313-导数的几何意义-函数-y-=-f-(x)-在x-=-x0-处的瞬时变化率-称为函数

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1、3.1.3 3.1.3 导数的几何意义导数的几何意义函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即 当点当点 Pn 趋近于点趋近于点 P 时时,割线割线PPn趋近于确定的位置趋近于确定的位置,这个确定的直这个确定的直线线 PT 称为过点称为过点 P 的切线的切线.P4P3P2P1TxyoPy=f(x)x0 xn 问题问题:如图如图,当点当点 沿着曲线沿着曲线 趋近于点趋近于点 时时,割线割线PPn的变化趋势是什么的变化趋势是什么?令令 ,则则即当即当x无限趋近于无限趋近于0时时,kn无限趋近

2、于点无限趋近于点 处的斜率处的斜率.问题问题:如图如图,当点当点 沿着曲线沿着曲线 趋近于点趋近于点 时时,割线割线PPn的变化趋势是什么的变化趋势是什么?P4P3P2P1TxyoPy=f(x)x0 xn 例例1 已知已知 ,求曲线求曲线 在在 处的切处的切线的斜率线的斜率.分析分析:为求得过点为求得过点(2,4)的切线的斜率的切线的斜率,可从经过点可从经过点(2,4)的任意一条直线的任意一条直线(割线割线)入手入手.解解:设设 ,则割线则割线PQ的斜率的斜率当当 无限趋近于无限趋近于0时时,无限趋近于常数无限趋近于常数4,即即从而曲线从而曲线 在点在点P(2,4)处的切线斜率为处的切线斜率为

3、4.例例2 如图如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象的图象.根据图象根据图象,请描述、比较请描述、比较曲线曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况.解解:可用曲线可用曲线 h(t)h(t)在在 t t0 0,t t1 1,t,t2 2 处的切线刻画曲线处的切线刻画曲线 h(t)h(t)在上述三个时刻附近在上述三个时刻附近的变化情况的变化情况.(1)(1)当当t=tt=t0 0 时时,曲线曲线 h(t)h(t)在在t t0 0 处的切线处的切线 l l0 0 平行于平行于x x 轴轴.故在故在t=tt=t0 0 附近曲线比较附近曲线比较平坦平坦,几

4、乎没有升降几乎没有升降.tohl0t0t1l1t2l2t4t3例例2 如图如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象的图象.根据图象根据图象,请描述、比较请描述、比较曲线曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(2)(2)当当t=tt=t1 1 时时,曲线曲线 h(t)h(t)在在t t1 1 处的切线处的切线l l1 1 的的斜率斜率 h h(t(t1 1)0.0.故在故在t=tt=t1 1附近曲线下降附近曲线下降,即函即函数数h(t)h(t)在在t=tt=t1 1附近单调附近单调递减递减.(3)(3)当当 t

5、=tt=t2 2 时时,曲线曲线 h(t)h(t)在在 t t2 2处的切线处的切线 l l2 2 的斜率的斜率 h h(t(t2 2)0.0.故故在在 t=tt=t2 2 附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数 h(t)h(t)在在t=tt=t2 2 附近也单调递减附近也单调递减.例例2 如图如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象的图象.根据图象根据图象,请描述、比较请描述、比较曲线曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况.tohl0t0t1l1t2l2t4t3例例2 如图如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象的图象.根据图象根据图象,请描述、比较请描述、比较曲线曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况.tohl0t0t1l1t2l2t4t3 从图可以看出，直线从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线的倾斜程度小于直线 l2 的的倾斜程度，这说明倾斜程度，这说明 h(t)曲曲线在线在 l1 附近比在附近比在 l2 附近附近下降得缓慢下降得缓慢练习：练习：小小 结结