最优控制论文x

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1、摘 要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。最 优化一般可以分为最优设计、 最优计划、 最优管理和最优控制四个方面。 而最优控制理论是 研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科， 解决最优控制问题的主要方法 有古典变分法、 极大值原理和动态规划。 通过以上知识的讲解使初学者能够快速掌握最优控 制的问题。 最优控制是最优化方法的一个应用， 如果想了解最优控制必须知道什么是最优化 方法。所谓最优化方法为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。第一章 最优控制的一般概念1.1 背景知识在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。所谓的自动

2、控制， 是指在没有人直接参与的情况下， 利用外加的设备和装置， 是机器、 设备或生产过程的某个 工作状态或参数自动按照预定的规律运行。 近几十年来，随着电子计算机技术的发展和应用， 在宇宙航行、 机器人控制、 导弹制导以及核动力等高新技术的领域中， 自动控制技术更具有 特别重要的作用。自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。 它的发展初期， 是以反馈理论为基础 的自动调节原理， 主要用于工业控制。 第二次世界大战期间， 为了设计和制造飞机及船用自 动驾驶仪、 火炮定位系统、 雷达跟踪系统以及其它基于反馈原理的军用装备， 进一步促进并 完善了自动控制理论的发展。 到战后， 已形成完整的自动

3、控制理论体系， 这就是以传递函数 为基础的经典控制理论，它主要研究单输入单输出、线性定常系统的分析和设计问题。随着现代应用数学新成果的推出和电子计算机技术的应用， 为适应宇航技术的发展， 自动 控制理论跨入了一个新阶段现代控制理论。 它主要研究具有高性能、 高精度的多变量变 参数系统的最忧控制问题，主要采用的方法是以状态为基础的状态空间法。从数学意义上说， 最优化方法是一种求极值的方法， 即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物 力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或 经济任务下，

4、使投入的人力、物力和财力等资源为最少。最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。（ 1 ）最优设 计: 世界各国工程技术界 ,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于 设计中， 从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等， 结合有限元方法已使许多设计优 化问题得到解决。 一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结合。 电子线路的最优 设计是另一个应用最优化方法的重要领域， 它存在着巨大的开发潜力， 尤其是对于学电工学的学生来说。配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用,并向计算机辅助搜索最佳配方、 配比方向发展。 （ 2）最优

5、计划 :现代国民经济或部门经济的计划， 直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、 环境和生态规划的制订 , 都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进 行各种优化决策，使工作结构简单，工作效率最高化，节省了很多时间。（3）最优管理：一般在日常生产计划的制订、 调度和运行中都可应用最优化方法。 随着管理信息系统和决策 支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。（4）最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代 控制理论的重要组成部分。 这方面的开创性工作主要是由贝

6、尔曼提出的动态规划和庞特里亚 金等人提出的最大值原理。这方面的先期工作应该追溯到维纳等人奠基的控制论。 1948 年 维纳发表了题为 控制论 关于动物和机器中控制与通讯的科学 的论文， 第一次科学的 提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森 1954 年所著的工程控制论直接促进了最优控制理论的发展和形成1.2 最优控制的概念在经典控制理论中， 设计控制系统的各种方法大多建立在试凑的基础上， 设计结果与设计 人员的经验有很大的关系。 对于多输入多输出系统， 或者要求高控制精度的复杂系统， 经 典方法显得无能为力，迫切需要探索新的设计方法。20 年代 60 年代初

7、，由于空间技术的迅猛发展和计算机的广泛应用， 动态系统的优化理论得到了迅速的发展， 形成了最优控制这一 重要的学科分支，并在控制工程、经济管理与决策以及人口控制等领域得到了成功的应用， 取得了显著地成效。 最优控制在被控对象参数已知的情况下， 已经成为设计复杂系统的有效 方法之一。最优控制是现代控制理论的核心。 所谓最优控制， 就是在一定的条件下， 在完成所要求的 控制任务时， 使系统的某种性能指标具有最优值。 最优控制系统的设计， 就是选择最优控制， 以使某一种性能指标为最小。为了解决最优控制问题， 必须建立描述受控运动过程的运动方程，即系统的数学模型， 给出控制变量的允许取值范围， 指定运

8、动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。 通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状 态。系统的运动状态受到运动方程的约束， 而控制函数只能在允许的范围内选取。 最优控制 研究的主要问题是： 根据已建立的被控对象的数学模型， 选择一个容许的控制律， 使得被控 对象按预定要求运行， 并使给定的某一性能指标达到极限值。 从数学的观点来看， 最优控制 研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题， 属于变分学的范畴。 然而，经典变分 理论只能解决控制无约束， 即容许控制属于开集的一类最优控制问题， 为了满足工程实践的需要，出现了现代变分理论，其中最常用

9、的方法是动态规划和极小值原理。第二章经典变分法2.1函数与变分2.1.1泛函的概念如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t),都有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函数 x( t)的泛函，记为：J=J x(t)。例2.1.1函数的定积分1.连续时间系统：Jx( t)dt0是泛函。因为变量 J的值是由函数的选取而确定的。所以最简单的一类泛函可表示为：J x(t ) t f&to连续泛函如果满足下列条件：(1) Jxl(t)+ x2(t)= Jxl(t)+ Jx2(t)(2) Jcx(t)= cJx(t)其中，c是任意常数，就称为线性泛函。例如J x(t )&t1J x(t ) t2

10、&t1J x( t) x (t ) t 2都满足上述两个条件，故均为线性泛函。连续泛函如果满足下列条件：(1) Jx1(t)+ Jx2(t)=l/2 Jxl(t)+x2(t)+ Jx1(t)-x2(t)(2) Jcx(t)= c2Jx( t)就称为*二次型泛函*。例如1tf-x T (tf )Fx ( tf )丄 xT (t )Qx (t)dt2to是关于x(t)的二次型泛函，其中F、Q均为对称矩阵。2.1.2泛函的变分变分法(calculus of variations)是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法

11、最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。如果连续泛函Jx(t)的增量可以表示为：J x( t) J x(t ) x(t ) J x(t )L x( t), x( t) r x( t), x( t )( 2.1.1)其中，Lx(t)， x(t)是关于x(t)的线性连续泛函，而r x(t)，x(t)是关于x(t)的高阶无穷小。Lx(t),x(t)称为泛函的变分，记为J L x(t ), x(t )用式(2.1.1 )来表示时，称该泛函是可微的。例如，泛函J x(t)x2 (t )dt的增量为:J 1 x(t ) x(t )2 dt x 2 (t )dt1 0 02 x(t ) x(t

12、) x2 (t )dto12 x(t ) x(t )dt 1 x 2 (t )dt0 0于是，其变分为：J 12 x(t) x( t)dt可以证明，泛函的变分是唯一的。因为，若泛函的变分不是唯一的,则泛函的增量可以写为:J L1 x(t ), x(t )r1 x(t ), x(t )L2 x(t ), x(t)r2 x(t ), x(t )L1 x( t), x( t) L2 x(t ), x(t ) L x(t ), x( t)泛函Jx( t)的变分为：J J x( t) x( t)0例2.1.4 求泛函0x2( t)dt的变分。该泛函的变分为：J x( t) x( t)001 x (t)0

13、x (t ) x( t )2 dt0x (t ) dt02 x (t )dtx( t) x (t )012 x( t) x(t )dt02.1.3泛函的极值如果泛函Jx(t)在函数空间中点 x=x0(t)的邻域内，其增量为：J J x( t ) J x 0 (t ) 0 就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极小值； 如果泛函Jx(t)在函数空间中点 x=x0(t)的邻域内，其增量为：J J x( t ) J x 0 (t ) 0就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极大值；x0(t)的邻域包含满足条件：d x(t ), x0 ( t ) 的所有点x( t)的球(即以x0(t)为圆心，以为半径

14、的球)。定理(必要条件)若泛函Jx(t)是连续可微的，并且在点x0(t)处达到极值，则泛函在点x0(t)处的变分等于零，即J x0 ( t ), x( t ) 02.2欧拉方程2.2.1三类基本问题最优控制问题中，根据性能指标的类型(积分型性能指标、终值型性能指标、复合型性能指 标)的不同，分别对应了古典变分法中的三类基本问题。拉格朗日(Lagrange )问题一基本问题t fJ x(t)L x(t ), x(t), t dt(2.2.1)to麦耶耳(Mayer)问题J x(t ) x(tf), tf (2.2.2)波尔扎(Bolza )问题J x(t ) x(tf), tf tf L x(t

15、 ), x(t), t dt(2.2.3)t0固定端点的Lagrange问题问题描述：假定点 A( t0,x0)和B(tf , xf)是所要寻求的泛函(1.2.1 )的极值曲线x(t)的两个固定端点，如图1-5所示，其坐标为：(2.2.4)x( t0 ) x( t f ) xf问题：从满足边界条件的二阶可微的函数中,选择使泛函J x(t)tf L x(t ), x(t), t dt 达到t0极小值的函数x(t)解：设x*(t)是使泛函达到极小值且满足边界条件的极值曲线。现用x( t )x*( t ) x( t)表示满足边界条件的极值曲线x*( t)的邻域曲线。其中 x(t)是泛函宗量是一参变量

16、。为使 x(t)是满足边界条件的极值曲线x* (t)的邻域曲线，且满足条件：(2.2.5)x(t )的变分，(01)x(t )应具有连续导数于是，得到x(t0)= x(tf )=0(2.2.6)&x(t )x*( t )由于x* (t)是极值曲线，所以泛函J x(t )&x(t )tf L x(t ), x(t ),t dt 在极值曲线(2.2.7)x* (t)上的变分等t0于零，即(2.2.1)(2.2.8)泛函的变分为J x *( t )x (t )(2.2.9)将式(2.2.1 )代入式(2.2.9)，J x *( t )x (t )tft0tf L x *( t )t0L x *(t

17、)& ) x( t), x *(t)&x (t ), t dt&x( t ), x *( t )&x (t ), t dt&tfL x *( t ), x *( t ), t t0&Lx *( t)： x *( t)： tx( t )x (t )tfLx( t) Lxt0对式(2.2.10 )右端第二项进行分部积分x& & x (t )dt(2.2.10)tf l x&t0将式(2.2.11 )代入式(2.2.10),x&(t )dt Lx&x (t )并考虑式 Jto0得dtf( Lx&) X (t )dtdt(2.2.11)t0止L )x&丿 dt 利用条件 x(t0)= x(tf)=0，

18、则上式变为tf (Lxt0x(t )dtL x&x (t )t ft0(2.2.12)tf ( Lx dLx&)t0dt考虑到泛函宗量的变分x(t )是任意的函数,x( t )dt(2.2.13)x( t) w(t) L不妨选择dLx&dt(2.2.14)其中w(t)是任一满足下列条件的函数：0, t t0 ,C2 ， t0 tw(t )t tftf(C为某一函数)将式(2.2.14 )代入式(2.2.13 )，可得dtf w( t ) Lx Lt0dtx&2dt 0由上式可见，一个非负的函数的定积分为零,dLx& 0dt将上式左端第二项展开,可得只能是被积函数恒等于零，因此有式中L t&若

19、Lxx&0定理2.2.1& L&xL&xt L xx2x& xL& 0xxLL x-,Lxx&x xL,L &xx&t x 时，欧拉方程是一个二阶微分方程。若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0 和终端x(tf)= xf,则泛函J x (t ) tf达到极值的必要条件是，曲线t0x(t)满足欧拉方程dLx& 0dt其中x(t)应有连续的二阶导数，2.2.2几种特殊的欧拉方程&L x(t ), x(t ), t 则至少应是二次连续可微的。&1.被积函数L不显含t，即L L ( x, x) 在这种情况下，欧拉方程的首次积分为LxLxC(2.2.17)其中c是待定的积分常数。&2. 被积函数L不

20、显含x，即LL( t, x)在这种情况下，欧拉方程的首次积分为L0x&3. 被积函数L不显含x，即L L (t , x) 在这种情况下，欧拉方程的首次积分为dLx& 0dt2.3横截条件x*( t)首先当极值曲线 x* (t)的端点变化时，要使泛函J x( t) tft0 应当满足欧拉方程：L - L&0x dt x若端点固定,可以利用端点条件：x(t0 )X。x(t f ) x f确定欧拉方程中的两个待定的积分常数。定理2.3.1若曲线x(t)由一给定的点(t0，x0)到给定的曲线x( tf)= (tf)上的某一点(tf， xf),则泛函J x(t )tf L x(t ), x(t ),t

21、t0 达到极值的必要条件是，x(t)满足欧拉方程dLxdt和横截条件其中x(t )应有连续的二阶导数,连续的一阶导数。(1)始端、终端可变,即 x(t0)=(& x&)lx)Lxt t0*fL x(t ),x(t ),t则至少应是二次连续可微的，而(t0)，x(tf)= ( tf),则横截条件为:(t)则应有*x tto*&x)LX& t t f0 当t0、tf可变，而x(t0)与x(tf)固定时，则横截条件为xL Lt t* 0,0L xL xt t *f 0 当to、tf固定，而x(tO)与x(tf)可变时，即始端与终端分别在t=t0、t=tf上滑动，则横截条件为:L 0Rt|t*fx(t

22、*f ) L x (t ), x* (t), t | t*f dt f 0A xt t*f同理：Lxt t o* 0 例求t -x平面上由给定A(0,l)至给定直线x=2-t的弧长最短的曲线方程。解：由图 2 8，弧长ds (dt) 2 (dx)21 x2 dtIJm根据题意，目标泛函应选为：J tf 1 x2 dt这是一个始端固定，终端可变的泛函的变分问题。由于泛函的被积函数 中不显含x(t)，所以Euler方程为：d x0cc1 X c1t c24_cXI-dtx2/ xc xx2jlf由初始条件x(0)=1，得c2=1，从而有x c1t 1由横截条件，得1 x2( 1 x) x 0J 1

23、 X2经整理得X 1，所以cl = l。最优轨线方程为：X * (t ) t 1最优轨线与给定直线垂直。t*f丄22.4利用变分法求解最优控制问题对于最优控制问题来说，当状态变量和控制变量均不受约束，即X(t) Rn，U(t) Rm时，是在等式约束条件下求泛函极值的变分问题，因此，可以利用在上一节中介绍的拉格朗日乘子法来求解。在这一节中，利用拉格朗日乘子法求解最优控制问题时，将引入哈密顿函数， 推导出几种典型的最优控制问题应满足的必要条件。给定系统状态方程X (t) f X (t),U (t ), t(2.4.1 )初始条件X (to ) Xo(2.4.2)终端条件：tf固定，X(tf)自由和

24、性能泛函J tfL X (t),U (t), t dt(2.4.3)to要求从容许控制 U (t) Rm中确定最优控制U*( t),使系统(2.4.1 )从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函(2.4.3 )达到极小值。这是拉格朗日问题，又称为积分型最 优控制问题。解：将状态方程(2.4.1 )改写为f X (t),U (t), t X (t ) 0(2.4.4)于是，上述最优控制问题就变成为在微分方程(2.6.4 )约束条件下求泛函(2.6.3 )极值的变分问题。利用拉格朗日乘子法，引入n维拉格朗日乘子向量(t)= l(t),2(t), , n (t) T(t)称为协态

25、变量，以便与状态变量相对应。构造辅助泛函J0 tf L X (t),U (t ), t T (t ) f X (t),U (t), t X (t ) dtt0tf F X (t), X (t ),(t),U (t), t dt(2.4.5 )t0F X (t), X (t ), (t ),U (t), t L X (t ),U (t), t 其中，(2.4.6 )T (t ) f X (t ),U (t ), t X (t )于是，求泛函(2.4.3 )在等式(2.4.1 )约束条件下的极值问题，就转变成为求泛函(2.4.5 )的无约束条件的极值问题。定义哈密顿( Hamilton )函数为：

26、(2.4.7 )H X (t), X (t), (t ),U (t), t L X (t ),U (t), t T (t ) f X (t ),U (t), t它是一标量函数，则式(2.4.6 )变为F X (t ), X (t ), (t),U (t), tH X (t ),(t),U (t ), t T (t) X (t )H X (t ), (t ),U (t), t XT (t ) (t )(2.4.8 )F d F0, F d F0,F d F 0X dtXdtUdt U将式(2.4.8 )代入上式，得H(t)XX (t)Hf X (t ),U (t ), t利用变分法可以写出辅助泛

27、函(2.4.5 )的欧拉方程(2.4.9)(2.4.10)初始状态为X (to ) X0由于终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由，所以横截条件为F0Xt t f(tf ) 0考虑式(2.4.8)，得(2.4.11 )式(2.4.9 )(2.4.11 )就是式(2.4.1 )(2.4.3 )所给定的最优控制问题的解应满足的必 要条件。这些条件也可以由求辅助泛函J0对状态变量 X(t)和控制变量 U(t)的变分中推导出来。第三章极大值原理3.1连续系统的极大值原理问题3.1.1(积分型最优控制问题)给定系统的状态方程：&X ( t )f X ( t ), U ( t ), t (3.1.1)其

28、中，f是n维连续可微的向量函数；X(t)是n维状态变量，其初态X(t0)=X0，而终态应满足的条件是：终端时刻 tf固定，终端状态X(tf)自由，U(t )是m维控制变量，其所受约束条件是U ( t )，t 10 , t f (3.1.2)其中， 是以U (t)为元素的m维实函数空间中的一个闭子集。式(3.1.2)表明，控制变量是这个闭子集 中的元素。满足式(3.1.2)约束条件的控制变量称为容许控制变量，简称容许控 制。要求在满足式(3.1.2)的容许控制中，确定一控制变量U(t)，使系统(3.1.1 )从给定的初态 X(tO)转移到某个终态X(tf)的过程中，性能泛函Jtf L X ( t

29、 ), U ( t ), t dtto达到极小值。其中L是连续可微的标量函数。这个积分型最优控制问题所确定的控制U(t)称为最优控制，记为U *( t)。使性能泛函达到极小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最大值，所以，该定理称为最(极)大值原理。3.2最大值原理的几种具体形式定理3.2.1(时不变情况)给定系统的状态方程：x(t ) f x(t ),u(t)(3.2.1)的初态X(t0)=X0和终端时刻tf固定，终端状态x(tf)自由，控制函数的约束条件U ( t )， t t, tf(3.2.2)要求从满足约束条件(3.2.2 )的容许控制中，确定一最优控制U*( t)，使性能泛函取

30、得最小值：tf3.2.3Ju(t ) x(tf ) L x(t), u(t) dtto定义Hamilton函数为：(3.2.4)H x(t ), u(t ), (t ) L x(t ), u(t ) T (t) f x(t), u(t )式中(t) 1 (t ), 2 (t ),., n卩为待定的n维拉格朗日乘子向量。欲使性能指标达最小值，以实现最优控制的必要条件为：1、正则方程组状态方程?x(t )Hf x(t ), u(t)(3.2.5)&(t )H协态方程2、极值条件3、端点约束X(3.2.6)H * () * (t ), (t )*(t), u(t ), (t)x(t ), umin

31、H xu ( t )(3.2.7)x* (t )x04、横截条件x(t f )(tf )x(t f )(3.2.8)定理3.2.2(时变情况)给定系统的状态方程：x(t) f x(t), u(t), t (3.2.9 )的初态X(t0)= X0和 终端时刻tf固定，终端状态x(tf)自由，控制函数的约束条件U ( t ), t t, tf (3.2.10)式中(t ) 1 (t ), 2 (t )，.， n卩为待定的n维拉格朗日乘子向量。欲使性能指标达最小值，以实现最优控制的必要条件为：1、正则方程组&V / f H状态方程X ( t )f X( t ), U ( t ), t (3.2.13

32、)协态方程&H(t )X(3.2.14)2、极值条件H x* (t), u* (t),(t ), t min H x * (t), u(t), (t), t u ( t )3、端点约束x* (t ) x0 04、横截条件x(tf ), t f(tf )x(t f )例题已知系统的状态方程和端点条件为：,r-U*( t),使性能泛函取得最小值Ju(t )t fx(t f ), t f t0L x(t ), u(t ), tdt定义 Hamilton函数为：要求从满足约束条件(3.2.10 )的容许控制中，确定一最优控制(3.2.11)H x(t ), u(t ), (t), tL x(t ),

33、u(t), t T (t ) f x(t ), u(t ), t(3.2.12)控制约束为叱- 丄止*求目标泛函1 xdt的极大值0解：首先引入 Hamilton函数并注意到哈密顿函数是U的线性泛函，maxuh X (t ), (t),U (t), t根据控制方程r1if OrTllI*不定卄入6-1ifAC*) tO)仍然是最优控制策略，其初始状态是在区间to,tl上应用控制策略U* to,t1由系统状态方程X& ( t ) f X ( t ), U ( t ), t 和初始状态X(t0)= X0所得到的X(tl)。推广到一般情形：确定在区间to, tf上任意时刻t及其对应的状态X(t)的最

34、优解。也就是说，要确定最优性能指标函数J* X(t)，t及其对应的最优控制U *( t)和最优轨线X*( t)。根据不变嵌入原理，如果确定了最优性能指标函数J* X(t), t，用t0代换t，用X(t0)代换X(t)，就可以求出 j* X(t0)，t0。连续动态规划的基本方程:根据上述定义式，对于在区间tO, tf上的任意时刻t,最优性能指标函数为J * X ( t ), t min tf L X ( ), U ( ), dU t , t f tmintt L X (),U (),dtfL X (),U (),dU t ,tf tttminmint tL X(),U (),dtf L X ()

35、, U(),dU t ,tt Utt , t f tttmint tL X(),U (),dmintf L X(),U(),dU t ,tt tUtt ,tf ttmint tL X(),U (),dJ* X ( tt ), tt U t ,tt t假定最优性能指标函数J* X( t)，t存在，并且是连续可微的，上页最后一个式子第二项利用泰勒公式可以展开为J * X ( t t ), t t J * X ( t ), t J * x ( t ), t T dx ( t ) tX ( t )dtJ * X ( t ), t t O ( t 2 )t上页最后一个式子第一项利用积分中值定理可得：t

36、t L X ( ), U ( ), dL X ( tt ), U ( tt ), tt tt01由上面两式得，得J * X ( t ), t min L X ( tt ), U ( tt ), tt tJ * X ( t ), t U t ,tt .J * X ( t ), t TdX ( t )tJ * X(t ), t tO (t2 )X ( t )dtt两边消去j* X( t)，t，除以t，并令 t 0 oJ *X (t ), t minL X (t),U (t ), tJ* X (t ), tT!f X (t ),U (t ), ttU ( t )X连续动态规划的基本方程(包含一个函数

37、方程和偏微分方程的混合方程)哈密顿一雅可比方程T 第五早 时间、燃料最优控制问题5.1 bang-bang 控制砰一砰(bang-bang )控制原理(正常的时间最优控制问题)设U* (t)是问题4.1.1的时间最优控制，X* (t)和(t)是相应的状态和协态。若问题是正常u j * (t ) sgnq j (t)sgnbjT X (t),t (t) j 1,2,L , m则时间最优控制的各个分量uj* (t)都是时间t的分段常值函数，并在开关时间t j上发生uj* (t)由一个恒值到另一个恒值的跳变。*上式还可以写成向量的形式U * ( t ) sgn q ( t ) sgn B t X (

38、 t ), t ( t )一个正常的时间最优控制问题，其最优控制的每个分量uj* (t)均在自己的两个边界之间来回转，满足qj (t) = 0的诸点t j恰好是转(切)换点。这是一种继电型控制，通常称为砰 一砰 (bang-bang ) 控制。5.2时间一燃料最优控制问题在性能指标中增加时间的加权项，即Jtftfu ( t ) dttf u ( t ) dt0 0其中0称为加权系数，它体现了设计者对响应时间的重视程度。若=0表示不计时间长短，只考虑节省燃料；当 = 表示不计燃料消耗，只求时间最短。这种问题称为时间一燃 料最优控制问题。问题 已知系统的状态方程(双积分模型)求满足如下约束条件X&

39、 ( t )&x2 ( t )x2( t ) u ( t )0, tf 2 )转移到状态空间的原点(0, 0),u ( t ) |1, t的容许控制u( t)，使系统(4.6.1) 自任意初态(1,且使性能指标Jtfu ( t )dt为最小，假定终端时刻tf0是自由的。解：该问题的哈密顿函数为Hu ( t ) I1(t ) X 2 ( t )使哈密顿函数H达到最小值的最优控制应为 ：u * ( t ) dez 2( t )协态方程&c 1c 2 c1 t1 ( t ) 01 ( t )&2 ( t )1 ( t )2 ( t )因为H不显含t，且tf自由，所以H 0首先证明问题4.6.1不可能出现奇异情况。因为若出现奇异情况，则必有1 ( t )c102 ( t )C 21则有