基于广义误差分布的期权定价模型研究(精)

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1、基于广义误差分布的期权定价模型探讨邱世斌 陈燕武华侨高校商学院，福建泉州（362021）摘要：针对我国上市公司权证市场的发展状况，本文对传统BlackScholes期权定价模型中标的资产价格听从对数正态分布这一假设条件进行了修正，提出了标的资产价格听从对数广义误差分布的假设，并且通过实证探讨得出，标的资产价格听从对数广义误差分布以及广义误差期权模型的定价与实际状况较为相符的结论。关键词：BlackScholes模型；广义误差分布；协整检验；拟合优度 中图分类号：F224.0，O211.621. 引言及文献回顾BlackScholes的期权定价模型是金融学中广泛应用的模型之一，该模型是金融资产定

2、价的核心理论基础，是金融创新的原动力，是金融理论界和实践界的一场重大变革。尽管该模型的一些假设与现实不相符，但标的资产的期权价格与该公式的计算结果还是比较吻合的。期权定价理论的探讨可以追索到Bachelier （1900）的博士论文“投资理论”，其后很多经济学家和数学家都尝试解决这个问题，直到二十世纪七十年头，该问题才得到了实质的解决，Black 和Scholes （1973）应用均衡资本资产定价理论及风险中性理论推导出期权定价方程，得到期权的定价公式1。在此之后，Harrison 和Kreps 、Harrison 和Pliska 分别应用鞅和随机积分从数学的角度推导出了期权定价公式，该定价公

3、式奠定了现代金融工程的理论基础。之后的很多学者对该模型的推广进行了大量的探讨，其中比较有影响力的是Roll(1977 给出了支付离散股利的美式看涨股票期权的解析定价公式，Merton （1976）首次考虑市场中突发事务对股票价格的影响，指出了标的股票收益是由标准几何布朗运动引起的连续扩散变动和泊松过程引起的跳动共同作用的结果，并依此建立了跳-扩散模型并给出了在这种模型下的欧式期权解析定价公式。在国内，唐湘晋和吴新林（2006）年提出了基于非高斯和相依回报的期权定价模型，安占强和徐洁媛（2007）提出了非正态分布下的二叉树期权定价模型，但是这些模型都缺少实证来支持，只是单纯的变更BlackSch

4、oles的期权定价模型中的一些假设条件，这些改进的模型是否适用于实际状况，还有待进一步的验证。本文首先探讨传统期权定价理论是否听从正态分布，因为金融数据大都存在尖锋厚尾的现象，而正态分布并不能有效的拟合这种实际数据，最终通过实证的比较分析，验证哪种模型较为合理。2. GARCH模型及分布检验本文须要计算期权定价理论中的波动率，而波动率本文采纳广义自回来条件异方差（GARCH ）模型来确定；同时还要确定标的资产价格是听从对数正态分布还是其他分布，故在该部分先介绍自回来条件异方差模型及分布检验。2.1 GARCH模型自回来条件异方差模型（generalized autoregressive con

5、ditional heteroskedasticity model,GARCH 模型）是由Bollerslev,Tim(1986首先提出的，该模型包括两个方程：一个是条件均值方程；另一个是条件方差方程，标准的GARCH （1，1）模型为：y t =a 0+a i y t i +i x t i +u ti =1i =0p q(1t 2=w +u t 21+t 21+v t其中u t 为均值方程的残差项，v t 为异方差方程的误差项，且听从标准态分布。对于该模型的参数估计，大都采纳似然估计。2.2 分布拟合检验分布拟合检验的目的在于找寻与样本数据拟合程度最好的分布形式。对其检验的方法很多，例如游程

6、检验、秩和检验等，但是运用最大似然估计法和拟合优度法较为科学。 1、分布的极大似然估计法极大似然估计的基本思想是：已经发生的事务在未发生之前其发生的概率最大。依据Law 和Kelton 的定义，分布的最大似然估计是使分布与给定观测数据之间的拟合程度最佳的函数形式。对于随意有两个拥有n 个样本值X 的不同概率密度分布f (X 、g (X 似然函数可表示为：L 1=f (X i , L 2=i =1ng (X , i =1in其中 、均为分布函数的参数。这样我们会得到两个分布函数的似然函数值，似然值越大，其分布与实际的样本值的拟合程度越高，假如l 1l 2说明密度函数f (x 比密度函数g (X

7、的拟合程度更高，反之亦然。2、拟合优度法拟合优度是指样本数据的实际统计频率与给定分布之间的拟合概率之间的接近程度，它通常被用在比较不同分布函数之间拟合程度。可以通过三种方法对拟合优度进行检验：2检验、Kolmogorov-Smirnov 或Anderson-Darling 检验，2检验是最常用的检验方法，适用于连续和离散的样本数据。2检验的定义为：(P i p i 2= (2p i =1i2n_在(2式中，P i 为观测到的频率值，p i 为落在某一区域的理论概率值。拟合优度统计量_测量了分布与样本数据之间的偏差。拟合优度越小，拟合程度越好。3. 传统期权定价理论3.1 标的资产价格的行为模型

8、BlackScholes的期权定价模型假设标的资产价格听从如下Ito 过程：ds t =sdt +sdz (3其中s 表示资产的价格，表示资产价格的预期收益率， 表示资产价格的波动率，dz =，听从标准正态分布，是一随机数，dt 为时间的微分。3.2 BlackScholes的期权定价模型依据无套利定价理论、风险中性定价理论和依藤定理可得期权定价公式： 看涨期权23：c =SN (d 1 Xe r (T t N (d 2 (4看跌期权：p =Xe r (T t N (d 2 SN (d 1 (5其中，c 表示看涨期权合约价值，S 表示标的资产价格，N (x 为均值为0标准偏差为1的标准正态分布

9、变量的累计概率分布函数，X 为执行价格，r 为无风险利率，T 为到期时间，t 为当前时期，d 1= d 2=为股票价格的波动率。3.3 基于广义误差分布的期权定价理论在标的资产的价格行为模式过程中，Black 和Scholes 认为资产的运动过程听从正态分布，但是大量的实证探讨表明，资产的运动过程更多的表现为广义误差分布，假如标的资产的运动过程听从广义误差分布的话，那么期权的定价公式可表示成如下公式： 看涨期权：c =SGED (d 1,1 Xe r (T t GED (d 2,1 (6看跌期权：p =Xe r (T t GED (d 2,1 SGED (d 1,1 (7其中，GED (x ,

10、1 表示为1的广义误差分布变量的累计概率分布函数，其他的参数意义与BlackScholes的期权定价模型相同。4. 实证探讨由于我国尚未建立完善的期权交易市场，故本文在实证探讨过程中以上证交易所中的股票权证为样本，但由于股票权证对股票价格（标的资产）具有稀释作用，因此必需经过必要的调整，调整公式如下：(8式中，V 表示上市公司的股权价值，N 表示该公司发行在外的流通股股数，S 表示股票价格，M 表示该公司发行的权证总份额，W 表示认股权证的价格。但是由于我国大部分上市公司所发行的权证份额占流通股股数的比值很小，因此股票权证对股票价格的稀释作用可以忽视不计，即标的资产的价格可以用股票价格来表示，

11、无须进行调整。在实际探讨中，本文实证探讨采纳武钢股票及其权证2007-4-17到2007-11-30的周收盘价(数据来源于兴业证券行情系统 ，取周数据是为了简化计算的困难性；无风险利率采纳一年期存款利率并将他转化成连续得利的形式，r=3.87%（来源于中国人民银行网 :/ pbc.gov ）, 转化后的r f =3.798%，这里不用一年期国债利率是因为今年不断的调整存款利率, 使得一年期国债利率（2.51%）比同期银行存款利率更低。V M =S +W N N (84.1 分布拟合检验及GARCH 模型的实证探讨1、 分布的拟合检验在BlackScholes的期权定价模型中假设股票价格听从对数

12、正态分布的, 但是否听从对数正态分布有待进一步的检验。本文拟采纳似然估计函数与拟合优度进行检验，检验前先将股票收益率分成几个区间，其区间越细其检验的精度就越高，本文把收益率按如表1所示的区间划分：表1 收益率的划分区间Tab. 1 Classification Interval of Return Rate0.036将样本股票的收益率按分布的极大似然估计法与拟合优度法的公式计算，可以得到如表2所示的结果：表2 分布检验结果 Tab. 2 Results of Distribution Test区间个数实际概率广义误差分布理论概率正态分布理论概率广义误差分布拟合优度正态分布拟合优度0.13108

13、4 0.112321 -0.01 r0 0 r0.01 0.01 r0.02 0.02 r0.036 拟合优度 似然值3 2 6 20.09375 0.0625 0.1875 0.06250.046888 0.0768940.0475950.0026940.0046680.410541 0.0019780.488128 0.915559 9.555149 9.0702390.06919注：表中的广义误差分布中=1，这样可克服尖锋厚尾现象。从表2中的检验结果可得出，收益率听从广义误差分布的拟合优度小于收效率听从正态分布的拟合优度，而广义误差分布的似然值却大于正态分布的似然值，这两种检验结果都显示

14、股票价格听从对数广义误差分布。 2、GARCH 模型在期权定价过程中，最重要的一个参数就是股票价格的波动率，本文利用GARCH 模型，采纳股票收益率来估计各期股票价格的波动率。在进行GARCH 建模前，对武钢股票收益率进行平稳性检验，本文采纳ADF 检验，检验结果见表3。表3 ADF 检验结果 Tab.3 Results of ADF Testt-Statistic Prob.* ADF 统计量 临界值1% level-4.658838 0.0009 -3.6793225% level -2.967767 10% level -2.622989注：检验过程的滞后阶数由Eviews 软件用AIC

15、 检验自动推断。由检验结果可知，武钢股票收益率序列是特别平稳的。由于GARCH 模型的相关已经相当成熟，本文对本过程只简洁描述一下。通过回来以及LM 检验，AIC 准则的推断，拟采纳如下形式的GARCH 模型：y t =a 1y t 1+u t=w +u +其估计结果为：2t 2t 12t 1+v t(9y t =0.3014366854y t 1t 2=0.00124- 0.218u t 21+1.0767t 21z=1.739 z=-1.8997 z=5.643估计结果中的z 值表示的是广义误差分布的分位值，从以上的估计结果可以得出，各参数的估计结果都较为显著，通过模型的估计结果可以得到各

16、期的波动率。4.2 期权定价模型估计出了各时期股票价格的波动率后，通过BlackScholes的期权定价模型以及基于广义误差分布的期权定价模型，把相关时期的数据带入到两个模型当中去，可以得出在这两个模型下的权证理论价格，经过Eviews 编程可得到如表4所示的结果：表4 期权的理论价格与实际价格Tab. 4 Theoretical Price and Practical Price Based on Option Theory日 期权证价格正态分布理论价广义误差分布理论价日 期权证价格正态分布理论价广义误差分布理论价2007/05/04 (5.722 2007/08/242007/08/312

17、007/09/072007/09/142007/09/212007/09/282007/10/052007/10/122007/10/197.295 8.876 10.988 8.835 8.049 (8.1548.725 8.212 :/ paper.edu 2007/07/06 2007/07/13 2007/07/20 2007/07/27 2007/08/03 2007/08/10 2007/08/17 5.694 5.499 5.135 6.359 6.668 6.601 6.314 3.779 3.955 3.829 5.592 5.370 6.594 6.008 4.975 5.

18、163 5.014 6.793 5.691 6.707 6.423 2007/10/26 2007/11/02 2007/11/09 2007/11/16 2007/11/23 2007/11/30 7.070 6.735 6.455 6.401 6.744 6.607 7.331 6.821 6.181 6.714 7.343 6.736 7.155 6.712 6.342 6.877 7.521 7.312 注:为了保持计算过程的连续性，在节假日的星期数据采纳上星期的数据，加括号表示。 从表4中可以看出， 在样本期的前期和后期， BlackScholes模型的定价与实际较为吻合， 而在中期

19、， 广义误差分布模型的定价结果与实际状况较为接近。 但详细是哪一种定价模型与 实际的权证价格拟后得较好，有待进一步的检验。 1、 均方误差（mean square）检验 均方误差定义为各预料值误差的平方和的平均值的平方根，其越小说明平均误差越小， 其预料效果越好，其可表示成如下形式： = ( pi pi 2 i =1 n n (10 其中， 表示均方误差， pi 表示估计值， pi 表示实际值， n 表示样本个数。 通过计算，可以得到两模型的均方误差值，其结果见表5。 表5 均方误差值 Tab. 5 Mean Square Value 正态分布 均方误差 1.467861495 广义误差分布

20、1.045350672 由表5中可看出， 广义误差分布的均方误差小于正态分布的均方误差， 说明广义误差分布 的期权模型定价与实际的价格拟合得更好。 2、 协整检验 协 整 检 验 是 用 来 检 验 两 个 变 量 是 否 存 在 着 长 期 的 稳 定 关 系 ， 本 文 采 用 的 是 E-G （Engle-Granger）两步法来进行协整检验。检验的变量是权证的实际价格和各理论价格，通 过协整方程中各系数的大小及其显著程度来比较两个定价模型的好坏。 在进行协整检验前，先检验各变量的平稳性，其检验结果见表6： 表6 ADF检验结果 Tab. 6 Results of ADF Tests 变

21、量 P NRP GEDP DP DNRP DGEDP ADF 统计量 -3.178083 -1.652546 -2.144016 -5.249964 -5.192548 -5.590371 ADF 临界(5% -3.622033 -3.568379 -3.568379 -3.574244 -3.574244 -3.574244 AIC 值 1.101604 2.998690 2.870739 2.097611 3.123534 3.044830 结论 不平稳 不平稳 不平稳 平稳 平稳 平稳 注：表中的滞后阶数由Eveiws软件依据AIC值自动推断。 其中，P表示权证的实际价格，NRP表示Bl

22、ackScholes模型的定价，GEDP表示广义误 差分布模型定价，前面加D表示一阶差分。 6 :/ paper.edu 由其检验结果可得， 以上三个价格都是一阶单整的， 故可对其进行E-G两步法协整检验。 通过Eveiws软件可得其协整方程和检验结果： 协整方程： BlackScholes模型： P= 2.32926642+0.2162951625*NRP+0.4522831109*P (-1 （3.313821） （3.347923） （3.301925） 广义误差模型： P= 1.585784181+0.2449732731*GEDP+0.5200033666*P(-1 （2.32589

23、4）（3.036302） （3.981343） 协整检验结果（表7）： 表7 协整检验结果 Tab.7 Results of Cointegration Test 模 型 ADF 统计量 -4.20967 -4.30410 ADF 临界(5% -3.574244 -3.574244 AIC 值 1.582023 1.651515 结论 平稳 平稳 BlackScholes 模型 广义误差模型 注：表中的滞后阶数由Eveiws软件依据AIC值自动推断。 从两模型的协整检验结果中，可以看出这两个模型的定价与实际的权证价存在着长期的协 因为广义误差模型的ADF 整关系， 但是广义误差模型的长期稳定性

24、要强于BlackScholes模型， 值小于BlackScholes模型的ADF值。从两模型的协整方程中可以看出，两模型的系数均很 显著，但两模型协整方程的系数不一样，从截距上分析，BlackScholes模型的截距要大于 广义误差模型的截距， 即广义误差模型的定价与实际价之间的差距要小于BlackScholes模型的 定价与实际价之间的差距，说明广义误差模型的定价更接近实际价格；从斜率上分析， BlackScholes模型的斜率与广义误差模型的斜率较为接近，而且两模型的斜率系数都很显著。 故无论是从协整方程还是从协整检验的结果分析，广义误差分布的期权模型的定价结果都比 BlackSchole

25、s模型的定价结果更好。 5 结论 通过本文的比较分析，我国上市公司权证无论是其收益率，还是其标的资产的运动过程， 更多的是听从广义误差分布； 而在其权证的定价过程中， 广义误差分布的期权模型定价比传统的 BlackScholes模型的定价更接近实际价格，与实际价格的变更更为一样，即标的资产价格 听从对数广义误差分布的假设更为合理。 参 考 文 献 1 吴恒煜.BlackScholes期权定价公式的推导及推广J.商业探讨.2006.第十六期. 2 Black F. and Scholes M. The pricing of options and corporate liabilitiesJ.

26、Journal of Political Economy. 1973,81(3: 637-654. 3 John C.Hull.期权期货和其它衍生产品(第三版M.华夏出版社.2004 Research of Option Pricing Model Based 7 :/ paper.edu on Generalized Error Distribution Qiu Shibin Chen Yanwu (College of Commerce, Huaqiao University, Fujian, PRC,(362021 Abstract Aiming at the development o

27、f the warrants of our listed corporations, this paper modifies the hypothesis condition of the traditional Black-Scholes option pricing model that the price of captioned capital follows the logarithmic normal distribution and put forth the hypothesis condition that the price of captioned capital fol

28、lows the logarithmic generalized error distribution. The positive research concludes that the price of captioned capital follows the logarithmic generalized error distribution and the generalized error distribution option pricing performs more coincidently with the actual situation. Keywords：Black-Scholes Models; generalized error distribution; cointegration test; goodness of fitness 作者简介： 邱世斌，男，1983 年诞生，硕士探讨生，主要探讨方向是金融工程和金融计量的探讨。 陈燕武（联系人） ，女，副教授，博士，e-mail: cywhelen163 基金项目：高等学校博士点学科专项科研基金（项目编号：20050385001） 、2007 年度“福建 省高等学校新世纪优秀人才支持安排” 。 8