高中数学推理与证明专题

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1、课题:合情推理 掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。归纳推理的发展过程观测猜想证明3数学建构把从个别事实中推表演一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)注:归纳推理的特点;简言之，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般环节:4.师生活动例1 前提:蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论:所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例 前提:三角形的内角和是10,凸四边形的内角和是360,凸五边形的内角和是5400，结论：凸n边形的内角和是(n2）1800。例3 探究:上述结论都成立吗？强调：归纳推理的成果不一定

2、成立！ “ 一切皆有也许！”5.提高巩固6课堂小结(1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。一般归纳的个体数目越多,越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要措施。(）归纳推理的一般环节:通过观测个别状况发现某些相似的性质 从已知的相似性质中推出一种明确表述的一般命题(猜想)证明课题：类比推理教学目的：通过对已学知识的回忆,结识类比推理这一种合情推理的基本措施,并把它用于对问题的发现中去。类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越有关,从而类比得出的结论就越可靠。一.问题情境从

3、一种传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班，被觉得是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩晦气事却使她发明了锯子.她的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具;它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗?二.数学活动我们再看几种类似的推理实例。例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质： 猜想不等式的性质:(1) a=ba+c=+; （1) aba+c+c;(2) a=b ac=bc； (2)b acbc；(） =b2=b2;等等。 （3) abab2;等等。问:这样猜想出的结论与否一定对的？例、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆

4、的定义：平面内到一种定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:到一种定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦截面圆直径大圆周长表面积面积体积圆的性质球的性质圆心与弦（不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径;通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点球的切面垂直于过切点的半径;通过球心且垂直于切面的直线必通过切点通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心通过切点且垂直于切面的直线必通过球心上述两个

5、例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相似,推表演她们在其她方面也相似或相似；或其中一类对象的某些已知特性,推出另一类对象也具有这些特性的推理称为类比推理（简称类比) 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般环节： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特性; 用一类对象的已知特性去推测另一类对象的特性,从而得出一种猜想； 检查猜想。即观测、比较联想、类推猜想新结论例3.在平面上,设a，hb,hc是三角形ABC三条边上的高P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为p,p,我们可以得到结论：试通过类比,写出在空间中的类似结论.巩固提高1.(上海)已知两个圆2+y2=1:与x

6、+(y-3)1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的状况下加以推广,即规定得到一种更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一种特例,推广的命题为-2类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四周体性质的猜想.直角三角形3个面两两垂直的四周体=903个边的长度a，b,c2条直角边a，b和条斜边PDFPE=EDF=90 4个面的面积S1，,S3和S 3个“直角面”S1,S,S和1个“斜面” S3.(,北京）定义“等和数列”:在一种数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一种常数,那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列是等和数列,且，公和为5,

7、那么的值为_，这个数列的前n项和的计算公式为_课堂小结1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越有关,从而类比得出的结论就越可靠。2 类比推理的一般环节:找出两类事物之间的相似性或者一致性。用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一种明确的命题(猜想)课 题:演绎推理一 复习:合情推理归纳推理 从特殊到一般类比推理 从特殊到特殊从具体问题出发观测、分析比较、联想归纳。类比提出猜想二 问题情境。 观测与思考1所有的金属都能导电铜是金属, 因此，铜可以导电一切奇数都不能被2整除, （2100+1)是奇数， 因此，

8、 （20+)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数, an 是三角函数,因此，ta是 周期函数。提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗?二学生活动 ：1.所有的金属都能导电 大前提铜是金属， -小前提因此,铜可以导电 结论.一切奇数都不能被2整除 大前提(210+)是奇数，小前提 因此， （100+1)不能被2整除. 结论3.三角函数都是周期函数, 大前提tan 是三角函数, 小前提因此，an是 周期函数。结论三， 建构数学 演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊状况下的结论,这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；2“三段论”是演绎推理的一般模式;涉及 大前提-已知的一般原

9、理； 小前提-所研究的特殊状况； 结论-据一般原理,对特殊状况做出的判断.三段论的基本格式MP(M是P) （大前提)M(是M) (小前提）P（是)(结论）3.三段论推理的根据,用集合的观点来理解:若集合的所有元素都具有性质P,S是的一种子集,那么S中所有元素也都具有性质P.四,数学运用解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提)例.已知l2=m,计算lg0.解 (1） lgan=n(a0）-大前提lg8=lg3小前提lg=3lg2结论 lg（a/b)=lga-(a0，0）大前提g0.8=g（8/1)-小前提lg.8l（8/10)结论例3.如图;在锐角三角形ABC中,ADBC,BAC, D,E是垂

10、足,求证A的中点到D,E的距离相等解: (1)由于有一种内角是只直角的三角形是直角三角形,大前提在AC中，DBC,即ADB90小前提因此ABD是直角三角形结论(2)由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提由于DM是直角三角形斜边上的中线，小前提因此 DM= B结论同理EM= AB因此D=EM.五 回忆小结：演绎推理具有如下特点：课本第33页 。演绎推理错误的重要因素是大前提不成立；2， 小前提不符合大前提的条件。 作业：第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。课题：直接证明-综合法与分析法2教学重点:理解分析法和综合法的思考过程、特点.教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点教学

11、过程：学生探究过程：证明的措施（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考措施。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地摸索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，通过逐渐的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法体现为执果索因，综合法体现为由果导因,它们是谋求解题思路的两种基本思考措施，应用十分广泛。 (）、例.设a、b是两个正实数,且ab,求证:a3+b3a+a2.证明：(用分析法思路书写) 要证a3+3a2+a2成立， 只需证（ab)(a2-ab+2)b(ab)成立, 即需证2-ab+ab成立。(a+b0）只需证a

12、22+b2成立， 即需证(a-b)20成立。 而由已知条件可知,ab，有a-b0,因此（a-b)20显然成立,由此命题得证。 (如下用综合法思路书写)b，a-b0，(a-)20，即a-2ab+b20 亦即2-b+b2a由题设条件知，ab,(a+b）(a-ab+2)（a+b)ab即a+b3a2b2,由此命题得证例2、若实数，求证：证明:采用差值比较法: =例3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种措施进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式有关对称,不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法:设故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的措施。用比较法证明不等式

13、的环节是：作差（或作商）、变形、判断符号。教学反思:本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点 “变形”是解题的核心,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用措施。课题:间接证明-反证法 (1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一种与命题的结论相反的假设,然后，从这个假设出发,通过对的的推理,导致矛盾，从而否认相反的假设,达到肯定原命题对的的一种措施。反证法可以分为归谬反证法(结论的背面只有一种)与穷举反证法(结论的背面不只一种)。用反证法证明一种命题的环节,大体上分为：(）反设；()归谬；（3)结论。反设是反证法的基本,为了对的地作出反设,掌握某些常用的互为否认的

14、表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于；垂直于不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是不都是；至少有一种/一种也没有；至少有n个至多有（n一)个；至多有一种/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的核心，导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。(2)、例子例1、求证:不是有理数例2、已知，求证：(且）例3、设，求证例4、设二次函数，求证：中至少有一种不不不小于证明：假设都不不小于,则 （1) 另

15、一方面,由绝对值不等式的性质，有 （2） （）、（)两式的成果矛盾，因此假设不成立,本来的结论对的。注意:诸如本例中的问题,当要证明几种代数式中,至少有一种满足某个不等式时，一般采用反证法进行。议一议:一般来说,运用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾成果,一般是指所推出的成果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等多种状况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、措施有什么特点?例、设0 a, b, c 0，b+c + a 0，abc 0,求证：, b, c 0 教学反思：反证法是一种间接证法,它是先提出一种与命题的结论相反的假设,然后，从这个假设出发，通过对的的推理,导

16、致矛盾，从而否认相反的假设,达到肯定原命题对的的一种措施。反证法可以分为归谬反证法(结论的背面只有一种)与穷举反证法(结论的背面不只一种）。用反证法证明一种命题的环节，大体上分为:（1)反设;()归谬；（)结论。 反设是反证法的基本,为了对的地作出反设，掌握某些常用的互为否认的表述形式是有必要的,例如:是/不是；存在不存在；平行于/不平行于;垂直于/不垂直于；等于/不等于;大(小)于/不大(小）于；都是不都是;至少有一种/一种也没有;至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一种至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的核心,导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水

17、,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾；自相矛盾。课题:数学归纳法数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）2.数学归纳法公理：(1)（递推奠基）:当取第一种值n0结论对的；（2)（递推归纳)：假设当k(kN*,且kn0)时结论对的；(归纳假设）证明当n=k+时结论也对的。(归纳证明)由()，（2)可知，命题对于从n开始的所有正整数都对的。【例题评析】例 1. 用数学归纳法证明 例2:用数学归纳法证明(,n2)阐明:注意从n=k到nk+1时,添加项的变化。EX:1.用数学归纳法证明:()当n1时,左边有_项,右

18、边有_项；（2）当n=k时,左边有_项,右边有_项;(3)当n=+1时,左边有_项,右边有_项;()等式的左右两边,由=k到n=k+1时有什么不同？ 变题: 用数学归纳法证明 (nN+）例3:设f(n)=1+,求证+（1)+()f(n-1)nf(n) (,n2）【课堂小结】.数学归纳法公理:（1)（递推奠基）:当取第一种值n结论对的;（2)（递推归纳):假设当=(k，且kn0)时结论对的；(归纳假设）证明当=k+1时结论也对的。（归纳证明）由(1)，(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数都对的。. 注意从n=k到n=k1时,添加项的变化。运用归纳假设发明递推条件,谋求f(+)与f(k）的递

19、推关系.【反馈练习】1.用数学归纳法证明n3(n3,)第一步应验证( )A = n=2 C n3D n=4.用数学归纳法证明第二步证明从“到k1”,左端增长的项数是( )A B C 3若n为不小于1的自然数，求证 证明 (1)当n=时,(）假设当n=k时成立,即4.用数学归纳法证明课题：复习课一、教学目的:1.理解本章知识构造。2进一步感受和体会常用的思维模式和证明措施,形成对数学的完整结识。课题:数学归纳法结识数学本质，把握数学本质,增强创新意识，提高创新能力。二、教学重点:进一步感受和体会常用的思维模式和证明措施，形成对数学的完整结识。难点：结识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创

20、新能力三、教学过程:【创设情境】推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法数学归纳法一、知识构造：【摸索研究】我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点;揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习,进一步感受和体会常用的思维模式和证明措施,形成对数学的完整结识。【例题评析】例：如图第n个图形是由正n2边形“扩展”而来,(n=1，,3,）。则第2个图形中共有_个顶点。变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:第1个第2个第3个则第n个图案中有白色地面砖 块。例：长方形的对角线与过同一种顶点的两边所成的角为，则1,将长方形与长方体进行类比，可猜想的结论为：_;变题1：已知,m是非零常数，x,且有= ,问（x)与否是周期函数？若是,求出它的一种周期,若不是,阐明理由。变题2：数列的前n项和记为Sn，已知证明:(）数列是等比数列;()例3：设(x)=ax2+bxc(0),若函数f（+1）与函数f（)的图象有关y轴对称,求证:为偶函数。例:设n=1+ (n1，N),求证: （)评析：数学归纳法证明不等式时，常常用到“放缩”的技巧。