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1、小学奥数中的 “余数问题” 余数的定义 一般地，如果 a是整数， b是整数（ b0），若 有 a b qr ，或者 a b q r， 0 rb 当 r 0时，称 a能被 b整除； 当 r 0时，称 a不能被 b整除， r为 a除于 b的余数， q为 a除于 b的商。 余数的性质 （ 1）被除数除数 商余数 除数（被除数余数） 商 商（被除数余数） 除数 （ 2）余数小于除数 同余定理（一） 如果 a， b除于 c的余数相同，就称 a， b对于余 数来说是同余的，且有 a与 b的差能被 c整除。 （ a,b,c均为自然数） 同余定理（二） a与 b的和除于 c的余数，等于 a， b分别除于 c的
2、 余数之和（或这个和除于 c的余数） 例： 23,16除于 5的余数非别是 3和 1，所以（ 23 16）除于 5的余数等于 3 1 4 例： 23， 19除于 5的余数非别是 3和 4，所以 （ 23 19）除于 5的余数等于（ 3 4）除于 5 的余数，即 2 同余定理（三） a与 b的乘积除于 c的余数，等于 a， b分别除于 c 的余数之积（或这个积除于 c的余数） 例： 23,16除于 5的余数非别是 3和 1，所以 （ 23 16）除于 5的余数等于 3 1 3 例： 23， 19除于 5的余数非别是 3和 4，所以 （ 23 19）除于 5的余数等于（ 3 4）除于 5 的余数，
3、即 2 1小东在计算除法时，把除数 87写成 78，结果 得到的商是 54，余数是 8.正确的商是 _,余数 是 _. 2. a 24=121 b,要使余数最大，被除数应该 等于 _. 3. 一个三位数被 37除余 17,被 36除余 3,那么这个 三位数是 _. 解 1. 48,44. 依题意得 被除数 =78 54+8=4220 而 4220=87 48+44,所以正确的商是 48,余数是 44. 解 2. 2927 因为余数一定要比除数小 ,所以余数最大为 23,故有 被除数 =24 121+23=2927 解 3. 831 这个三位数可以写成 37 商 +17=36 商 +(商 +17
4、). 根据“被 36除余 3” .(商 +17)被 36除要余 3.商只能 是 22(如果商更大的话 ,与题目条件“三位数”不 符合 ). 因此 ,这个三位数是 37 22+17=831. 4. 393除以一个两位数 ,余数为 8,这样的两位数有 _个 ,它们是 _. 解： 4. 4; 11,35,55,77 393减 8,那么差一定能被两位数整除 . 393-8=385 385=5 7 11=(5 7) 11=(5 11) 7=(7 11) 5 385能被两位数 11， 35， 55， 77整除 . 5. 31453 68765 987657的积 ,除以 4的余数是 _. 解： 5. 1 3
5、1453 4=78631 68765 4=171911 987657 4=2469141 1 1 1=1 31453 68765 987657的积除以 4余数是 1. 6. 8888 乘以 6666 的积，除以 7余数是 50个 8 50个 6 解： . 5 因为 111111能被 7整除 ,所以 888888和 666666均能 被 7整除 .而 50=6 8+2,故得被乘数与 88被 7除的余 数相同 ,乘数与 66被 7除的余数相同 ,进而得 :被乘数 被 7除余 4,乘数被 7除余 3.所以乘积与 (4 3=)12被 7 整除的余数相同 .因此得乘积被 7除的余数是 5. 7. 如果时
6、针现在表示的时间是 18点整 ,那么分针旋 转 1990格之后是 _点钟 . 解： 7. 16 因为分针旋转一圈为一个钟头 ,所以分针旋转 24格 , 时针旋转 2格 .若以现时 18点整为起点与终点 ,这样时 针又回到 18点整的位置上 . 由 1990 24=82 余 22，可知那时时钟表示的时间应 是 16点整 . 8. 甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏 ,从 1起按 下面顺序进行：甲报 1、乙报 2、丙报 3、丁报 4、乙 报 5、丁报 6、甲报 7、乙报 8、丙报 9， ，这样， 报 1990这个小朋友是 _. 解 8. 丁 根据小朋友报数顺序列表如下 : 甲 乙 丙 丁 1 2
7、3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由上表可知每 6个数号为一组的报数的规律 .由 1990 6=3314 ，根据余数是 4可知报 1990的小 朋友是丁 . 9. 如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，将 199219921992 只彩灯依次反复排列，那么 1991个 1992 何种颜色的彩灯必定要比其他颜色的彩灯少一只 . 解： 9. 紫 考虑通过试除发现规律后求彩灯总数被 7除的余数 即可 .经试除得 :199219921992能被 7整除 ,而 1991 被 3除余 2,所以彩灯总数与 19921992被 7除的余数 相同 ,均为 6.所以 ,紫色的彩灯要比其它颜色的彩灯 少一只 . 10. 从 7开始 ,把 7的倍数依次写下去 ,一直写到 994成 为一个很大的数 :71421987994. 这个数是 _位数 . 解： 10. 411 9 7=12 一位数中能被 7整除的数有 1个； 99 7=141 两位数中能被 7整除的数有（ 14-1=） 13个； 999 7=1425 三位数中能被 7整除的数有 142-13-1=128（个） 所以，这个数的位数为： 1+13 2+128 3=411
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