[高等代数课外习题--向量空间]

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1、第六章 向量空间一、判断题1为的子空间. （ ).2、所有阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间的子空间. ( ） 、维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一种基. (）4、设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组线性表出，则维（).、 子空间的维数等于向量组的秩 ( ）6、为的基，为中向量,且,则为的基当且仅当可逆。（ )7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相似. （ ）. 设是向量空间的一种基, 是到的一种同构映射, 则的一种基是. 9、.如果向量空间是维的，那么中任意4个向量必是线性有关的（ )。10.、非齐次线性方程组的解集不构成一种向量空间( )。11、线性空间的一组基所

2、含向量的个数是该空间的维数.1、设，均为线性空间V的子空间,满足，则。 ( ).1若，是的基,是的基,则是的基.二、填空题1、复数域作为实数域上的向量空间， 维数等于_, 它的一种基为_.2、在中,若线性无关，则的取值范畴是_.3、若，则 ;4、若，则 ;5、中由基到基的过渡矩阵是 , 在这两组基下的坐标分别是 , .6、子空间的维数= ;7、设基，则由基的过渡矩阵= ；8、在中，已知，,是的基，那么,在该基下的坐标为 。9、设是方程组解空间,是方程组那么是方程组 的解空间。10、设 。三、选择题、R3中下列子集（ )不是R3的子空间(A) (B）(C) ()、设向量组M为四维向量空间4的一种

3、基，则( )必成立。 ().M由四个向量构成 （B）. M由四维向量构成(C) M由四个线性无关的四维向量构成 (D). M由四个线性有关的四维向量构成、若W1,W都是维线性空间V的子空间,那么（ )(A）维1+维（W12)=维W1+维(W1+W2)； (B) 维（W+2）=维W1+维2; (C）维1+维(W1+W2)=维W1维(W12); （D)维1+维（W2) =维(W1+W2)-维W2。4、设为线性空间的一组基，则的维数是( ) （A). (B） (C). (D).不拟定5、设是数域上线性空间V的向量，如果是零向量，那么（ )（A)仅当时 （B）时也许有(C）仅当时 (）或时6、设是数域

4、上线性空间V的向量，则( )（A） 当时线性无关。（B） 当时是的基。（C） 当时线性有关。（D） 当时也许线性无关。7、是的子向量，则（ )（A)1 (B) （C）3 (D)48、设V是数域上维线性空间,是V的子向量，则（ ）(A) （B)的基的并集所含的向量是的基。(C） （） 9、若是的子空间,且 则( )(A）. （） (C） (D）是V的子空间。1、由3阶对称矩阵构成的子空间的维数是( );(A)9 (B) 6 (） （)3四、计算题1、 下列子空间的维数是几? ； 2、证明是R3的一种基，并求在这个基下的坐标。3、设求和.其中 ;4、在向量空间中, 求由向量生成的子空间的一种基和维

5、数.5、设,是齐次方程的解空间，求+,的一组基和维数。6、求实数域上有关矩阵的全体实系数多项式构成的向量空间的一种基与维数.其中 7、在线性空间中，1） 求的维数与一组基2） 求的维数与一组基.、设为数域上全体次数不不小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间,考虑如下的生成子空间,其中，,其中，求,的各一组基.9、设是矩阵,其中 （a)求行列式的值，这里表达矩阵A的行列式； (b) 设,求W的维数及W的一组基。10、设是数域F上的次数不不小于n的全体多项式构成的线性空间，定义V上的线性变换，使,其中表达f()的导数，求A的核与值域,并证明线性空间V是与V的直和。五、证明题1、设为向量空间的两个子空间. 证明: 是的即含又含的最小子空间.、证明: 维向量空间中,任意个线性无关的向量都可作为的一种基3、设维向量空间的向量组的秩为， 使得全体维向量的集合为. 证明是的维子空间4、 设为向量空间的一种基, 令且.证明 .5、 证明： 是的一种基,并求有关这个基的坐标6、设,如果，并且，那么7、设分别是齐次线性方程组与的解空间.证明： .8、证明 每一种维向量空间都可以表成个一维子空间的直和.9、为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令证明:、2皆为的子空间,且1、设，记 ,证：。