否相等，是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从背面结识向量相等的概念解:;=;=. 点评：向量相等是一种重要的概念，此后常常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相似.变式训练 本例变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(1个) 本例变

17、式二：与否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)例4 下列命题对的的是( ).与b共线,b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与不共线,则a与b都是非零向量有相似起点的两个非零向量不平行 活动:由于零向量与任历来量都共线,因此不对的由于数学中研究的向量是自由向量,因此两个相等的非零向量可以在同始终线上,而此时就构不成四边形,主线不也许是一种平行四边形的四个顶点,因此B不对的.向量的平行只要方向相似或相反即可,与起点与否相似无关,因此D不对的.对于C，其条件以否认形式给出,因此可从其逆否命题来入手考虑，假若与b不都是非零向量,即a与b

18、至少有一种是零向量,而由零向量与任历来量都共线，可有与共线,不符合已知条件,因此有a与b都是非零向量,即只有对的.答案:C 点评:对于有关向量基本概念的考察,可以从概念特性入手，也可以从背面进行考虑即要判断一种结论不对的,只需举一种反例即可.要启发学生注意这两方面的结合变式训练1.判断:(）平行向量与否一定方向相似？(不一定）(2)不相等的向量与否一定不平行?(不一定)()与零向量相等的向量必然是什么向量？(零向量）()与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)（5)若两个向量在同始终线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量）(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相似)(7

19、)共线向量一定在同始终线上吗？（不一定).把一切单位平面向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ )A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个点 D.一种圆答案：D.将平行于始终线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一种点 B.两个点C.一种圆 .一条线段答案：B知能训练课本本节练习.解答：1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略.2.|,|,这两个向量的长度相等,但它们不等.点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量.3.=2,|=2.，|=3，|=2.点评:方格纸是学生学习几何、

20、向量等内容的好工具.在方格纸中，长度和角度非常容易体现.建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.(1)它们的终点相似;(2）它们的终点不同点评:方向相似的两个向量，如果它们的起点相似,它们的终点只与长度有关.课堂小结 本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,运用类比的措施，简介了向量的两种表达措施:几何表达和字母表达,几何表达为用向量解决几何问题打下了基本,字母表达则利于向量的运算；然后又简介了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是进一步学习后续课程的基本,必须要在理解的基本上把握好.作业课本习题2. 1、2.设计感想 本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点本教案设计的指引思想是:把学生划分小组合伙讨论学习,通过小构成员们的合伙探究,对平面向量的基本概念和基本解题措施都明了了不少，应当有诸多的成功之处或收获对失败或教训之处也许是由于某些概念性问题没有进一步研究,导致解题存在困难,但是这些会通过学习的进一步弥补过来的 作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学后来，给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为背面学习打下基本