空间向量专题练习答案

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1、空间向量专项练习一、填空题(本大题共小题,共20.0分）1.平面的法向量为(1,，1）,平面的法向量为（，-1，1)，则平面与平面所成二面角的大小为 _ 【答案】3或23 【解析】 解:设平面的法向量为m=（1，0,-1),平面的法向量为n=(0,-1，),则cosm，n=10+0(1)+(1)12212, m，n=23 平面与平面所成的角与相等或互补， 与所成的角为3或23故答案为：3或23.运用法向量的夹角与二面角的关系即可得出. 本题考察了运用用法向量的夹角求二面角的措施,考察了计算能力，属于基本题. 2.平面通过三点(-,),（1，,2),C(,-，),则平面的法向量u可以是 _ (写

2、出一种即可）【答案】 (0，-1)【解析】解:AB=(，1，1）,AC=（3,1,-1)，设平面的法向量u=(x,y,z),则uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0,令z=-1,=1，x=0.u=(0,1，-1).故答案为：（0，-1） 设平面的法向量u=(x，y，z），则uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0,解出即可. 本题考察了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量,属于基本题.已知AB(1，0，2），AC=(2，,1）,则平面A的一种法向量为 _ .【答案】（2,，1) 【解析】 解:AB=(1，,2）,AC=（2,1,1）, 设平面AB的法向量为n（x，y,z）,则nAB=

3、0nAC=0，即x+2z=02x+y+z=0,取x=,则=，=3 n=(-，3，1). 故答案为:（2，3,1）. 设平面ABC的法向量为n=（,y，z）,则nAB=0nAC=0，解出即可 本题考察了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系,属于基本题. 4.在三角形BC中,A（，-2,-1），B(0，-3,1)，C（2，2,1)，若向量n与平面BC垂直,且n=21,则n的坐标为 _【答案】 (2,-4,-1）或（-2,4,1) 【解析】 解:设平面ABC的法向量为m（,y，), 则mAB=0，且mAC=0, AB=（-1,-1,2），AC=（1,0，2），xy+2z=0x+2z=0， 即x=2z

4、y=4z,令=1，则x=-,y=, 即m=(-2，4，）, 若向量n与平面A垂直, 向量nm， 设n=m=(-2,4,), |n|=21，21|=21, 即|=1, 解得=1，n的坐标为(2,-4，-1)或（-2，4,)， 故答案为：（2，-4,1）或(-2,4，1）根据条件求出平面的法向量,结合向量的长度公式即可得到结论. 本题重要考察空间向量坐标的计算,根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的核心. 二、解答题(本大题共3小题，共60分）5.如图，在四棱锥PBC中，底面AC为菱形,BD=6，Q为A的中点 （1)若A=P,求证：平面PQB平面A;（2)点M在线段PC上，PM=13PC，

5、若平面PA平面ABCD，且A=P=A=2，求二面角M-C的大小. 【答案】 解:（1）证明：由题意知：QD,BQD，PBQ,D平面QB， 又AD平面D, 平面PQ平面PA.(）PA=PD=D，Q为AD的中点,PQA， 平面PAD平面ABD，平面PAD平面ABCD=AD, Q平面ABC， 以Q这坐标原点，分别以Q，QB,P为,y,z轴， 建立如图所求的空间直角坐标系,由题意知：Q（0，0),(1,0,0）, P（,0，3)，（0,3,0)，C（-2，3,0） QM=23QP+13QC=(-23，33,233）,设n1是平面BQ的一种法向量，则n1QM=0,n1QB=0, 3y=023x+33y+

6、233z=0,n1=(3，0，1), 又n2=(0，0，1)平面QC的一种法向量, cosn1，n2=12， 二面角M-BQ-C的大小是60. 【解析】 (1)由题设条件推导出PQD,BD，从而得到AD平面PQB，由此可以证明平面PQB平面PA (2)以这坐标原点，分别以Q,QB，QP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,运用向量法能求出二面角M-BQ的大小 本题考察平面与平面垂直的证明,考察二面角的大小的求法，解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 6.如图,在四棱锥P-AD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面AD，D=D=2，点E是C的中点,F在直线P上. (1）若EFPA，求PFPA的

7、值； （)求二面角PBD-E的大小. 【答案】 解:(1）在四棱锥PACD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD, 以为原点，DA为x轴,DC为y轴,P为轴，建立空间直角坐标系,=DC=2，点E是的中点,在直线P上,P(0,2），A（2，0,0)，C（0，,）,E(，）， 设F(a,0，c)，PF=PA，则(,0,c2)（2,0，）=(2，0,2）, a=2，c=2-,(2,0，2-2）,EF=（2,-1,-）,PA=(2，0，-2)， FA，EFPA4-2+40,解得=14,PFPA=14.（2)P(0，2),B(,2,0)，D(,0，0)，E(0，1,1),DP=(0,0，2),D

8、B=(2，2,）,DE（0，1,1）, 设平面BP的法向量n=（x，,z），则nDB=2x+2y=0nDP=2z=0,取x=1，得n=(1，-，0)， 设平面E的法向量m=(x,y,z)， 则mDB=2x+2y=0mDE=y+z=0，取x=1,得m=（1，-,1), 设二面角PBD-的大小为， 则cos=|mn|m|n|223=63 二面角P-E的大小为rccos63 【解析】 (1）以为原点，DA为x轴,为y轴，DP为轴，建立空间直角坐标系，运用向量法能求出PFPA的值 (2)求出平面BDP的法向量和设平面DE的法向量，由此能求出二面角P-DE的大小本题考察线段比值的求法,考察二面角的大小的

9、求法,是中档题，解题时要认真审题,注意向量法的合理运用 7.如图所示的几何体是由棱台ABC-B1C1和棱锥D-A11C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为的菱形,且BA0,B平面ABD，B=A1B=2()求证：平面ABC平面B1D;()求二面角A-D-的余弦值 【答案】 ()证明:B1平面ACD,BAC，AC是菱形，DAC， 又BDBB=，AC平面B1D, AC平面B1C，平面ABC平面BD； （)设D、A交于点，以为坐标原点，以A为x轴，以O为y轴，建立如图所示空间直角坐标系 则B(0，1，0)，D(0，1，0)，B1(0，1，2)，A(3，0，0)，A1(32，12，2)，C1(

10、32，12，2)， BA1=(32，12，2)，BD=(0，2，0),BC1=(32，12，2) 设平面B的法向量n=(x，y，z),由nBA1=32x+12y+2z=0nBD=2y=0,取z3，得n=(4，0，3), 设平面DC的法向量m=(x，y，z), 由mBD=2y=0mBC1=32x+12y+2=0，取=3,得m=(4，0，3)设二面角A-D1为, 则cos=|mn|m|n|=1319. 【解析】 (）由B1平面BCD,得BB1AC，再由ACD是菱形,得DA，由线面垂直的鉴定可得C平面B1D，进一步得到平面B1平面BBD； （)设D、A交于点O,以为坐标原点，以A为x轴,以OD为y轴,建立如图所示空间直角坐标系求出所用点的坐标，得到平面A1BD与平面DCF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-B-C1的余弦值本题考察平面与平面垂直的鉴定,考察空间想象能力和思维能力，训练了运用空间向量求二面角的平面角,是中档题.