系统辨识及其在软测量技术中的应用.ppt

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1、第三章 系统辨识及其在软测量中的应用 黄福珍 H 本章主要内容 系统 辨识概述 最小二乘法 最小二乘法的各种改进算法 基于参数辨识的软测量方法 3.1 系统 辨识概述 系统 辨识的定义 系统辨识的步骤 辨识方法分类 数学模型的分类 3.1.1 系统 辨识的定义 系统辨识 是一种建立和确定模型的方法 模型是关于实际过程的本质的部分信息缩减成有用的 描述形式，是一种按照过程所作的近似描述 建立数学模型的方法： - 机理建模法（白箱） - 实验测试法（黑箱） 系统辨识 - 机理建模与实验测试相结合的方法（灰箱） 3.1.1 系统 辨识的定义 系统辨识的定义 （ Zadeh1962）： 系统辨识就是在

2、输入输出数据的基础上，从给定的模 型类中确定一个与所测系统等价的模型 该定义明确了系统辨识三要素： - 输入和输出数据 基础 - 模型类 寻找模型的范围 - 等价准则 优化目标 3.1.1 系统 辨识的定义 系统辨识的定义 ： Eykhoff1974：辨识问题可以归结为用一个模型来表示 客观系统本质特征的一种演算，并用这种模型把对客观 系统的理解表示成有用的形式。 Ljung1978：系统辨识有三个要素 数据、模型类和 准则，系统辨识就是按照一个准则在模型类中选择一个 与数据拟合得最好的模型 总之，系统辨识的实质就是从一组模型类中选择一个模型， 按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的

3、动 态特性 3.1.2 系统 辨识的步骤 系统辨识的步骤 ： 3.1.2 系统 辨识的步骤 系统辨识的步骤 ： (1) 根据系统建模目的和先验知识，进行系统辨识实验的设 计 ，包括选择实验信号、采样间隔、数据长度等 (2) 根据系统建模目的和先验知识，选择合适的模型类型和 结构 (3) 根据实验观测数据，采样适当的方法估计出模型的未知 参数 (4) 对所获得的数学模型进行验证，以确立所建立模型是否 符合实际。若不符合，则须改变系统的验前模型结构， 执行 (1)(4)步，直到获得一个满意的模型为止 3.1.2 系统 辨识的步骤 系统辨识的框图 ： 3.1.3 系统 辨识方法分类 开环辨识和闭环辨

4、识： 当被辨识对象本身就是一个系统或虽在闭环系统中， 但允许断开闭环回路时，系统辨识可以在开环状态下进 行，这种辨识称为开环辨识 当被辨识对象位于闭环系统之中又不允许断开闭环回 路时，必须在闭环运行条件下，根据被辨识对象的输入 输出信息来辨识其数学模型，这种辨识称为闭环辨识 3.1.3 系统 辨识方法分类 在线辨识和离线辨识： 离线辨识要求被辨识对象从整个系统中分离出来，然 后将大量的输入输出数据存储起来，并按照一定的辨识 算法进行数据处理。 在线辨识通常不需要给被辨识对象施加特殊的输入， 而直接利用实际运行条件下被辨识对象的输入输出信息， 它不需要存储从过去到现在的全部输入输出信息，而是 在

5、某个初始估计下启动，然后按照递推算法，随着新信 息的不断获得而不断修正估计值。 3.1.3 系统 辨识方法分类 非参数模型的辨识和参数模型的辨识： 非参数模型的辨识方法也称为经典辨识方法，这类辨识方法获得 的模型是非参数模型，它在假定被辨识系统是线性的前提下，通过对 其施加特定的输入信号，测定其相应的输出响应，以求得被辨识系统 的非参数模型，然后经过适当的数学处理，转化为系统的参数模型 传递函数。主要的方法有：脉冲响应法、阶跃响应法、频率响应法、 相关分析法和谱分析法等。 参数模型的辨识方法也称为现代辨识方法，这类辨识方法必须事先 假定一种模型结构，通过极小化模型与系统之间的误差准则来估计模

6、型的参数。如果模型结构事先无法确定，则必须利用模型结构辨识方 法首先确定模型的结构参数（如阶次、纯延迟等），然后再进一步估 计其参数。主要的方法有：最小二乘法、极大似然法、预报误差法等。 3.1.3 系统 辨识方法分类 不同辨识目的对模型和辨识的要求： 3.1.4 数学模型的 分类 数学模型的分类方法有很多，通过对数学模型的分类， 有助于按照具体的应用目的确定一个合适的模型： 从概率的角度分：确定性模型、随机性模型 按模型与时间的关系分：静态模型、动态模型 按时间刻度分：连续时间模型、离散时间模型 按参数与时间的关系分：定常模型、时变模型 按参数与输入输出的关系分：线性模型、非线性模型 按模型

7、的表达形式分：参数模型、非参数模型 按参数的性质分：集中参数模型、分布参数模型 按输入输出个数分： SISO模型、 MIMO模型 3.1.4 数学模型的 分类 离散时间系统的数学模型： 动态的离散系统输入、输出采样值 序列 u(k)和 y(k)之间的 关系可以表示成如下的 n阶线性差分方程 ： 也称为自回归滑动 平均 （ Auto-regressive moving average） 模型，简称 ARMA模型 对上式进行 Z变换，在零初始条件下输出变量的 Z变换对 输入变量的 Z变换之比，就是该离散系统的脉冲传递函数： 3.1.4 数学模型的 分类 离散时间系统的数学模型： 记 ： 则： 对随

8、机系统，考虑噪声的影响，则有： 其中 e(k)为噪声项。 3.1.4 数学模型的 分类 离散时间系统的数学模型： 根据噪声的情况，模型可分为如下几种 ： （ 1） MA模型 （ 2） AR模型 （ 3） ARMA模型 上式总称为 ARMAX模型，也称为 CARMA模型（带控 制量的 ARMA模型） 3.2 最小二乘法 最小二乘法是数学家高斯于 1795年首先提出的，当时高斯是利用它来 确定行星的轨道参数。高斯提出：未知量的最大可能的值是这样一个 数值，它使各次实际观测和计算值之间的差值的平方乘以度量其精确 度的数值以后的和为最小。这一估计方法的特点是计算原理简单，需 需要随机变量的任何统计特性

9、。此后，最小二乘法被用来解决许多技 术问题。针对它的各种应用场合，提出了相应的数值计算方法。根据 各种特定的要求，对最小二乘法本身也进行了修正和改进。 在辨识和参数估计领域，最小二乘法已经是一种基本的重要估计方法。 它既可以用于动态系统也可用于静态系统，既可用于线性系统也可用 于非线性系统，既可用于离线估计也可用于在线估计，既可用于参数 模型的辨识也可用于非参数模型的辨识。 3.2 最小二乘法 一般最小二乘法 加权最小二乘法 最小二乘法的统计特性 递推最小二乘法 最小二乘遗忘因子法 3.2.1 一般最小二乘法 一般生产过程都是连续系统，但是，在采用数字计算机 技术的情况下，信号都是经过采样，以

10、离散化形式进行 运算和处理的，这时，采用离散模型来描述一个过程更 为方便和实际。 3.2.1 一般最小二乘法 辨识问题的提法： 设被辨识系统的数学模型为： 记 考虑到噪声的影响，有： 辨识问题就是已知系统阶数 n和 L组输入输出观测数据 u(k), y(k) (k=1,2, L)的情况下，估计 A(z-1), B(z-1)的系数使 最小。 2 1 ()L i ek 3.2.1 一般最小二乘法 最小二乘求解： 将模型写成最小二乘的形式： 其中： 令 ，共 N次观测，可得矩阵形式如下： 其中 3.2.1 一般最小二乘法 最小二乘求解： 引入最小二乘准则： 其中： 称为模型残差或方程误差。 可见，模

11、型残差包含两个误差因素：一是参数估计带来的 拟合误差；二是随机噪声带来的误差 3.2.1 一般最小二乘法 最小二乘求解： 最小二乘估计是在残差平方和准则函数极小意思下的最优 估计，即按照准则函数： 来确定估计值 。求 J对 的偏导数并令其等于 0，得： 即： 上式称为正则方程，当 非奇异时，可得最小二乘估 计值： 3.2.2 加权最小二乘法 如果准则函数取为加权函数，即： 其中 称为加权因子，对所有的 k， 都必须是正数。 极小化上述准则得到的估计值称为加权最小二乘估计： 式中 W为 一对称正定阵，若取 W = I，则 即最小二乘法是加权最小二乘法的一种特例。 3.2.3 最小二乘估计的统计特

12、性 无偏性： 无偏性用来衡量估计值是否围绕真值波动，是估计值的一 个重要统计性质。一个估计值称为无偏估计，则它的数学 期望等于参数的真值，即： 对最小二乘估计值 ： 其数学期望为： 显然，如果噪声向量 e的均值为零，且与 是统计独立的， 则最小二乘估计值 是无偏的。同理可证加权最小二乘 估计值 也是无偏的。 3.2.3 最小二乘估计的统计特性 有效性： 对于无偏估计，一个算法称为有效的，是指任何其他一种 算法所得到的参数向量估计值的方差都比有效算法的大 。 最小二乘估计值的协方差阵为： 其中 称为噪声向量的方差矩阵。 加权最小二乘估计值的协方差阵为： 3.2.3 最小二乘估计的统计特性 有效性

13、： 当加权阵取为噪声方差阵的逆，即 时，加权最 小二乘估计值是最小方差估计，也称为 Markov估计： 即： 当噪声 是白噪声序列时， ，则： 即此时最小二乘估计 为有效估计。 3.2.3 最小二乘估计的统计特性 一致性： 如果估计值具有一致性，说明它将以概率 1收敛于真值， 即： 当 是零均值白噪声序列时，最小二乘估计值 是 一致估计： 3.2.4 递推最小二乘法 一次完成算法的缺陷： 矩阵 求逆的计算量大，存储量也大 每增加一次观测量，都必须重新计算 如果出现 列相关，即不满秩的情况， 为病态矩 阵，则不能得到最小二乘估计值 解决这些问题的办法是把它化成 递推算法 ，依观测次 序的递推算法

14、就是每获得一次新的观测数据就修正一次 参数估计值，新的估计值在老的估计值基础上修正而成， 这样不仅无需矩阵求逆，减少计算量和存储量，而且可 以实现在线辨识。 3.2.4 递推最小二乘法 记 N次观测数据组成的向量方程为： 上式的最小二乘解为： 记 则： 如果再增加 1组新的观测值 ，则又增加 1个方程， 由 N+1个方程组成都向量方程为： 其中 3.2.4 递推最小二乘法 由此得到新的参数估计值： 式中： 应用矩阵求逆公式 可得 与 的递推关系如下： 3.2.4 递推最小二乘法 由此得到： 式中 为增益矩阵，记为 ，而 为预报误差 3.2.4 递推最小二乘法 综合上述推导，可得递推最小二乘估计

15、算法如下： 递推过程如下： 3.2.4 递推最小二乘法 对于初值 的选取： 方法 1： m组数据，用 LS成批算法，得 ，再从 m+1开始递推 方法 2：令 ，任取 特别大 3.2.4 递推最小二乘法 递推算法的停机准则可按下式选取： 式中 为参数向量 的第 i个元素在 N+1次的递推计 算结果， 为给定的表示精度要求的某一正数。 3.2.5 最小二乘遗忘因子法 数据饱和现象： 所谓数据饱和现象，就是随着时间的推移，采集的数据越来越多，新 数据提供的信息被旧数据所淹没。如果辨识算法对新、旧数据给予相 同的信度，则随着从新数据中获得的信息量下降，算法就会慢慢失去 修正能力，这时参数估计值可能还偏

16、离真值较远就无法更新了。对时 变过程来说，它将导致参数估计值不能跟踪时变参数的变化。 这是因为 P0正定，而 即 由此可知， PN是递减的正定阵。随着递推次数的增加，会导 致 ，所以增益阵 GN+1也将随着 N的增加而逐渐趋于零向量， 从而使 RLS算法失去修正能力 3.2.5 最小二乘遗忘因子法 遗忘因子法： 基本思想：对旧数据加上遗忘因子，按指数加权来使得旧 数据的作用衰减。 最小二乘估计值为： 指标函数为 新增观测 yN+1之后的数据阵 则加衰减因子 后的数据阵为 3.2.5 最小二乘遗忘因子法 可得如下递推公式： 3.2.5 最小二乘遗忘因子法 令 称为遗忘因子，遗忘因子必须是接 近于

17、 1的正数，通常选择 。遗忘因子法的递推 算法（ RFF）可归纳为： 3.3 最小二乘法的各种改进 增广最小二乘法 广义最小二乘法 多步最小二乘法 3.3.1 增广最小二乘法 增广最小二乘法（ ELS）是最小二乘法的一种简单推广， 它只是扩充了参数向量 和数据向量 (k) 的维数，在辨 识过程中同时考虑了噪声模型的参数。 设 SISO系统采用的数学模型为 : 式中 噪声 e(k)为 MA模型，称 为新息序列，即在给定的 输出序列 和输入序列 的条件下， 的条 件均值为 0。 3.3.1 增广最小二乘法 如果 是可量测的，则模型可写为 : 式中 上式可采用最小二乘法求参数的估计值。由于其中 的

18、分量 是未知的，可用 代替 ， 借助于过去已知的参数估计量 来计算出误差估计， 即： 其中 这样，可采用迭代算法，迭代初值取 3.3.1 增广最小二乘法 按照递推最小二乘法公式的推导方法，可得到如下的递 推增广最小二乘法（ RELS）算法： 3.3.2 广义最小二乘法 基本思想： 对数据先进行一次白化滤波处理，然后利用 基本的最小二乘法对滤波后的数据进行变数。如滤波模 型选得合适，对数据进行了较好的白化处理，则直接利 用基本的最小二乘法就能得到无偏一致估计。所用的滤 波模型实际上是一种动态模型，经过几次迭代调整后， 便可对数据进行较好的白化处理。 3.3.2 广义最小二乘法 设 SISO系统的

19、数学模型为： 假定 为具有有理谱密度的平稳随机序列，对 总可以表示为一个白噪声序列 为输入的线性系统 的输出，也即它满足自回归模型 其中 若假定模型的阶次 n， m已经确定，则这类问题的辨识可 用广义最小二乘法（ GLS），以便获得无偏一致估计。 3.3.2 广义最小二乘法 令： 分别表示白化处理后的输出和输入，则有： 上式与基本最小二乘法的模型是一样的。若 已知， 这样可估计出 。若 未知，通常用松弛算法来 估计参数。 3.3.2 广义最小二乘法 广义最小二乘法的松弛算法： (1) 先猜一个 的值，即设 ，利用基本的 最小二乘法对 进行估计，得到 (2) 利用下式计算 e(k)： (3)根据

20、下式由最小二乘法估计 的系数 (4) 利用计算得到的 计算 ，然后利用 最小二乘法得到新的估计值 (5)重复步骤 (2) (4)，直到估计的精度满足要求为止 3.3.2 广义最小二乘法 广义最小二乘法的递推算法（ RGLS）： 设前一时刻算出的系统模型参数估计为 ，噪声模型参 数估计为 （ ），现时刻采 得数据为 ，则一次递推过程的步骤如下： (1) 对新数据进行滤波，即： 并构成滤波后的输入输出数据向量 3.3.2 广义最小二乘法 广义最小二乘法的递推算法（ RGLS）： (2) 对滤波后的输入输出数据做 RLS估计，修正系统模型 参数，计算公式为： (3) 由新得到的 计算出新的残差估计值

21、 式中 3.3.2 广义最小二乘法 广义最小二乘法的递推算法（ RGLS）： (4) 对新残差数据向量 做 RLS算法估计，修正噪声模型参数，算法为： 3.3.3 多步最小二乘法 多步最小二乘法（ MSLS）把复杂的辨识问题分 成 3个阶段来处理，而且每个阶段只用到简单的 最小二乘法，省去了广义最小二乘法的迭代过程， 简化了计算，并且可以得到参数的 一致无偏估计。 常用的 MSLS有 3种算法，这里只介绍 MSLS- I算 法。 MSLS-I算法分为 3个阶段，分别是确定原系 统脉冲响应序列、估计系统参数和估计噪声模型 参数。 3.3.3 多步最小二乘法 确定原系统脉冲响应序列： 设系统的差分

22、方程为： 式中： 为有色噪声，可表示为： 其中 为白噪声序列 3.3.3 多步最小二乘法 确定原系统脉冲响应序列： 是由系统输入量的测量噪声、输出量的测量噪声和 系统内部噪声所引起的。如果把 归结为由输出量测 量误差 所引起的，则可求出 和 之间的关系式： 则系统方程为： 或： 3.3.3 多步最小二乘法 确定原系统脉冲响应序列： 设 g(k)为 的脉冲响应序列，且令 假定系统是稳定的，可用有限序列来逼近脉冲响应序列 g(k)。设有限序列的 而 p足够大， 系统输入输出的关系可由离散形式的卷积公式得到： 3.3.3 多步最小二乘法 确定原系统脉冲响应序列： 设 为零均值随机噪声，白色或有色均可

23、，且 与 u(k)不相关。给定数据长度为 N+p的输入输出数据点集， 则可写出向量方程： 式中： 3.3.3 多步最小二乘法 确定原系统脉冲响应序列： 应用最小二乘法，得到的最小二乘估计为： 因为 u(k)与 (k)不相关， U与 也是不相关的。由于 的均 值为零，当 N 时， 以概率 1趋于 G，即 为一致性 估计。一般情况下， (k) 是自相关的，所以 不是极小 方差的。 3.3.3 多步最小二乘法 估计系统参数： 用 u(k)和 来构成系统真实输出 x(k)的估计 ，即： 然后利用模型 来估计 和 中的各未知参数。 把 代入上式得： 式中 是用 代替 x(k)后 所引起的实效误差。给出

24、数据长度为 N+n的输出输出点集，可得向量方程： 3.3.3 多步最小二乘法 估计系统参数： 给出数据长度为 N+n的输出输出点集，可得向量方程： 式中： 的最小二乘估计值为： 3.3.3 多步最小二乘法 估计噪声模型参数： 设噪声模型为： 利用已取得的估计值 计算残差 ： 以 代替 ，得： 式中 是由于在模型中用 代替 所产生的实效 误差。 3.3.3 多步最小二乘法 估计噪声模型参数： 由此可得噪声模型参数 C的最小二乘估计为： 式中： 3.4 基于参数辨识的软测量方法 基本原理 应用实例 3.4.1 基本原理 基于辨识的软测量方法就是把软测量转化为对对象的模 型辨识，把可以获知的参数作为

25、辅助变量，在对象模型 结构已知的情况下，把对象模型参数作为主导变量，对 其进行参数辨识，辨识结果就是参数软测量值。 假设过程数学模型为： 对于大多数过程模型，模型参数 不一定有明确的物理意义，但是它们和特定的或难测的 物理参数有着一定的隐含关系，从而为软测量提供了间 接途径。 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1 0 1( ) ( ) . . . ( ) ( ) ( ) . . . ( )nmnmy t a y t a y t b u t b u t b u t 1 2 0 1 , , . . . , , , , . . . , nma a a b b b 3.4.1 基本原理 设模型参数

26、和物理参数的间接关系为： 辨识获得模型参数的估计值 ，求取对应的被测参数 。基本过程如下图所示： ()gp 1 ()pg 3.4.1 基本原理 基于辨识的软测量过程实际就是在常规的参数辨识的 基 础上，把待辨识模型参数通过理论模型建立与已知物理 参数的关系，从而达到间接测量的目的。 基于辨识的软测量方法的优点： 不需要确切的过程模型 选择模型方案多 模型辨识可以离线进行 模型辨识较为简单 3.4.2 应用实例 铝电解生产过程阳极效 应的判定 问题分析： 阳极效应是电解法生产过程中的常见现象， 出现阳极效应是，电解电流效率下降，耗能急剧增大。 但多数情况下，从主要仪表参数电流和电压上看，测量 值

27、并无太大变化，因此无法及时检测阳极效应的发生。 阳极效应的生产并不都能从电压和电流等常规参数反映 出来，但它和电解槽槽电阻及槽电阻变化率有密切关系。 如果能建立槽电阻变化的数学模型，就能利用基于辨识 的软测量方法检测阳极效应，即通过对电解模型的参数 辨识，获得与阳极效应相关的槽电阻变化率参数，进而 检测判定是否发生阳极效应。 3.4.2 应用实例 铝电解生产过程阳极效 应的判定 过程分析及建立电解过程数学模型： 在铝电解过程中， 槽电阻逐渐增大，可以建立槽电阻变化率的动态模型， k 时刻的槽电阻可用 f(k)和白噪声 e(k)来描述 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1

28、) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) R k f k e k a f k f k R k f k e k a R k R k a e k e k 式中 a表示 f(k)从 k-1到 k时刻的变化率 3.4.2 应用实例 铝电解生产过程阳极效 应的判定 过程分析及建立电解过程数学模型： 动态模型： 写成最小二乘形式： 1 2 3( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )R k a R k a a e k e k 取正常电解生产过程中的槽电阻数据，用增广最小递推算 法进行参数辨识，得到正常情况下的槽电阻动态模型为： 1 2 3 ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( ) a R k R

29、k e k a e k a ( ) 0 . 9 5 ( 1 ) 0 . 1 5 0 . 9 6 ( 1 ) ( )R k R k e k e k 3.4.2 应用实例 铝电解生产过程阳极效 应的判定 结论： 通过模型验证，证明基于参数辨识的软测量方法 中的上述动态模型是可靠的 由图 4.8可以看出，在 t1时刻前，动态模型参数较为稳定，电解生产正常。 在 t1时刻槽电阻产生较大波动，导致模型参数发生变化，可以判定出现异 常。由图 4.9可以看出， t2时刻前后槽电阻波动不大，不能判定发生阳极效 应，但由于槽电阻变化率增加，槽动态特性发生变化，模型参数相应变化， 可以判定发生阳极效应。 3.5 本章小结 系统辨识的定义、步骤及方法 最小二乘法及各种改进算法的原理 基于参数辨识的软测量方法基本原理