平面几何与解析几何

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1、一.平面几何与解析几何平面几何（plane geometry）是古希腊的玩意儿，在公元前三百年便由欧几 里得（Euclid）编辑成书，所以又叫做欧几里得几何（Euclidean geometry），只 准用圆规及直尺在平面上游戏.注意圆绝对圆，直线绝对直，在世间无，因此平 面几何象古希腊的哲学（爱智之学），是心想而没有物质的；实用的几何则是近似 的.平面几何是数学的一支，研究“如果甲则乙”.例：等腰等角定理（isosceles isogonal theorem）或等腰定理：如果三图 1-1角形两边相等则对角相等.已知：在AABC中，AB = AC求证：ZB = ZC（问：为什么要“求”？答：寻

2、求而非乞求.）证明：考虑ABAC及CAB :AB = AC ，AC = AB,ZBAC = ZCAB .（已知） 故ABAC = ACAB，(SAS)从而ZABC = ZACD.（AC, AB的对角）证毕.已证的结果叫定理，可以留作后用，例如SAS （边角边）是定理，在讨论 上例前已证.再举一例：（毕氏定理（Pythagorean theorem）的逆（converse）定理）给出 AABC中，三边BC, AC, AB的长依惯例分别用a,b, c来表示.B图 1-2已知 c 2 = a 2 + b 2.求证：AC = 900证明：（可用余弦定理证或）作 AA B C,使 AC = 900，夕三

3、 A C = AC ,aBC = BC .以C表示A,BL 因c 2 = a 2 + b 2 （毕氏定理）及c 2 = a 2 + b 2，（已知）C= c，（取代）从而AABC = AA B C.（SSS）所以AC = AC，（对应角）即AC = 900.（取代）证毕.毕氏为希腊人毕达哥拉斯（Pythagoras）的简译，他生于公元前五百多年 ，他的学派创立了推理法或演绎法（deduction），用它证明了毕氏定理，由此发 现了无理数（irrational number）以：设上面的AB = 450，且a二一单位（ 单位可任选），则：2为c.暂设、；2为有理数（rational number

4、），即a克=-,n其中m,n为正整数.我们可以消去m,n的公因子，即假设m,n互质（relatively prime）:没有大于1的（正整数）公因子.由（1）得2n2 = m2.（2）两边都可以分解因子至质数，即除自己外没有大于1的因子；不计乘法的顺序， 这种分解至质数积的式子是唯一的，从而由（2）知m含因子2 : m = 2k，其中k为正整数.这样(2)a=l图 1-3叫做“唯一析因定理”(unique可写成n2= 2k2 .再作n的质数 因子分解，知n也可被2整除， 与m,n互质的假设矛盾.回顾， 除(1)外，步步有理，故(1) 不成立，即不是有理数.证毕.上面提到正整数分解为质数积的结果

5、factorization theorem)，它与物理、化学里将物分解为分子、原子类似.我们也可倒过来用质数积造数，例如用7,11,13造7 x 11 x 13 = 1001 ；这样，我们便知道将一个任意的三位数工关重复写，所得的六位数能被7,11,13整 除，而且商是工关！无理数的名称反映了保守派的势力.我们管毕氏定理叫勾股定理，是否也嫌 保守，忽略了希腊人创立演绎法的里程碑？问：在我们的勾股定理及四大发 明后面有什么突出的方法？在它们前面又有什么远大的理想？古印度人也会证 毕氏定理:用 图1-2作四边形ABCC, B, A在CC内同一点.梯形ABCC 的面积为(b+a)(a+b)/2;用直

6、角三形角分算，得ba/2+cc/2+ab/2.故当他人沉溺于几何国中，图 1-4c 2 = a 2 + b 2.用两条轴来决定一点3, y), %轴垂直于y轴,笛卡儿(Rene，Descartes， 1596-1650)叫直角坐标(rectangular coordinates),一方面将平面几何化简为代数”或解析几何(analytic geometry),另一方面，三维、四维n维空间的观念也自然地接踵而来:IRn 三(a ,a ,a ): a ,a ,a 是实数12n 12nIRn表示n维向量空间(n-dimensional vector space).在IRn中引入社会结构数积(scala

7、r multiplication)、点 口(pointwise addition)及点积(dot product):人(a , a , a ) = (ka ,人a , ,人a ),12n12n(a , a ,a ) + (b , b ,b ) = (a + b , a + b , a + b ),12n12n122n n(a ,a ,a ) - (b ,b ,b ) = a b + a b +. + a b12n 12n 112 2n n其中k , a ,a ,.,a , b ,b ,.,b都是实数，叫数量、纯量或标量(scalar)，12n 12na ,a ,a 分别是点(point)或向量

8、(vector)(a ,a ,a )的第一、第二、12n12n回到n = 2，k (a , a ) = (ka , ka )图 1-5第n坐标.(a , a ) + (b , b ) = (a + b , a + b ),12121122(a , a ) - (b , b ) = a b + a b12121 12 2上面3, y)可当作是一点P，可当作是OP (O = (0,0)，也可以当作是OP平(a, a 2)是向量 , a 2),(b ,b2)的和.行移动所得的向量，叫做“自由”向量.这样当k 0时，k21的k倍.注意OR = (a ,a ) + (b ,b )也是物理中力向量(a ,

9、a12121Q (bb2)，例：求 R = (c ,c )的坐标，其中 RQ = tPQ , P = (a ,a )，1212图 1-6解：从点P作线平行于x轴，交从R, Q到x轴的垂线于S,T,APRT XPQS，(相似)1111c = a + s(b - a )或直接用向量算:OR = OP + PR(c ,c ) = (a ,a ) + s(b ,b )-(a ,a ). (s = 1 -1)(3)12121212解毕.例：求两点(3,2),(4,-3)连线的中点.解：先推公式(4)，再取t = 1，得中点的公式:(4)(c , c ) = (a + b , a + b )，(向量和的一

10、半)1221122,、 1，7 1、(c ,c ) = (3 + 4,2 3) =(=，).i 222 2解毕.例：证明平行四边形两对角线相互平分.12121122证：不妨设 A = (0,0), B = (a , a ), D = (b , b )，则 C = (a + b , a + b ).由(4)知AC的中点是|图 1-8； + 气 + 0, a 2 + b2 + 0)=L (a + b , a + b )，21122BD的中点是 (a + b , a + b )21122故AC, BD相互平分.证毕.习题：在AABC中，连中线 AD及在AD上取一点G，使AG = 2GD .证明1 O

11、G = 3 (OA + OB + OC),从而证明AABC二中线相父于G .给出直线(straight line) L上的两个点(气,),(%,y2)，得斜率(slope)m = 1(5)x x故L上的任意点(x, y)的方程是(6)例：求经过两点（3,1）,（-2,4）的直线的方程化简，得1图 1-10故圆（circle）的方程式为(8)-X)2 + (y y2 = r其中（气,y ）为圆心，r为半径.上式可改写成:（9）(x - x )2 + (y - y )2 = r2例：求圆心为（1,2），半径为3的圆的方程.解：由（9）得(x -1)2 + (y - 2)2 = 32展开，得x 2

12、+ y 2 一 2 x - 4 y - 4 - 0 .解毕.在三维、四维、n维空间里也可以如上玩耍.笛卡儿因发明解析几何 成为现代数学的创始人.他又是现代哲学的创始人，他的名言是：我思故我在.想 是在思考及怀疑一切、几乎失落之际迸出来的，强调怀疑与独立思考的重要性. 快五十岁时他在荷兰，瑞典女皇邀他；我们不知笛卡儿瞬间的感觉，只知女皇派 军舰接他上路.以后在黎明前，他为女皇讲习，如渊明为菁青.只叹当时北风凛冽 如湘南的柏林，笛卡儿终于不支，患上肺炎，于次年病逝，何其浪漫！n维空间结果拾穗：给出向量a, b, c，其中ab, bLc，即a - b = 0 = b - c，则(a 土 b)丘,其中读作 垂直(orthogonal)于，土表示+或-.证明：(a 土 b) - c = a - c 土 b - c = 0 土 0 = 0，如在相对论里(a,b, c,d), (a,b,c)可以代表一般空间的点，d代表时间;如在统计学里(a,b, c, d)也可以代表一个人的(高度，重量，性别，年龄).