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1、 O x y i j a A(x, y) a 两者相同 3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ 坐标（ x ， y） 一 一 对 应 向量 a 1以原点 O为起点作 OA=a，点 A的位置由谁确定 ? 2点 A的坐标与向量 a 的坐标有 什么关系？ 由 a 唯一确定 a=b x1=x2且 y1=y2 已知 a=(x1， y1)， b=(x2， y2)，你 能得出 a +b， a -b， a的坐标吗？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和（差） 解： a + b=（ x1i+y1j） +（ x2i+y2j ） a + b =（ x1+x2， y1+y2） 即 同理可得 a
2、 - b =（ x1-x2， y1-y2） =（ x1+x2） i+（ y1+y2） j 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向 量的相应坐标 a=（ x1， y1） 即 a =（ x1i+y1j） =x1i+y1j 例 1 如图，已知 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），求 AB的坐标 O x y A(x 1， y1) B(x2， y2) =(x2， y2)-(x1- y1) =(x2-x1， y2 -y1) 解： AB=OB-OA 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点的坐标减去始点的坐标 例 2 已知 a=(2， 1)， b=(-3， 4) ，求 a+b， a-b，
3、 3a+4b的坐标 . 解： =（ 6， 3） +（ -12， 16） =（ -6， 19） a-b=（ 2， 1） -（ -3， 4） =（ 5， -3） ； a+b=（ 2， 1） +（ -3， 4） =（ -1， 5） ； 3a+4b=3（ 2， 1） +4（ -3， 4） 例 3 如图，已知平行四边形 ABCD的三个顶点 A、 B、 C的坐标分别是 (-2， 1)、 (-1， 3) 、 (3， 4)，试求顶 点 D的坐标 . y x O 1 1 A B C D 解法 1： 设顶点 D的坐标为（ x， y） (1， 2)=(3-x， 4-y) 1=3-x 2=4-y x=2 y=2 顶点
4、 D的坐标为（ 2， 2） AB=(-1-(-2)， 3-1)=(1， 2)， DC=(3-x， 4-y)， 由 AB=DC，得 解法 2： 如图，由向量加法的平行四边形法则可知 顶点 D的坐标为（ 2， 2） =(-2-(-1)， 1-3)+(3-(-1)， 4-3) BD=BA+AD=BA+BC =(2， 2) 而 OD=OB+BD =(-1， 3)+(3， -1) y x O 1 1 A B C D =(3， -1)， 如何用坐标表示两个共线向量？ a=b 向量 a与非零向量 b平行 (共线 )的充要条件是有且 只有一个实数 ，使得 (x1， y1)=(x2， y2) 即 x1=x2，
5、y1=y2 消去 后得： x1y2-x2y1=0 这就是说，当且仅当 x1y2-x2y1=0 设 a=(x1， y1)， b=(x2， y2)，其中 b0则由 a=b， 有 时，向量 a、 b（ b0）共线 例 4 已知 a=(4， 2)， b=(6， y)，且 a b，求 y. 解： a b ， 4y-2 6=0. y=3. 例 5 已知 A(-1， -1)、 B(1， 3)、 C(2， 5)，试判 断 A、 B、 C三点之间的位置关系 解： 在平面直角坐标系中作出 A、 B、 C三点（如 下图），观察图形，猜想 A、 B、 C三点共线 y x O 1 A B C 又 2 6-3 4=0.
6、直线 AB、直线 AC有公共点 A， A、 B、 C三点共线 AB=(1-(-1)， 3-(-1)=(2， 4)， AC=(2-(-1)， 5-(-1)=(3， 6)， AB AC， 例 6 设点 P是线段 P1P2上的一点， P1、 P2的坐标 分别是 (x1， y1)、 (x2， y2) （ 1）当点 P是线段 P1P2的中点时，求点 P的坐标； y x O P P1 P2 解： 如图，由向量的线性运 算可知 所以，点 P的坐标是 ( ， ) x1+x2 2 y1+y2 2 OP= (OP1+OP2)=( ， ) 1 2 x1+x2 2 y1+y2 2 （ 2）当点 P是线段 P1P2的一
7、个三等分点时，求点 P 的坐标 如图，当点 P是线段 P1P2的一个三等分点时，有两 种情况，即 P1P= PP2或 P1P=2PP2 1 2 x y O P P1 P2 y x O P P1 P2 x y O P P1 P2 如果 P1P= PP2 (如图 )，那么 1 2 OP=OP1+P1P=OP1+ P1P2 1 3 =OP1+ (OP2-OP1) 1 3 = OP1+ OP2 2 3 1 3 =( ， ) 2x1+x2 3 2y1+y2 3 即点 P的坐标是 ( ， ) 2x1+x2 3 2y1+y2 3 同理，如果 P1P=2PP2，那么点 P的坐标是 ( ， ) x1+2x2 3
8、 y1+2y2 3 （ 2）当点 P是线段 P1P2的一个三等分点时，求点 P 的坐标 如图，当 P1P=PP2时，点 P的坐 标是什么？ y x O P P1 P2 点 P的坐标是： ( ， ) x1+x2 1+ y1+y2 1+ 练习 1.已知向量 a、 b的坐标，求 a+b， a-b的坐标： a+b=（ 3， 6） a-b=（ -7， 2） a-b=（ 7， -5） a+b=（ 1， 11） a+b=（ 0， 0） a-b=（ 4， 6） a-b=（ 3， -4） a+b=（ 3， 4） （ 1） a=（ -2， 4）， b=（ 5， 2）； （ 2） a=（ 4， 3）， b=（ -3
9、， 8）； （ 3） a=（ 2， 3）， b=（ -2， -3）； （ 4） a=（ 3， 0）， b=（ 0， 4） . 练习 2.已知平行四边形 ABCD的顶点 A(-1， -2)、 B(3， -1)、 C(5， 6)，求顶点 D的坐标 顶点 D的坐标为（ 1， 5） 所以 2 x 3 -6 = 解得 x=-4 练习 3. x为何值时， a=(2， 3)与 b=(x， -6)共线？ 解：由向量 a， b共线得 (2， 3) =(x， -6)， 如果存在，求出 x、 y、 z的值；如果不存在，说明 理由 (2， 3)=x(3， 1)+y(2， 2)+z(-1， 5)=(3x+2y-z， x+2y+5z) 则 3x+2y-z=2 x+2y+5z=3 x+y+z=1 消 z得 4x+3y=3 4x+3y=2 方程组显然无解，所以不存在这样的实数 x、 y、 z 已知 a=(3， 1)， b=(2， 2)， c=(-1， 5)， p=(2， 3)， 试问是否存在实数 x、 y、 z满足下列两式： （ 1） p=xa+yb+zc； （ 2） x+y+z=1 解：由 p=xa+yb+zc，得
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