二次函数复习要点

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1、二次函数复习知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如y=ax2bxc（a,b,c是常数，0)的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而可觉得零二次函数的定义域是全体实数.2 二次函数y=ax+b+的构造特性: 等号左边是函数,右边是有关自变量的二次多项式。（含自变量的代数式是整式,自变量的最高次数是2,二次项系数不为.) 是常数，是二次项系数，是一次项系数,是常数项二、二次函数的基本形式.yax2的性质:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上(0,0)轴时,随的增大而增大;时，随的增大而减小;时,有最小值向下(，)轴时，随的增大而减小；时

2、，随的增大而增大;时，有最大值.2 yax2+的性质: (k上加下减)的符号开口方向顶点坐标对称轴性质(增减性）向上（0，k)轴时,随的增大而增大；时,随的增大而减小;时,有最小值k.向下（，k)轴时，随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值k3 （-h)2的性质： （左加右减）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质(增减性)向上（,0)直线=h时，随的增大而增大;时，随的增大而减小;时,有最小值向下（h,)直线x=h时，随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值4. ya (x-h）2+k的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（h,k)直线x=h时,随的增大而增大；时

3、，随的增大而减小；时,有最小值.向下(，k)直线x=时,随的增大而减小；时,随的增大而增大;时,有最大值.5.y=+bx+c的性质:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上直线时,随的增大而增大;时，随的增大而减小;时,有最小值.向下直线时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有最大值三、二次函数的图象与各项系数之间的关系. 二次项系数a （决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数中，a作为二次项系数，显然a0 当时，抛物线开口向上,当时，抛物线开口向下；的绝对值越大,开口越小，反之的绝对值越小，开口越大。总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小

4、2. 一次项系数 （a和b共同决定抛物线对称轴的位置） .抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴; (即、同号）时，对称轴在轴左侧； (即、异号)时,对称轴在轴右侧 ab的符号的鉴定:对称轴在轴左边则，在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”常数项c（决定了抛物线与轴交点的位置） 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为; 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负. 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置总之，只要都拟定，那么这条抛物线就是唯一拟定的四、二次函数图象的平移 1 平移环节:措施一

5、： 将抛物线解析式转化成顶点式,拟定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处,具体平移措施如下： 2平移规律 在原有函数的基本上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减” 措施二:沿轴平移:向上(下）平移个单位,变成(或)沿x轴平移：向左(右）平移个单位,变成（或)五、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的体现形式,后者通过配方可以得到前者，即,其中.六、二次函数图象的画法五点绘图法：运用配措施将二次函数化为顶点式,拟定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选用的五点为：顶点、与轴的交点、以及有关对称轴对称

6、的点、与轴的交点,(若与轴没有交点，则取两组有关对称轴对称的点）.画草图时应抓住如下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.七、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种状况,可以用一般式或顶点式体现 1.有关轴对称 有关轴对称后，得到的解析式是；有关轴对称后，得到的解析式是; 有关轴对称 有关轴对称后,得到的解析式是; 有关轴对称后，得到的解析式是; 3. 有关原点对称 有关原点对称后,得到的解析式是； 有关原点对称后,得到的解析式是; 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变八、二次函数解析式的拟定：根据已知条件拟定二次函数解析

7、式，一般运用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择合适的形式,才干使解题简便一般来说,有如下几种状况：1.一般式：（，为常数,)，合用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;2. 顶点式:(,，为常数,），合用条件:已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3交点式(两根式)：（，,是抛物线与轴两交点的横坐标）,合用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与轴的两个交点(,0)，（,0),一般选用交点式;九、二次函数的最值 如果自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处获得最大值（或最小值)，即当时,。如果自变量的取

8、值范畴是，那么,一方面要看与否在自变量取值范畴内,若在此范畴内，则当时,；若不在此范畴内,则需要考虑函数在范畴内的增减性,如果在此范畴内，y随的增大而增大,则当时,，当时,;如果在此范畴内,y随x的增大而减小,则当时，,当时,。十、 掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系(以a为例，a0请同窗们自己补充）鉴别式二次函数a对称轴：交点式：当x为全体实数时，y二次函数a0一元二次方程 两根为(有两个不相等的实数根）(有两个相等的实数根)无实根抛物线上两点，则抛物线对称轴为直线十一、函数的应用二次函数应用十二、二次函数常用解题措施总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程

9、；求二次函数的最大（小)值运用顶点坐标公式，即当时,；或先配方运用顶点式求最值。 根据图象的位置判断二次函数中，,的符号，或由二次函数中,的符号判断图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象有关对称轴对称，可运用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一种交点坐标,可由对称性求出另一种交点坐标二次函数考察重点与常用题型1、 已知觉得自变量的二次函数的图像通过原点，则的值是 -1 2.写出一种开口向上，顶点坐标是（2,-)的函数解析式 。 将二次函数配成的形式是_.4.抛物线与x轴交点的坐标是_（2,)、 (3,0) .5.已知函数，当时,y=-5,则x=1时,y的值是_。6王翔同窗在一次

10、跳高训练中采用了背跃式,跳跃路线正好和抛物线相吻合，那么她能跳过的最大高度为 _m.将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位,得到的抛物线是( B )。B. . D8.下列描述抛物线的开口方向及其最值状况对的的是(C)。A.开口向上，有最大值 B开口向上，y有最小值 ABDC 开口向下，有最大值 D开口向下，y有最小值9如图，一边靠墙(墙有足够长），其她三边用12米长的篱笆围成一种矩形（BCD）花园,这个花园的最大面积是( 18 ）平方米。0、如图,如果函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大体是（ B ） y y y y 1 0 x o- x 0 x 0 - x A B C

11、 D1、二次函数的图像如图1,则点在（ ） 第一象限 B第二象限 C第三象限 D.第四象限12、已知二次函数y=a2+bx+（a0）的图象如图2所示，则下列结论：a、同号;当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0其中对的的个数是(B )A1个 B2个 C个 D.4个 图（1） 图（) 13、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2,O)、(1,）,且1x，与y轴的正半轴的交点在点（O，2)的下方下列结论:b0；+cO;acO,其中对的结论的个数为(D) 个 . 个 C.个 D4个4、已知:有关的一元二次方程ax2+bx+c=的一种根为x=2,且

12、二次函数y=x+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为(C)(2，-3） B.（，) (2，） D（，2）15、你懂得吗?平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离、2.5处绳子在甩到最高处时刚好通过她们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( B ）A15m 1625 m .66 m .167 1、已知一条抛物线通过(,3），(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。17、已知抛物线(a0)与x轴的两个交点

13、的横坐标是、3,与y轴交点的纵坐标是()拟定抛物线的解析式；（2）用配措施拟定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.18、已知抛物线=2x(1）用配措施求它的顶点坐标和对称轴（）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长.19、如图，二次函数的图象通过A 、B、三点（1)观测图象，写出A 、B、C三点的坐标,并求出抛物线解析式;(2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴;-14yxAB5O(3)观测图象，当x取何值时，y0？=0？y0?20、已知抛物线y=x+（2+）-k2k()求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点;（)设A(1，）和（x2，0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足12+x22=

14、-2k2+2k+1，求抛物线的解析式此抛物线上与否存在一点P，使B的面积等于3，若存在，祈求出点的坐标;若不存在,请阐明理由。【解析】(1)=（2k+1)4*1*(k+k)=8+10 恒成立此抛物线线与x轴总有两个不同的交点(2)x1+x2=-2k2k1 x+x2-b/a=2k+1 x1*x2=c-kkx1x=（x+2)-22=(2k+)-2(-k+k）=6+2k=-2k+k1解得k0 抛物线的解析式是y=x+x点和点B是抛物线y=+与x轴的两个交点由x+x0 ,得x1=-1，x=则AB=1又PAB的面积等于3 设P(x,）S=(1/)*1y=3 则y=6由+=6,得x1=，x=-3即P1（2

15、，） 或P2(3,6)2、如图(单位:m），等腰三角形BC以2米秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重叠.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（1）写出y与的关系式；（2)当x=2,.5时,y分别是多少?(）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元）与产品的日销售量y（件)之间的关系如下表:x(元）150y(件）2201 若日销售量是销售价的一次函数 （1）求出日销售量y（件）与销售价x(元）的函数关系式; （2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日

16、销售利润是多少元?【解析】()设此一次函数体现式为y=kx+b.则 解得=-1,b=0，即一次函数体现式为y=-x+0. （2)设每件产品的销售价应定为元,所获销售利润为w元 (x10)（40-x）=x+50x-(x-25)2+22. 产品的销售价应定为5元，此时每日获得最大销售利润为2元.23.如图，抛物线通过点A（1，0），与y轴交于点B。(）求抛物线的解析式;(2）P是y轴上一点，且AB是以AB为腰的等腰三角形，请写出点坐标。解:(）(1,)在抛物线上，可把A点坐标代入方程得-12+51+n=，解得n=4,抛物线的解析式为y=-2+5x；(2)把x=代入抛物线方程得y=-4，点坐标为（,)，PB是以AB为腰的等腰三角形,可分两种状况:PA=AB;PB=AB,若A=B,则点和B点有关原点对称,点坐标为(0,4)；若PB=AB,且，点坐标为。