数学建模传染病模型剖析

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1、传染病的传播摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不当之处。并在对问题进行较为全面评价的基本上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系,并在此基本上建立方程求解算法结合MATL编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同步运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一种真正可以预测以及能为避免和控制提供可靠、足够的信息的模型,这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会,阐明建立如SR预测模型之

2、类的传染病预测模型的重要意义。核心词：微分方程 SRS 数学模型 感染率1问题的重述R(Ser Acute Respiaory Sydre,严重急性呼吸道综合症， 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一种在世界范畴内传播的传染病。SAS的爆发和蔓延给国内的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,结识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延发明条件的重要性。请你们对SA 的传播建立数学模型，具体规定如下:)建立传染病传播的指数模型,评价其合理性和实用性。)建立你们自己的模型，阐明为什么优于指数模型;特别要阐明如何才干建立一种真正可以预测以及能为避免和控制提供可

3、靠、足够的信息的模型,这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采用的措施做出评论,如：提前或延后5天采用严格的隔离措施，对疫情传播所导致的影响做出估计。附件1提供的数据供参照。3)阐明建立传染病数学模型的重要性。2定义与符号阐明 表达为SAR病人的总数；K（感染率)表达为平均每天每人的传染她人的人数;L表达为每个病人也许传染她人的天数；(t) 表达为每天(单位时间）发病人数;N(t)-N(t-L)表达可传染她人的病人的总数减去失去传染能力的病人数;表达时间；R表达拟合的均方差；3 建立传染病传播的指数模型31模型假设1)该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触(空气,食物，)将病菌传播给健康者。

4、单位时间（一天）内一种病人能传播的人数是常数k； 2)在所传染的人当中不考虑已治愈的人与否被再次被传播,治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数,治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k；3） 病者在潜伏期传播也许性很小， 仍按健康人解决;4)SAS对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是同样的;5)我们所采用的隔离是非常严格的，被隔离的病人不会再感染其她人;32模型的分析和建立求解全国疫情从浮现第一例病人起,到4月20日前后(从起点起4天左右）是疫情高峰，在此之前k值我们取k=.1604,在此后的时间里我们取=0.02来计算。根据提供的数据可以建

5、立指数模型:(）=n(1+K)。在前4天我们取k0.204来代入,分别算出45天的病人合计数，根据45天中天病人的数量来画出图1，并与附件中所提供的数据中的日合计数来进行了比较。如图31所示:图31 根据指数模型建立的图形图3-根据附件1所建立的图形从两个图形中,我们可以看出,从4月20日开始计算,前5天的病人合计数和我们用k的值来代入模型画出的病人计算数基本上是吻合的。图形1中的横坐标数字表达时间的天数，如15即4月20日之后的第15天,40即4月0日之后的第40天。在45天之后的时间里，模型对k的值进行了调节,k=00273，我们再将=.023代入模型N（)=(1+K）,在45天之后的时间

6、里,我们取了30天的时间，分别算出每天的病人合计数，如图所示: 图3-3.对指数模型的验证和评价在图形3-中的横坐标的数值表达图形1中所示的天数之后的天数，如1即表达4月15日之后的5天之后的有第六天，也就是4月1日之后的第天，即表达4月15日之后的第6天。一方面在图形33结合图形3-可以看出，图形31中的第45天与图形2中的第一天（相隔一天）的人数记录是相差比较大的，存在这种状况的因素是在我们在计算第61天,数据值发生了变化,从0204到0.023是一种很大的变化,而在实际的生活中的状况是k值每天都在进行数值在减小的变化，但变化的没有这样大，也正是由于k有了跳跃，N（t)的值才会发生这样大的

7、变化,这是可以理解的。我们对图形2的整个曲线来与附件1中的图形1进行比较，可以发现，在整个阶段的数值曲线图形都是很接近的。我们在对全国在前期和后期k分别取k=0162和k0.03的值来代入所给的模型来计算并画出的图形,与实际的数据和图形进行了比较，是有着较好的吻合，同样我们也可以对k取值一种定值来对全国进行计算和画图,同样也是合理的。因此我们就觉得题目中给我们的那个模型N(t)n(1+K)是合理的。通过这个模型我们可以根据某一地区的疫情从爆发到高潮或某一阶段的时间的长短来拟合得到一种与该地区这种疫情的感染率,就可以用该模型来计算或预测该地区目前及后来的病人的合计数, 这也就是该模型的实用性所在

8、。4建立新模型4.1模型假设 模型假设与指数模型假设一致不在赘述。4.模型分析与建立4.2.1模型分析 初期由于疫情初期政府控制力度不够，大众的对RS的防备意识不强，导致病情迅速蔓延。而当政府采用有力措施,人们的防患意识增强,疫情则趋于缓和,病患者人数迅速下降。因此SAR传播大体上可分为两个阶段： 1)控制前期：即觉得病毒传播方式是自然传播。2)控制后期:政府强力介入之后的病毒传播模型。42. 模型建立根据对指数模型的分析和4.的分析疫情走势的微分方程如下； N(t)=K （t) N(t L) (1)4.3模型的求解如果假定有一种初始爆发时间，最初有N0 个病人忽然浮现,在L 天之内（t L)

9、则N(t-L)=0 。在这个初发期间内,方程(1）给出的发病人数呈指数增长N(t）=(+) （ 0tL) (）当t2的时候,N(-L)这部分人就已经没有传播能力了，因此我们推算出了下列模型 (t)= （1K） （t-L）() （Lt2L） (）当2L3L的时候又有下列模型 N(t)N(+K)N(L) (2L6时也可用(t）= N(1K) N(L)的模型。K的值其实是一种变量，它每天的值都在发生变化。疫情刚开始的时候，K的值大，因素也许有刚也许是政府部门还没有足够注重起来,人们也还没有注重，医疗部门也还没有比较好的设备,医生们对病情也还没有很理解，技术上也许也尚有局限性。但随着病情的日益加重,来

10、自各个方面的注重限度均有很大的提高，这是K的值就比较小了。在此模型中,我们觉得 感染率()在数值上与病例的增长率是相等的，疫情患者她传播在传播给健康人的时候,健康人她也许是带病毒了，但健康热处在潜伏期状态，据“全国“非典” 科技攻关组发布七大科研进展”与于-06-0日报道中指出潜伏期患者传染的也许很小。有关部门对非典爆发过程中两例传播链进行了细致的调查和分析，这两个案例中共追查到潜伏期密切接触者158人,无一人死亡。因此我们在模型中说的感染率只为疫情患者传染给她人,并且她人发病,若她人不发病则不为感染率。增长率在数值上即为感染率。我们对全国所提供的所有数据中的已确诊病例合计进行了分析计算，得出

11、感染率K的变化数据并画出了曲线图。如图4-1所示：图-1K(感染率）是一条跟的值有关的曲线，我们通过回归法的公式为：= E1t - 4E-10t 8E-08 - 1E-05t+0.06 00191t+0325(5) 图4-1中R=068为曲线回归的均方差,可见存在的误差并不大。t为疫情流行的天数。4.4模型检查 通过该公式可预测疫情开始时或后来的合计病人总数。 例如 要预测某一天病人的合计总数，将时间t的天数代入方程（）即可求得K（感染率)的大小,由于L的值定在2天,因此当0t0时，将K代入(2)； 当2040时，将K代入(3); 当40t0时,将K代入(4)。当t=0时,我们根据方程(5),

12、可求得=0.0923,我们再将K=.0923代入（2）得到N8。当t=5时，我们根据方程（5),可求得K=0.614,我们再将=0.014代入(2)得到N38。这与实际给出的数据非常接近。可以阐明我们的模型是一种比较可以预测以及能为避免和控制提供信息的模型。45模型的应用与推广 此模型可以作为预测以及能为避免和控制提供可靠、足够的信息的模型。4.6与指数模型的比较 ）我们对不同阶段的疫情的计算和预测建立了不同的模型，这样来分析比附件1所提供的初期模型更加的精确。2)对感染率K求出了方程,可以懂得每一天的疫情感染率,可以更加有效的计算与预测有关数据。3）该模型实用性更强,能更加精确的反映实情。

13、建立模型的核心和困难 建立模型的核心在于对模型进行动态的分析,当传染病发展到一定阶段在政府的控传染率下降。此时还用之前的误差会很大。在建立模型过程中有如下几种方面的困难:1)对不同地区SAS的卫生知识的宣传的多少的不同，K的值就不同样;2)对某一地区的不同地方的强化管理也不同样（如公交、商场、餐厅、娱乐场合等）,K的值也就不同样;3）尚有保护工具的使用、建筑物的通风条件、居住的卫生条件等等的不同,都会有有不同的K的取值。6对于卫生部门采用的措施的评价对于卫生部门提前或延后5天采用严格的隔离措施的影响，我们可以建立下面的模型进行辅助分析估计：) 模型参数定义：S(t)t时刻易动人群总数I(t)t

14、时刻浮现的新增患者 患者从患病起通过时间,仍为患者的概率患者距发病时间,具有传染性的概率患者与易动人群接触率近断时间的医学研究表白,从正式发病到治愈一般需71天或更长时间,假定平均治愈时间为2天。2)基本条件假设:新患者浮现的数量与既有患者的数量成正比，也与既有易感者的数量成正比,即发病率是患者人数和易感者人数的双线性函数。由基本假设条件可得:S(t1)S（t)-I(t+1) （1)I(t+1)=S(t） (2)经整顿后得:S（t+)(t)- (3)S(+1)=S(）（1- (4）(+1)/S(t)=(1 （5) 虽然不能具体懂得 的数值,那么我可以根据较为抱负的均匀平均递减概率参数,可得下表

15、:02456891112111/110/12928/7/16/125/14123/122/21/120表6-1如果病人发病后5天才开始隔离，并且的值在疫情初期又较大的话,那么由上表可知病人已经分别以112、1012、/2、8/12、7/2的大概率在社会上与易动人群接触和传染。由（5）式得：S（t+1)/S(t）(11 （6）也就是S（t+1)(t），易动人群总数将会一以较大的数值递减,给疫情的控制带来更大的困难。并且在现实生活中在第天的（) 7/1。当处在潜伏期时，传染性几乎为0，因而同理我们有理由相信：S（t1)/S（t）(1- （7)即S(+1)近似于()。因此，如果在病人发病前提前5天隔

16、离的话，新增病人数将变得很小。7 建立传染病数学模型的重要性随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到有效的控制,但是在世界的某些地区,特别是贫穷的发展中国家，还不时浮现传染病流行的状况，与次同步，某些鲜为人知的险恶传染病则跨国越界在既涉及发达国家也涉及发展中国家的更大范畴内蔓延。始终以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等等，有着重要的作用。以近来突发性的险恶传染病SARS为例。从1月16日在中国广东佛山市首例发生家族汇集性发病至5月,疾病呈迅速蔓延趋势。目前全世界3多种国家

17、和地区有病例报告。中国大陆、香港和台湾发病人数占全球的0%以上。世界卫生组织(W）总干事Brundlard博士指出，AS已威胁到全球人类的健康。由于目前对SAR尚无可靠的病理学诊断,因此只能根据医疗卫生部门提供的可靠数据记录资料，建立模型来描述SAS病毒的宏观传播过程,有助于从量的方面来分析受感染人数的变化趋势,掌握AR的流行规律，从而及时对疫情进行控制，提供科学的数据,认清传染的基本要素，为防病提供必要的根据 。例如,月日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制方略数学模型”研究项目。于5月19日初步完毕了第一批成果，这一数学模型运用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地

18、的疫情进行了计算仿真。成果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要。分析报告说,就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增长100人左右，推迟两天约增长210人左右；若外界输入100人中涉及一种病人和一种潜伏病人,将增长患病人数100人左右；若4月21日后来，政府未采用隔离措施,则高峰期病人人数将达60万人。同步美国科学杂志网站月23日刊登的两份最新研究报告显示,如果对非典采用严密的公共卫生防治措施，这种新型疾病是可以得到控制的。而采用这种措施需要有一种预见性，这就需要人们通过模型的建立对SAS的发病周期、发病人数的变化趋势、疑似人数的变化趋势等来分析和预测。并为政府和医疗卫生部门进行决

19、策和资料调配提供直接的服务，为有关的研究部门提供科学的数据。 SRS作为新发传染病之一,虽有着其特殊性,但也符合一般传染病的传播规律。从SS对人民身体健康导致严重危害可以看出及时对传染病建立模型并进行分析和预测对人类的生命健康有着至关重要的作用。8 参照文献 姜启源 数学模型 高等教育出版社 19982云舟工作室 数学建模基本教程 人民邮电出版社 .73 刘双等 SARS临床病例及影像学分析 中国医药科技出版社 5附录A疫情的数据表日期已确诊病例合计既有疑似病例死亡合计治愈出院合计4月20日3394018334月21日48610254月2日5886628464月23日378354月24日774

20、863364月25日7754423月26日9819348764月27日1112564月28日11755 784月9日1347138663月日4010875905月1日153145810月2日13614911095月日1741149391155月4日1803153710118月日971510125月日1965231014月7日9151410145月8日3648612125月9日277216月1日22277116175月1日26541118月1日2304138129285月13日2347331445月4日27010839252月15日2381371402575月16日24012654123月1日2

21、421250145075月1日243412547325月19日24712915495月20日244125495月21日2444125475月22日4562051525月23日2465111605825月24日2490113416667月5日2910677045月26日250416168745月2日120572885月28日5194117865月9日257176928月0日25207601710065月31日221747810876月1日2513190206月7日252150106月18日214191146月19日2312176月2日2513192186月2日2521912236月22日5212

22、912276月3日25212112277月1日252739111126月日252274181115月3日52741811896月日2521881163月5日5221618113216月6日2522713831406月8日222550184536月9日52245841636月1日25235161776月1日5221179446月14日25224189199月15日2223896月日3183144月11日52357868216月12日252315517187附录Bfuction E=BJ(theta) fomlng; x=;C%出院人数; A=%合计个案 ; B=;死亡人数y=A-B-C;s0=t

23、heta(4)；n0=thea（5); ,s=de45(fidian,:64，s0 n 39 51,，thta);E=u(ys(：,）.2+(B+s(:,)）2)%+（C-s(:，5)）.2） unctionE=J(tea) fra on； x=; C= %出院人数 ; %合计个案 ; B=;死亡人数 =A-B-C;s0theta(4）;n0=tet(5）; t,s=45(fidi,0：64,s n0 39 51,，tht); =sum(ys(:,3)2+(BC-(:,4）).2）%(C(：，5)）.2） X，,EDFA=fnsearch(bj,0.000 0. 0.05 018);opons

24、=dest(rltol,1(-4),abstl,10(1）； theta=X MINFVA y=zeros（6,1）; B= %死亡人数 ; C= %出院人数; A= 合计个案 ； y=A-B-C; ，=ode45（fdin,0:10，eta（) tea() 33951,opis,teta); pot(t,s(：，3） ol on T=:64； pot（,y,o) bel(时间); ylabl（染病人数）；it（全国:4月2日至6月1日);fgure plo(t,s(:,4) hod on T=0：4; plt(T,B+,o） xle(时间)； ybel(移除人数)； til（全国:月20日至6月12日);figure