立体几何解题方法指导

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1、立体几何解题方法指导一、考点扫描1常考题型及分值情况：从近三年的高考来看，立体几何题型一般是“两小一大”两小即两道选择 题或一道选择题一道填空题，一大即一道解答题，有2-3问，一般位于六道解答 题前三道的位置，分值共约计22分，约占整个试卷的15%。2 .知识点的考查情况：从历年的高考试题看，对高中数学教材立体几何这个章节所涉及的概念、性 质、公式、法则、公理、定理都作了较为全面的考查。小题以线与线，线与面，面与面的基本位置关系判定或以多面体、柱体、锥 体、球为载体计算角、距离、表面积、体积等的考查为主。其中平行关系与垂直 关系的考查是重点，垂直关系的考查是核心内容，常常以命题、充要条件的形式

2、 出现实行考查；由书本典型例、习题总结出的如三角余弦定理，二面角中面积射 影定理等也有过考查。空间角的问题常以异面直线所成的角或线面角的考查为 主，解决的基本方法有平移法，定义法等；空间距离常以点面距离、线面距离、 球面距离的考查为主，求法主要有直接法、间接法、定义法等，尤其要注重用间 接法中的等积转换法求点面距离；同时对柱体、锥体、球或空间图形组合体的表 面积或体积的考查也有一定的力度，常用的解决方法有展开与折叠法，割补法， 等积转换法等。大题主要考查立几的综合问题，重点考查立几中的逻辑推理问题，如空间线 与线，线与面，面与面平行或垂直关系的论证；异面直线所成的角或线面角或二 面角的求解；点

3、面距离、线面距离、面面距离的求解；利用所给的条件探索某些 点或线是否存有的问题；平面几何图形与空间几何体的展开与折叠问题；长度、 角、面积定值与最值问题等。一般设有2-3问，每问之间具有一定的连贯性。命 题载体可趋向于不规则的几何体，但仍以“方便建系”为原则，解题方法有几何 推理的传统法和代数计算的向量法。以下结合湖北省及全国近五年的高考试题就立几问题的传统法实行剖析，所 有的方法不可能面面俱到，摘选一些供大家参考。二、方法指导：例1： （09四川）已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA上面ABC,PA=2AB，则下列结论准确的是（）A. PBADB. 面 PABW PBCC,直线BC

4、Z/面 PAE D.直线PD与面ABC所成角为45解析：本题是对空间中的线线垂直，线面垂直，线面平行，线面角，面面垂直等 的定义、判定定理以及性质定理的考查。定理直接应用法:VPA面ABCDEF APB在面ABCDEF内射影为AB 若PB1AD 则AB1AD,（三垂线定理的逆定理），而AB不垂直AD，选项 A不准确反证法：若面PAB面PBC,作AGPB于G，则AG1面PBC，.BC AG 又 BCPAABC面 PAB ABC1AB，而 BC 与 AB 不垂直 二选项 B 不准确反证法：若直线BC/面 PAE，注意到BC/AD，而AD与面PAE相交，.L BC与面PAE相交.选项C不准确定义法:

5、PD与面ABC所成角为ZPDA，在RtAPDA中，.AD=2AB=PA .ZPDA=45故选择D点评：本题考查了三垂线定理，面面垂直的性质定理，线面角的求法，每一个 选项都设计精巧，很好地考查了空间想象水平和逻辑推理水平，是历年高考考 查的重点。例2：（09陕西）球O的半径为2，圆O1是一小圆，010=云，A、B是圆O1 上两个点，若A、B两点间的球面距离为身，则ZAO1B=解析：本题主要考查球面距离，把握好球心角，圆心角的转化是求解本题的 关键。定义，公式并用法：设球心角 AOB= a，利用球面距离公式二.2兀R =二.2兀.2 =史，知ZAOB=a =60又 OA=OB .360。360。

6、3AOB为正三角形，可知AB=OA=2，在等腰AO1B中，O1A= O1B=鼻 . AO1B为等腰Rt，圆心角ZAO1B=90点评：高考题中与球相关联的考题往往结合截面圆，经度，纬度，弧长等考 查球面距离，同时也能够结合与球相关的组合体(如球内接正方体，长方体；球 内接棱柱，棱锥；正方体的与棱或与面相切的内切球；几个球外切堆放等)考查 球的表面积与体积问题等。解决的关键在于将空间图形问题转化为平面图形的问 题，将复杂的图形分解成简单的图形，同时需要有一定的空间想象力才能在没有 给出图形的前提条件下自己作图，所以在平时的练习中要增强训练。例3：(08安徽)在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长

7、为1的菱形，NABC=_，OA1面 ABCD，OA=2, M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点。4(1) 证明：直线MN/面OCD；(2) 求异面直线AB与MD所成角的大小；(3) 求点B到面OCD的距离。解析：(1)证明线面平行往往有两种方法：用线线平行判定定理或面面平行性质定理，无论哪一种方法添加合适的辅助线才是关键。(2) 两条异面直线所成的角，要以运动的观点使用“平移法”，使之成为两 相交的直线所成的角，要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系，尤其要利用“中 点特性等。(3) 求距离常有直接法和间接法，直接法是直接寻找并作出所求距离对应的 线段，证明它就是所求距离后根据图形特点实行求

8、解；间接法有等积法和转化法。 等积法即把所求距离看作某三棱锥从某一顶点出发的高，再通过变换合适的三棱 锥的顶点，利用同一三棱锥改换顶点体积也不变的结论列方程求出相对应的距 离。转化法是将点面、线面、面面之间的距离利用线面平行或面面平行实行等价 转化，直到容易求出为止。证明：(1)线面平行判定定理直接应用法：取OD中点E，连ME、EC，易知ME NC.四边形MNCE是平行四边形AMN/EC 又 MN二面 OCD，ECu 面 OCD Z.MN/W OCD另法(面面平行性质定理直接应用法)取OB中点E，易知ME/CD，又EN/OC， 可分别证得ME/ZW OCD，EN/面OCD.面 MNE/ OCD

9、，VMNu面 MNE AMN/ OCD(2) 平移法：.CDAB AZMDC为异面直线AB与MD所成的角(或 其补角)作 AP1CD 于 P，连 MP VOAl ABCD ACD1MP (三垂线 Th),；Z ADP= L .DP=，.MD=.*2 + AD2 =互42,- cos ZMDP = DP = 1 A AB与MD所成角大小为当 MD 23(3) 直接法：.AB OCD.点B到面OCD距离等于点A到面OCD距离连 OP，过 A 作 AQOP 于 Q VAPCD, OACD ACDM OAP ACDAQ又AQOP AAQW OCD,线段AQ的长就是A到面OCD的距离2 皂c.AP=DP

10、=2 , OA=2 .OP= 1 + 4 =堂,AQ=QAL竺=A = 222 v2OP 33B到面OCD距离为23间接法：在OCD中，OD= v OA2 + AD24 + 1 =否,OC= % OA 2 + AC2 = ：4 +1 +1 一 2 1 1 cos = 6 -如24CD=1 在 OCD 中由余弦 Th 知 cos ZODC = 5 +1 一 6f=丑2 、3 110.-3sin ZODC = =v10S *d= 2 X1 SJ =乎 ? = 1 = 项2 + 2 = 2 =如=2由毒（0,2】，得解牛勇，即为所求。点评：本题以四棱锥为背景，垂直关系为载体，以几何动态变化中不变量为

11、 素材，探索线线垂直、线面角、二面角等相关知识，重在让考生在动静结合之中 体现空间想象水平和理性思维过程，两问螺旋式设计是很好体现了由浅入深，由 常量到变量，由静态到动态的变化，一证一求，一推理一探索。立几在高考的考查中突出考查逻辑思维水平，运算水平，空间想象水平，分 析和解决问题的水平，在平时的立几学习中增强数学思想方法的训练，转化、化 归思想贯穿立几学习的始终，在复习中应注意培养化归，转化意识，掌握常见的 化归、转化方法，将空间问题平面化，再实行量化处理。巩固练习：一填空题1如图，在三棱柱ABC ABC中， ZACB 90。, ZACC 60。, ZBCC 45。， 侧棱 CC 的 长为1

12、，则该三棱柱的高等于2等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C- AB-D的余弦值为 查，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于3如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面 区域，称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会，我国发射了 “中 星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径 约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为km(结果中保留反余弦的符号).第3题图二解答题4在 ABC中，B= 90 ,AC= 15 D、E 两点分别在 AB、AC 上.使A

13、D = AL = 2 ,DE=3.现将AABC沿DE折成直二角角，求: DB EC(I) 异面直线AD与BC的距离；(II) 二面角A-EC-B的大小(用反三角函数表示)第4题图5如图，在三棱锥P-ABC中， AC = BC = 2， /ACB = 90， AP = BP = AB， PC AC PAB(I )求证：PC AB ；(II )求二面角 B - AP - C 的大小;(III) 求点C到平面APB的距离.巩固练习答案1.1/22. 1/63. l = 2 R arccos 鱼=12800arccos max53534 (I )在图1中，因AD =竺，故曲 BC.又因B=90，从而A

14、DDE.DB CE第4题图1在图2中，因A-DE-B是直二面角，ADDE,故AD1底面DBCE，从而ADDB.W DBBC,故 DB为异面直线AD与BC的公垂线.下求DB之长.在图1中，由AD =竺=2，得DE=AD=2CB BCBC AB 3又已知DE=3,从而BC = 3DE = 9.22因 D=(II)在图2中，过D作DFCE,交CE的延长线于，连接4F.由(1)知，4D上底面。8。瓦由三垂线定理知AFLFC,故ZAFD为二面角A-BC-B的平面角.在底面DBCE 中，ZDEF=ZBCE,DB河沥CE :告4从而在RtADFE中，DE=3,.- C 412DF = DE sin DEF

15、= DE sin BCE = 3 _= . 55在 Rt AAFD中, AD = 4,tan AFD = AD = 5.DF 3所以所求二面角A-EC-B的大小为arctan5.35 (1)取AB中点D，连结PD, CDAP = BP ,:.PD AB . PAC = BC，. CD 1 AB PD CD = D，:AB 1平面PCD.PC u 平面 PCD ,:.PC 1 AB (II) AC = BC， AP = BP ,:. APC BPC 又 PC 1 AC， :.PC 1 BC 又 ZACB = 90 , 即 AC 1 BC，且 AC PC = C，.bc 1平面pacn取AP中点E

16、 .连结BE, CE.AB = BP，.BE 1 AP EC是BE在平面PAC内的射影， . CE 1 AP ./BEC是二面角B- AP-C的平面角.在BCE 中，ZBCE = 90，BC = 2，BE = 22. sin ZBEC =竺=.BE 3.二面角B -AP-C的大小为 arcsin -3(m)由(I )知 AB 1 平面 PCD，AB = 6，PA平面APB 1平面PCD过。作CH _L PD ,垂足为h. v平面APB平面PCD = PD， :.CH 1平祀4祝.CH的长即为点C到平面心 的距离.由（I）知X PCI AC，且 AB AC = A9:.PClFW ABC-nCDu平面 ABC 9PC 1 CD .在RtAPCQ 中，CD = -AB = y/2 9 PD = PB = 69 22/. PC =PD2 _ CD2 = 2 . PC CD 23.Crz =PD 3.点C到华面A如的距离为XL3