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1、数轴在分数教学中的作用及运用策略重庆市江津区四牌坊小学校 郑华恒（地址：重庆市江津区四牌坊小学鼎山校区；电话：15803087919；邮编：402260）摘 要数轴可以帮助学生更好地建构分数的相关知识。运用数轴教学分数，关键在于单位的度量与分数的等分，要正确认识数轴上的单位“1”，经历分数在数轴上的先分后数；做好分数在数轴上的区间定位，适时渗透数轴的有关特点等。关键词数轴；分数教学；作用；应用策略一、缘起：数轴上的错误多么可爱前不久，学校有三位青年教师同时执教了“真分数与假分数”。执教过这部分内容的教师大多有这样的感受简单的背后蕴含着丰富的数学思想，“上好不容易”。事实的确如此，在这三位教师的
2、课堂上，学生均不同程度地出现类似下列的情况（见下图）。学生究竟是怎么理解的呢？我与孩子们展开了对话：师：在数轴上标这些数据时，你是怎么想的呢？老师想知道你的真实想法。生：我数了一下。单位“1”平均分成了16份，就是其中的4份；就是其中的12份；都可以看作一个“单位1”。所以，我就把它们标在这里了。师：咦，你怎么在直线后面还加了一小截，居然还用上了语文上的省略号？生：老师，单位“1”不够了分数具有高度的抽象性，一直是小学数学教学的难点。在数轴上表示分数，学生更不易理解和掌握。我们姑且不论孩子的对错，但孩子们的想法是多么可爱！他们把数轴上“0-2”看作了单位“1”，结果发现在数轴上无法表示，就“聪
3、明地”往右再加一部分表示出、；再将直线拐个弯，用上省略号，表示出。可爱的儿童思维碰上复杂的分数，学生出现上述“错误”实属正常。因此，体会数轴在分数教学中的作用，明晰儿童在数轴上表示分数时，“思维的节点”究竟在哪里，找到有效的应对之策，是很值得研究的。二、明晰：数轴在分数教学中的主要作用数轴能体现分数的高度抽象性，体现“分数是数的认识又一次重要拓展”，表明分数与自然数一样可以在数轴上表示出来。因此，不同版本的教材都非常重视数轴在建构分数概念过程中的重要作用。1.帮助学生更深刻地理解单位“1”。用数轴上的点表示分数，是对分数本质认识的必然要求，是分数认识经历数学化的必由之路。数轴上的“1”是林林总
4、总的单位“1”舍弃非本质属性后高度抽象的结果。再庞大的单位“1”在数轴上也只能“屈居”于“1”这一点。更明确地说，在数轴上“2”就是2，永远不能看成1，否则就会与“一一对应”的法则冲突，从而产生混乱数轴上的一大格，表示1个单位“1”，那数轴上的自然数2，就代表有这样的两个单位“1”；以此类推对分数而言，数轴上相应的整数就是单位“1”的相应的累积。2.帮助学生感悟分数单位。学生在数轴上一小格一小格地数分数、读分数，就能很好地感悟数轴上的分数就是由相同的分数单位累积而成的。3.帮助学生比较分数的大小。下图，学生通过填一填就可直观地理解两个分数的大小；还可以观察同一数轴上的分数，学生还能体验到数轴上
5、的分数越往右，分数值越大。 4.帮助学生理解真分数和假分数。下图，学生通过根据分数找直线上相应的点，认真观察各个分数在直线上的位置，就会发现真分数在数轴上的区间是0-1以内，假分数在数轴上的区间是1及1以上。这样学生就可以通过自己的努力来掌握这些知识。5.帮助学生理解分数的基本性质。比如在分数的基本性质的教学中，先让学生思考下面哪些分数可以在直线上用同一个点表示？并把这几个点画出来。 学生完成后，再引导学生探讨为什么和、分别可以用同一个点表示，让学生在探讨过程中通过自己的努力来理解分数的基本性质。6.帮助学生形成整体认知结构。下图，通过在直线上面的括号里填适当的分数，在直线下面的括号里填上适当
6、的小数的方式，就能达到沟通分数与小数的联系，帮助学生形成整体认知结构的作用。三、应用策略：核心在于单位的计量与分数的等分在数轴上表示分数，最难的就是数轴中的单位“1”在哪儿。单位“1”和分数单位，“单位”是其核心词。单位的重要作用就体现在能计量上。因此，教学中帮助学生经历单位“1”或分数单位在数轴上的计量过程，经历分数先分后数的过程，是策略的核心。1.沟通与整数之间的对应关系，正确认识数轴上的单位“1”。教学实践中，学生明白数轴中的单位“1”在哪儿并不是一件简单的事。因为在教学“分数的意义”时，一个物体、许多物体组成的一个整体都可以看做单位“1”。所以，学生会把数轴上的0-2或0-3这样的线段
7、错当成单位“1”（ 本文伊始所呈现的个案，就是如此）。就算老师告知学生在这样的直线上应该把0-1看成单位“1”，但学生就是想不明白：为什么不能把0-2这样的线段看成一个整体，看成单位“1”？ 这个难题，可以这样解决如下图，以1个圆的面积为单位“1”，在数轴上怎么画出来？教师先引导学生在数轴上表示“以1个圆的面积为单位1”。接下来再引导，哪两个圆呢？三个圆呢？在数轴上又应该怎样表示出来？学生通过圆的个数在数轴上的再现，体验到了数轴上的“0-1”就表示一个单位圆，即一个单位“1”；数轴上再增加一个“1”，成为“2”，这个“2”表示的是2个单位圆，即2个单位“1”这样，学生通过在数轴上画单位圆，数单
8、位圆，就能体会到一个圆就表示一个单位“1”，两个圆就表示有这样的两个单位“1”，三个圆就表示有这样的三个单位“1”。 此时，单位“1”实质上已经变成了一个计量单位，帮助学生理解、沟通了若干个单位“1”与数轴上的整数之间的对应关系。这样就可以避免将数轴上的0-2或0-3看作一个单位“1”了。2.体验分数单位的计量过程，经历数轴上的先分后数数轴上的分数直观地展现了分数单位的计量功能。教学中要注重引导学生根据分数的这一功寻找到分数在数轴上的对应点。华应龙老师说：“分数就是先分后数的一个数，先分知道了是什么分数单位，再数才知道有几个分数单位。”例如，首先应明白单位“1”是，在数轴上应该将0-1这段等分
9、成8份；再在数轴上依次数出5小格，才能在数轴上找到相应的点。3.注意0-1与1-2之间的衔接，做好分数在数轴上的区间定位分数值超过1，标在什么位置，是用数轴上表示分数的困难所在。突破这个难点，一要突出0-1与1-2之间的衔接。例如，学生指着数轴上的对应点数分数： ，然后故设疑问：在哪里？让学生明白就在直线的1处；接着追问：那呢，又在哪里？在这里，还得慢下来，让学生观察到在1-2的区间，拓展：如果是，估一估在哪个位置？呢？这样，通过强化训练0-1与1-2之间的衔接就帮学生解决困惑。二是引导学生将先按区间分类，再操作。如下图的练习：师：结合直线想一想，你有什么办法避免出错？生1：我先找在0-1以内
10、的，也就是先找到真分数；再找在1-2之间的，也就是超过单位“1”的。生2：我把这些分数分为在0-1以内的；1-2以内的；刚好在1或2上的。师：这个，老师想知道你打算怎么办？生3：超过1了，肯定在1的右边。1里面已经有4个了，再往后数一小点就行了。接着，学生说出其它分数怎样在数轴上表示的。上述片段中学生将假分数化成整数，或者将1做为参照，确定了其所处的区间，再将这一区间的线段平均分成相应的份数，找到了对应的点。4. 深刻领会数轴的特点，适时渗透数学思想（1）要有整体和联系的观点在数轴渗透教学中，要有整体观和联系观，引导学生发现题目之外的奥妙。例如西师大版第10册第6页第6题，让学生在直线上用点表
11、示下面的分数。学生可以整体感知数轴左边的分数小，右边的分数大，相邻的两个分数相差1个分数单位，也可以展开前后的联系，如启发学生找到（1）小题的前面或后面还有哪些分数，这时学生可以由联系到，甚至猜想到等。这不单单为下节课教学真分数与假分数做孕伏，更为重要的是能启发学生用运动的发展的联系的观点建立一个整体的大数轴概念。（2）要有方向和顺序的感觉擅长开车的人方向感非常好，在借助数轴来学习分数时，也要加强方向感，使学生在头脑中建立数轴的表象，向右的分数越来越大，向左的分数越来越小，而且数轴上的分数不是争先恐后杂乱无章排列的，而是按照从左向右从小到大依次排列的，这样有序有向无穷的排列是数系结构的一个基本
12、特征，也是学生建立数感的逻辑起点。（3）要渗透若干数学思想数轴，不仅是一个重要的分数教学资源，也是学生学好分数的一个重要工具。在教学中要注意渗透数形结合思想、一一对应思想、微分和数无穷思想，利用数轴还可以帮助学生建立数学模型，发展学生模型思想等。只有让学生理解数轴的含义，对学生在方法上进行一定的指导，学生才能在数轴上正确表示分数，从而使学生对分数意义的理解更加透彻。总之，数轴在分数教学中的作用是明显的、多样的，教材在分数教学中大量编排数轴，其编排意图十分明显，就是要充分凸显数轴的教学价值。我们要深入理解数轴的数学内涵，充分挖掘数轴的数学价值，发挥数轴的作用与功能，帮助学生建立大数学观，培养学生数学素养。参考文献1张健.教师的PCK建构小学数学M.重庆：重庆出版社，2011（2）：35-372陈仕文. 对苏教版教材认识分数编排的思考J.教学与管理，2010（11）：60-613华应龙.单位让分数更好玩J.江苏教育研究，2011（5）：49-504汤卫红.分数意义建构中的问题分析及对策J，教育研究与评论（小学教育教学版），2010（8）：24-25
郑华恒：数轴的作用及其运用策略622
