投入产出分子数学模型

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1、投入产出数学模型投入产出数学模型一一问题问题 ：国民经济各个部门之间存在着关系，一个经济部门的生产依赖于其他国民经济各个部门之间存在着关系，一个经济部门的生产依赖于其他部门的产品或者半成品，如何在确定的经济环境下确定各经济部门的投入部门的产品或者半成品，如何在确定的经济环境下确定各经济部门的投入产出水平以满足整个社会的经济需要。产出水平以满足整个社会的经济需要。U.S.ALeontief（列昂第夫）最早提出，（列昂第夫）最早提出，在在 1936 发表发表美国经济系统中的投入和产出的数量关系美国经济系统中的投入和产出的数量关系 我国于我国于70年代开始应用该模型编制国民经济预算年代开始应用该模型

2、编制国民经济预算，1974 目的：目的：编制国民经济预算编制国民经济预算 经济结构分析等经济结构分析等1二二 模型假设模型假设:H1:国民经济划分为国民经济划分为n n个部门，每个部门生产一种或个部门，每个部门生产一种或 一类产品一类产品 H2:每个生产部门的生产意味着将本部门和其它部门每个生产部门的生产意味着将本部门和其它部门 的产品经过加工变成本部门的产品。在这个过程中的产品经过加工变成本部门的产品。在这个过程中 消耗的产品称消耗的产品称“投入投入”，生产所得的最终产品，生产所得的最终产品 称为称为“产出产出”。对于每个部门而言，投入产出的关。对于每个部门而言，投入产出的关 系是不变的。系

3、是不变的。2投入产出数学模型投入产出数学模型三三 数学模型数学模型：1 投入产出表：实物型、价值型投入产出表：实物型、价值型 投入投入产出表产出表 作为消耗部作为消耗部门门 生产部门生产部门农业农业 工业工业 服务业服务业 1 2 n最终最终产品产品总产出总产出 农农 业业 1 工工 业业 2.服务业服务业 n .*附：附：新新创创造造价价值值劳动报酬劳动报酬 v1 ,vn社会纯收入社会纯收入 m1 ,mn合计合计 z1 ,zn总总 产产 值值 x1 ,xn ：第第i个部门的产品流入个部门的产品流入(投入投入)到第到第j个部门的数量个部门的数量(价值量价值量)3投入产出数学模型投入产出数学模型

4、 2 基本平衡方程：基本平衡方程：投入产出数学模型投入产出数学模型45例：消耗部门 生产部门农业 制造业 服务业 最终产品总产量农 业制造业服务业15 20 30 30 10 4520 60 /3511570100200150直接消耗系数矩阵若 最终产品 若给出投入x，则可计算出最终产品y6企企 业业 I-O 模模 型型一一 问题：问题：一个大型企业由若干个部门组成，企业与外部及企业内部一个大型企业由若干个部门组成，企业与外部及企业内部各个部门之间存在着关系，如何在确定的经济环境下确定企业与外部各个部门之间存在着关系，如何在确定的经济环境下确定企业与外部的关系及企业内部各部门的投入产出水平以满

5、足整个企业的生产需要。的关系及企业内部各部门的投入产出水平以满足整个企业的生产需要。二二 企业企业I-O表表:7企企 业业 I-O 模模 型型三三 数学模型数学模型:1.2.8企企 业业 I-O 模模 型型例：某企业例：某企业 I-O表表建立该企业的建立该企业的I-O模型模型若下若下 个月的最终产品为个月的最终产品为9企企 业业 I-O 模模 型型分析：分析：10三三 开放的开放的I-OI-O模型模型 1 1 实物型实物型I-OI-O模型模型112 价格价格价值系统价值系统 12四四 模型的可行和有利问题模型的可行和有利问题 1 1 定义：定义：若在若在I-O模型中模型中 则称模型为可行的则称

6、模型为可行的(价值型价值型)若对若对 则称模型为有利的则称模型为有利的(实物型实物型)2 2 判别准则：判别准则：矩阵范数：矩阵范数：矩阵性质：矩阵性质：13 判别定理：判别定理：若投入系数矩阵若投入系数矩阵 (直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵)满足满足则则 I-O模型为可行的模型为可行的(价值型价值型)I-O模型为有利的模型为有利的(实物型实物型)证明：证明：14 显然，双键的不同配置总数显然，双键的不同配置总数M M满足：满足：注意到不满足注意到不满足 =1=1，i=1i=1，2 2，,m,m时，连乘积必为时，连乘积必为0 0，于是：，于是：其中其中P P为（为（1 1，2 2，,m,m）

7、的排列的全体。）的排列的全体。定义定义1 1 对矩阵对矩阵A=,A=,称称 为为A A的永久式或积和式，记为的永久式或积和式，记为Per Per 或或 。其中和式。其中和式 中的（中的（）遍历（）遍历（i=1i=1，2 2，,m,m）的一切不同的排列）的一切不同的排列P P。根据上述定义有：根据上述定义有：结论结论3 3 不同双键配置总数不同双键配置总数=Per=Per15 分子模型分子模型16（H1H1）构成分子的各个原子落在一个平面上。分子）构成分子的各个原子落在一个平面上。分子 中的各原子是连通的，即分子中任何两个原中的各原子是连通的，即分子中任何两个原 子总可以通过某些化合键和其它原子

8、之间的子总可以通过某些化合键和其它原子之间的 链连接起来；链连接起来；（H2H2）分子中的每一个碳原子与三个相邻的原子用）分子中的每一个碳原子与三个相邻的原子用 化合键连接，键长相等；化合键连接，键长相等；（H3H3）由同一碳原子出发的所有相邻键之间的夹角）由同一碳原子出发的所有相邻键之间的夹角 为（见图为（见图1 1）1718 由于碳的化合价是由于碳的化合价是4 4，氢的化合价是，氢的化合价是1 1，又由于平，又由于平面碳氢化合物中的一个碳原子只能与周围三个原子面碳氢化合物中的一个碳原子只能与周围三个原子用键相连，此原子发出的键中有且只有一根双键。用键相连，此原子发出的键中有且只有一根双键。

9、又因氢的化合价为又因氢的化合价为1 1，此双键只能与另一碳原子相连，此双键只能与另一碳原子相连接，另外两根单键与另外两个原子相连接，这两个接，另外两根单键与另外两个原子相连接，这两个原子既可能是氢原子，也可能是碳原子。原子既可能是氢原子，也可能是碳原子。图图2 2和图和图3 3给出了两种最常见的平面型碳氢化合物：给出了两种最常见的平面型碳氢化合物：苯（苯（）和萘（）和萘（）的分子图形。）的分子图形。1920212223 将分子骨架图的顶点（碳原子）将分子骨架图的顶点（碳原子）依次编号就得到分子的图模型。依次编号就得到分子的图模型。例如，将苯的分子骨架图的碳原例如，将苯的分子骨架图的碳原子依次编

10、号，如图子依次编号，如图5 5的编号，即的编号，即得顶点集得顶点集V V和边集和边集E E：V=1V=1，2 2，3 3，4 4，5 5，66 E=1,2,2,3,E=1,2,2,3,3,4,4,5,3,4,4,5,5,6,6,1 5,6,6,1 无向图无向图G=(V,E).G=(V,E).24（2 2）图的二分性）图的二分性若一个图中的顶点可以分为两类，每一类的顶若一个图中的顶点可以分为两类，每一类的顶点都没有边将它与同一类中的顶点相连，就称点都没有边将它与同一类中的顶点相连，就称该图为二分图。若将这两类顶点分别用不同的该图为二分图。若将这两类顶点分别用不同的颜料着色，每一条边连接的两个顶点

11、颜色必然颜料着色，每一条边连接的两个顶点颜色必然不同。所以二分图又称为二色图。不同。所以二分图又称为二色图。图图G=G=（V,EV,E）的部分顶点和部分边构成的图称）的部分顶点和部分边构成的图称为子图。为子图。G G中一个由顶点和边交错组成的非空有限序列中一个由顶点和边交错组成的非空有限序列Q Q称为称为G G中连接与的路中连接与的路25若若 则称则称Q Q为圈。若为圈。若Q Q中除中除 外再无其它相外再无其它相同的顶点，则称同的顶点，则称Q Q 为初级圈。为初级圈。我们将说明平面型碳氢化合物分子骨架图是二分我们将说明平面型碳氢化合物分子骨架图是二分图。为此要用到图论中的如下定理。图。为此要用

12、到图论中的如下定理。定理定理1 1：一个图为二色图的充分必要条件是：一个图为二色图的充分必要条件是：该图中的每一个圈都有偶数条边。该图中的每一个圈都有偶数条边。结论结论1 1：平面型碳氢化合物中的每个碳原子发出的相：平面型碳氢化合物中的每个碳原子发出的相 邻两键之间的夹角均为邻两键之间的夹角均为 ，它的骨架图中的内，它的骨架图中的内角均为角均为 或或 ，由此即可断言它的任一圈的，由此即可断言它的任一圈的边数均为偶数。边数均为偶数。26 证明：设圈的边数为m，其各内角为 ，i=1,2,m.利用多边形内角和的公式可得：将上式两边分别处以 ，得 3m=6+由于 为 或 ，上式右端比为偶数，从而m 必

13、为偶数，利用定理1即得如下命题：结论结论2：平面型碳氢化合物的分子骨架图比为二分图。：平面型碳氢化合物的分子骨架图比为二分图。27（3）归约邻矩矩阵）归约邻矩矩阵 根据结论2，可以将平面型碳氢化合物分子骨架图的顶点分为两类，每一类顶点之间都没有边连接。例如，图5所示苯分子骨架图中，编号为奇数的顶点和编号为偶数的顶点分属这两个不同的类，对一般平面型碳氢化合物，我们也将两类顶点分别称为奇顶点和偶顶点。将图的顶点按奇顶点在前偶顶点在后的方式重新编号，邻接阵必具有如下的形式 T=28其中B称为归约邻矩阵，它包含了邻接矩阵所有重要的信息，但规模比邻矩阵小得多。例如，苯的归约邻矩阵为 B=矩阵左侧与上方的

14、数字标记着对应于原编号的行与列。利用B容易得到有关原来分子的一些信息，如：（1）B的行数与列数之和为骨架图的顶点总数n，即分子中碳原子的总数。（2）分子中所有C-C键（即骨架图的边）之总和N为 B的元素之和，或更方便地表示为29苯基：骨架图中以C-C键为边的正六边形圈分子中的苯基的个数是一个重要的特性，记r为分子中的苯基的个数。它虽不能明显地直接从B得到，但与N和n是有密切关联的。事实上，可以证明：结论结论3：r=N-n+1.注意：注意：在先编奇顶点，后编偶顶点的前提下，仍有多 种不同的编号方式。不同的编号可能会改变B 的某些性质，然而，值得指出的是，某些性质 如N，n和r是不随编号的改变而改

15、变的。30四、四、奇偶顶点差的计算奇偶顶点差的计算 1、平面型碳氢化合物分子骨架图的顶点可化为奇顶点和偶顶点两类。奇顶点个数与欧顶点个数不一定相同，对应的归约邻矩阵则表现为方阵或长方阵。例如，在图6的分子骨架图中，奇顶点为7个，偶顶点为6个归约邻矩阵为76长方阵。31 若分子中碳原子个数（分子简图中的顶点数）为奇若分子中碳原子个数（分子简图中的顶点数）为奇数，则奇偶顶点数肯定不同。但即使碳原子个数为数，则奇偶顶点数肯定不同。但即使碳原子个数为偶数时，奇偶顶点数也未必相等。偶数时，奇偶顶点数也未必相等。如何求出出奇偶顶点差？如何求出出奇偶顶点差？有一个比较容易求出奇偶顶点差的方法：有一个比较容易

16、求出奇偶顶点差的方法：先去掉骨架图中的垂直边以及边上的顶点。由于任先去掉骨架图中的垂直边以及边上的顶点。由于任 一边必须连接一个奇顶点和一个偶顶点，去掉垂直一边必须连接一个奇顶点和一个偶顶点，去掉垂直边和相应的顶点后不会改变奇偶顶点之差。剩下的边和相应的顶点后不会改变奇偶顶点之差。剩下的顶点可以分成向下的（图顶点可以分成向下的（图7 7（a a）或向下的（图）或向下的（图7 7（b b）两类。两类。32结论：结论：（1 1）一切向上顶点都有相同的奇偶性；一切向上顶点都有相同的奇偶性；（2 2）一切向下顶点也有相同的奇偶）一切向下顶点也有相同的奇偶（3 3）两者的奇偶性不同。）两者的奇偶性不同。

17、如果如果 ：向上顶点的总数，：向上顶点的总数，：向下顶点的总数，：向下顶点的总数，那么奇偶顶点差为那么奇偶顶点差为 。例如：图例如：图6 6和图和图8 8所示分子骨架图在去掉所示分子骨架图在去掉垂直边以及有关顶点后剩下垂直边以及有关顶点后剩下3 3个向上个向上顶点，顶点，1 1个向下顶点，即个向下顶点，即 =3,=1=3,=1，从而奇偶顶点差为，从而奇偶顶点差为2 2。又例如图。又例如图6 6。奇偶碳原子不等的平面型碳氢化合物奇偶碳原子不等的平面型碳氢化合物分子的化学活动较强，称为自由基。分子的化学活动较强，称为自由基。从骨架图判断奇偶原子个数是否相等从骨架图判断奇偶原子个数是否相等是有意义的

18、。是有意义的。33 显然，双键的不同配置总数显然，双键的不同配置总数M M满足：满足：注意到不满足注意到不满足 =1=1，i=1i=1，2 2，,m,m时，连乘积必为时，连乘积必为0 0，于是：，于是：其中其中P P为（为（1 1，2 2，,m,m）的排列的全体。）的排列的全体。定义定义1 1 对矩阵对矩阵A=,A=,称称 为为A A的永久式或积和式，记为的永久式或积和式，记为Per Per 或或 。其中和式。其中和式 中的（中的（）遍历（）遍历（i=1i=1，2 2，,m,m）的一切不同的排列）的一切不同的排列P P。根据上述定义有：根据上述定义有：结论结论3 3 不同双键配置总数不同双键配

19、置总数=Per=Per34（2）初级圈的边数不为的倍数的情形）初级圈的边数不为的倍数的情形 当分子简图中的一切初级圈的边数均非的倍数时，分子的不同结构总数可用归约邻矩阵的行列式来计算，既有结论：设平面型碳氢化合物的分子简图的一切初级圈的边数 均不能被整除，则成立 证明：只需证明：任何两个不同的双键配置所相应的排列具有相同的奇偶性。设两个不同的双键配置为：令J 在J与 中仅出现一次的边全体，为边集和相应的顶点集构成的图。353、若干化合物结构的枚举、若干化合物结构的枚举 对某些平面型化合物分子，将其骨架图的某边取定为双键或单键从而将所有不同的结构分为两类。由于一根键一旦取定为双键或单键，其它的双

20、键配置就受到一定的约束，分析着两类结构就容易多了。若有必要，再用上法将每一类结构再分成两类，这个过程可不断重复直至得到所有的结构。（1）苯萘类化合物）苯萘类化合物 苯柰类化合物和分子骨架图由并列的r个正六边形圈构成（如图所示）。r=1时为苯，r=2时为柰。36 对这样的分子图，若某条垂直边取为双键时，其它垂直边均不能再为双键，此时就唯一地确定了一个双键配置。另一方面每个结构必定有一条垂直边为双键，因此苯柰类分子的不同结构总数为 =r+1.（2）多苯基化合物 多苯基化合物分子骨架图为r个正六边形，依次用一条边连接而成（参见图11）。37 显然连接边不可能为双键。注意到每个圈有种可能的双键配置，各

21、个圈的各种可能双键配置组合起来就可得到分子的所有结构，结构的总数为 （3）交错排列的一类分子 考察另一类化合物分子，其骨架图由r个正六边形圈交错连接而成（参见图）。r=3时菲分子；r=4是屈分子。这类分子的不同结构总数为38 （4.8)其中 菲波纳契（Fibonacci）数，满足 ，（r=0,1,）（式可用数学归纳法证明）证明：当r=1或r=2时，分别是苯或柰分子，它们的结构数 已知：，即 。设对于小于r+2的整数t，成立，现讨论圈数t=r+2的情形。考察最后一个圈的双键配置。首先，设最后一圈的上侧水平边为双键，那么最后两个圈双键配置的情形如图所示。然而第r+1个圈与第r个圈的公共边可以根据第r个圈的双键配置决定它或是双键或是单键。39 换言之，对这种情形，不同双键配置数与去掉最后两个圈，只有前r个圈的分子结构总数是相同的。由归纳假设，不同结构总数应为 。因此，最后一个圈的上侧水平边为双键时，分子的不同结构共有 种。40 第r+个圈的上侧水平边只有以上两种情形，因此不同结构总数应为上述两种情形的结构数之总和，即 。这就证明了 对一切自然数r成立。证毕41