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1、典型例题一例1讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征分析：由于，则的取值范围为，分别进行讨论解：（1）当时，所给方程表示椭圆，此时，这些椭圆有共同的焦点（4，0），（4，0）（2）当时，所给方程表示双曲线，此时，这些双曲线也有共同的焦点（4，0），）（4，0）（3），时，所给方程没有轨迹说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感典型例题二例2根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点，且焦点在坐标轴上（2），经过点（5，2），焦点在轴上（3）与双曲线有相同焦点，且经过点解：（1）设双曲线方程为 、两点在双曲线上，解得所
2、求双曲线方程为说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）焦点在轴上，设所求双曲线方程为：（其中）双曲线经过点（5，2），或（舍去）所求双曲线方程是说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉（3）设所求双曲线方程为：双曲线过点，或（舍）所求双曲线方程为说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面典型例题三例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形解：点在双
3、曲线的左支上说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索典型例题四例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积解：为双曲线上的一个点且、为焦点,在中，说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用典型例题五例5已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线，所求方程为动点的
4、轨迹方程，且轨迹是双曲线说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解典型例题六例6在中，且，求点的轨迹分析：要求点的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，设，由及正弦定理可得：点在以、为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：，所求双曲线方程为点的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与内切，且过点（2）与和都外切（3）与外切，且与内切分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓
5、住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离如果相切的、的半径为、且，则当它们外切时，；当它们内切时，解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程解：设动圆的半径为（1）与内切，点在外，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：，双曲线方程为（2）与、都外切，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：，所求的双曲线的方程为：（3）与外切，且与内切，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：，所求双曲线方程为：说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，
6、灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标典型例题八例8在周长为48的直角三角形中，求以、为焦点，且过点的双曲线方程分析：首先应建立适当的坐标系由于、为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程由双曲线定义可知，所以利用条件确定的边长是关键解：的周长为48，且，设，则由，得，以所在直线为轴，以的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为由，得，由，得，由，得所求双曲线方程为说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷典型例题九例9是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值分析：利用双曲线的
7、定义求解解：在双曲线中，故由是双曲线上一点，得或又，得说明：本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或典型例题十例10若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是() ABCD分析：椭圆和双曲线有共同焦点，在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到和的关系式，再变形得结果解：因为在椭圆上，所以又在双曲线上，所以两式平方相减，得，故选(A)说明：(1)本题的方法是根据定义找与的关系(2)注意方程的形式，是，是典型例题十一例11 若一个动点到两个定点、的距离之差的绝对值为定值，讨论点的轨迹分析：本题的关键在于讨论因，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：，解：(1)当时，轨
8、迹是线段的垂直平分线，即轴，方程为(2)当时，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为(3)当时，轨迹是两条射线或(4)当时无轨迹说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线典型例题十二例12如图，圆与轴的两个交点分别为、，以、为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在轴左方的交点分别为、，当梯形的周长最大时，求此双曲线的方程分析：求双曲线的方程，即需确定、的值，而，又，所以只需确定其中的一个量由双曲线定义，又为直角三角形，故只需在梯形的周长最大时，确定的值即可解：设双曲线的方程为()，(，)，()连结
9、，则作于，则有，即梯形的周长即当时，最大此时，又在双曲线的上支上，且、分别为上、下两焦点，即，即所求双曲线方程为说明：解答本题易忽视的取值范围，应引起注意典型例题十三例13、是我方三个炮兵阵地，和正东6千米，在正北偏西30，相距4千米，为敌炮阵地，某时刻处发现敌炮阵地的某种信号，由于、两地比距地远，因此后，、才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1，若炮击地，求炮击的方位角分析：点到、距离相等，因此点在线段的垂直平分线上又，因此在以、为焦点的双曲线的右支上由交轨法可求的坐标，进而求炮击的方位角解：如图，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立坐标系，则、因为，所以点在线段的垂直平分线上因为，中点，所以直线又，故在以、为焦点的双曲线右支上设，则双曲线方程为联立、式，得，所以因此故炮击的方位角为北偏东说明：空间物体的定位，一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程，然后借助曲线的交轨来确定这是解析几何的一个重要应用
双曲线及标准方程典型例题
