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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限二二 两个重要极限两个重要极限一一 极限存在准则极限存在准则三三 小结小结1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、极限存在准则一、极限存在准则1.1.夹逼准则夹逼准则证证:(略略)注意注意:2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1(1(补充补充)解解由夹逼定理得由夹逼定理得3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解
2、释几何解释:准则准则 设函数设函数f(x)在点在点x0的某个左邻域内单调且的某个左邻域内单调且 有界，则有界，则f(x)在在x0的左极限存在。的左极限存在。4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2(2(补充补充)证：证：并求其极限并求其极限.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn+=L5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2(2(补充补充)并求其极限并求其极限.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn+=L(舍去舍去)6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【说明】【
3、说明】该方法只有在证明了该方法只有在证明了极限存在极限存在时，才时，才能由递推公式，通过能由递推公式，通过解方程解方程的方法求的方法求极限，否则可能导致荒谬的结论极限，否则可能导致荒谬的结论如如式两端取极限后式两端取极限后 得得从而得从而得矛盾矛盾显有显有7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (Cauchy)(Cauchy)柯西极限存在准则柯西极限存在准则 数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数，数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大号码的点中，任意两点在数轴上一切具有足够大号码的点中，任意两点的距离小于给定的正数。的距离小于给定的正数。几何意义
4、：几何意义：证明（略）证明（略）.,e e$e emnnxxNnNmNx时，时，有有当当正整数正整数，对于任意给定的正数对于任意给定的正数收敛收敛数列数列8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、两个重要极限二、两个重要极限(1)过过A A点点9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注无穷小无穷小无穷小无穷小.1sinlim0=xxx10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 3解解11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 4（补充）（补充）解：解：由幂函数和三角函数构成的分式函数或三角函
5、数由幂函数和三角函数构成的分式函数或三角函数的分式函数，且在同一变化过程中，分子、分母的分式函数，且在同一变化过程中，分子、分母的极限均为零的类型的极限均为零的类型适用范围：适用范围：12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)证明思路：证明思路：单调有界准则单调有界准则夹逼准则夹逼准则13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注无穷小无穷小无穷小无穷小无穷大无穷大无穷大无穷大适用范围：适用范围：主要解决主要解决 型的极限，可用恒等变换，或变量代换化为型的极限，可用恒等变换，或变量代换化为（1+1+无穷小）无穷小）无穷大无穷大的形式，然后利用第二重要极限求之。的形式，然后利用第二重要极限求之。14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5 5解解例例6 6（补充）（补充）解解例例7 7（补充）（补充）解：解：15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、小三、小结结1.1.两个准则两个准则2.2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则 单调有界准则单调有界准则 16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业:P P5656 T1 T1(奇奇)T2 T2（奇）（奇）T4T4（奇）（奇）17
高等数学复习资料第一章第五次
