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1、不等式专题的几个常考点考点一 用均值不等式求最值的类型及方法一、几个重要的均值不等式当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一个重要的不等式链：。二、函数图象及性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：值域：；单调递增区间：，；单调递减区间：，.三、用均值不等式求最值的常见类型类型：求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。注意：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数
2、。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值： 注意：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型：用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、y，求的最小值。注意：求解此类问题，要注意灵活选取方法，一般利用函数图象即可。类型：条件最值问题。例4、已知正数x、y满足，求的最小值。注意：此类问题是学生求解易错得一类题目，想方设法凑成两个倒数的和的形式。类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数满足，试求、
3、的范围。注意：一定要注意xy ，x+y，xy，x方+y方 之间的关系。综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。考点二 一元二次不等是恒成立问题 基本的题型有：1.一元二次不等式在R上恒成立2. 一元二次不等式在（a，b）恒成立3. 一元二次不等式在（a，）恒成立一、 主元变更转化法：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(
4、x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范围。二、利用判别式求解把不等式转化为一元二次不等式，利用在R上恒成立的充要条件是，可以求“在实数集R上恒成立”这一类问题。例2、不等式对一切实数均成立，求实数的取值范围。三、分离变量，巧妙求解若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例3、已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两
5、个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。例4、对于，求使不等式恒成立的的取值范围。四、数形结合求解若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例5、当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax 考点三 简单的线性规划1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域（1）直线把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入AxByC中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入AxByC所得的值的符
6、号都相反。（2）对于直线AxByC0，当B0时，可化为：ykxb的形式。对于二元一次不等式表示的平面区域在直线ykxb的上方（包括直线ykxb）。对于二元一次不等式表示的平面区域在直线ykxb的下方（包括直线ykxb）。注意：二元一次不等式与二元一次不等式所表示的平面区域不同，前者不包括直线AxByC0，后者包括直线AxByC0。2. 线性规划我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。（2）对目标函数zaxby，若b0，则取得最大值（或最小值）时，z也取得最大值（或最小值）；若b0，则反之。（3）一般地，
7、可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。（4）注意实际问题中的特殊要求题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1： 1. 不等式组表示的平面区域是（ ） A B C D例2：. 如图，若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则_。题型二：求目标函数的最值及线性规划知识的实际应用例3： 设变量x，y满足不等式组： 则的最大值是_，最小值是_。例4 已知不等式组，求下列目标函数的最值或取值范围。（1）求zx2y4的最大值。（2）求的最小值。（3）求的取值范围。例5：实际应用题制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30和10%。该投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ - 5 -
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