函数与极限-1-函数

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1、 School of Physical Science and Technology 高等数学 刘 强 材料科学与工程系 School of Physical Science and Technology 绪论 高等数学发展简史 微积分的基本思想和方法 学习方法 School of Physical Science and Technology 初等数学时期 （公元前 3世纪 17世纪） 初等数学的主要研究对象： 1. 匀速的运动（速度不变）； 2. 匀加速运动（速度均匀变化）； 3. 直边图形（不弯曲）； 4. 圆弧形图形（均匀弯曲）； 5. 有限次四则运算。 School of Physi

2、cal Science and Technology x y O y=x2 1 xi 微积分的基本思想和方法 t sv 速度问题 面积问题 瞬时速度 曲边图形的面积 School of Physical Science and Technology 一 、高等数学与初等数学的 初等数学 研究的 常量 与 固定图 形 ，即常量数学 区别 思维 .它的方法是 孤立 的 静止 的，属 形式逻辑 。 School of Physical Science and Technology 高等数学 研究 变量 和 变化 的 图形，即 变量数学 。它的方法是 运 动 的 联系 的， 辩证 的，属 辩证逻辑 。

3、 School of Physical Science and Technology 二、微积分历史 简介 ： 我们即将学习的 高等数学 ，它 的主要内容是 微积分 。 研究函 数的一门学科，它产生于十六 .七世 纪，主要是为解决当时 而创 立的。 4个问题 School of Physical Science and Technology 求物体在任意时刻的瞬时速度、加速度。 求曲线在一点的切线（光线穿过凸透镜 的一系列问题） 求最大值、最小值（炮弹的最大射程、行星 离开太阳的最远、最近距离等） 求面积、体积、物体的重心等 School of Physical Science and Tec

4、hnology 这四个问题引起了当时大多数科学家的注 意，他们在研究这些问题的过程中所产生的数 学思想、方法就是微积分的萌芽。微积分问题 至少被十七世纪十几个大数学家和几十个小的 数学家探索过，位于他们全部贡献的顶峰是牛 顿、莱布尼兹。 School of Physical Science and Technology 牛顿 牛顿对微积分的研究偏 重物理方向。 伟大英国数学家、物 理学家、天文学家和自 然哲学家 。 School of Physical Science and Technology 莱布尼兹是哲学博士、 外交官、法学家、历史学 家 、语言学家、地质学家 、逻辑学家。并在力学、

5、光学、流体力学、气体力学、 航海学、计算机方面也做了重 要工作。莱布尼兹对微积分的 研究偏重于哲学方向。 莱布尼兹 School of Physical Science and Technology 有人说 : 牛顿 和莱布尼兹是微积分的创始人，实 际上这样说是不准确的。因为在数学和科学 的巨大进展中，几乎总是建立在几百年中作 出过一点一滴贡献的许多人的工作之上，需 要有一个人走那最高和最后的一步。这个人 要能够敏锐地从这些纷乱的猜测和说明中清 理出前人有价值的想法，有足够的想象力把 这些碎片重新组织起来，这个人就是牛顿。 School of Physical Science and Tech

6、nology 历史上曾有过牛顿 莱布尼茨学派 之争达一百年之久，互相指责剽窃了对 方，后经调查证实：他们两人对微积分 的研究都是独立的。牛顿早一些，但他 并没有把研究成果即时公布于世，以致 误会。牛顿创立了许多方法，是经验的、 具体的、谨慎的； School of Physical Science and Technology 而莱布尼兹富于想象，是大胆的，喜欢推 广，关心符号、法则、公式广泛意义下的 微积分。侧重点不同，但可以互补。 十七世纪的微积分是不严密的。他 们都满足于计算，只要结果有用就行，包 括都没有把微积分的基本概念弄清 楚，更不用说精确了。他们不能正确解释 这些概念，而是依靠成

7、果的彼此一致和方 法的多产，没有严密地向前推进。 十八世纪也是糊里糊涂 。 School of Physical Science and Technology 十九世纪以后，由于数学自身的发展， 才有一些数学家作了这方面的工作，以至成 了现在的有严谨理论体系的微积分。 教学内容决定教学方法，因此我们有 意识地在教材的处理上做一些尝试，准备 多种教法并用。 School of Physical Science and Technology 名称：高等数学 总课时： 4课时（ 6） /周； 内容：一元、多元函数微分学、积分学； 矢量代数、空间解析几何；无穷级数；微 分方程 School of Ph

8、ysical Science and Technology 高等数学 （上册） 各章的知识结构和联系 极限与连续 函数 导 数 与 微 分 导 数 的 应 用 不定 积分 定积分 及 其应用 常 微 方 程 School of Physical Science and Technology 目的 掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方 法，提高数学素养。 培养抽象思维和逻辑推理的能力、辩证的思想方法。 培养空间想象能力。 培养分析问题和解决问题的能力。 为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专 业的后继课程准备必要的数学基础。 School of Physical Science a

9、nd Technology 学习方法 课前 课堂 课后 华罗庚讲： 学 习数学，若不 做习题，如入 宝山而空返。 School of Physical Science and Technology 第一章 函数与极限 School of Physical Science and Technology 第一节 函 数 School of Physical Science and Technology 常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数 学的习惯。 还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为 x， y， z， u， v， w， s， t 等。 在观察

10、自然现象或技术过程时 ， 常会遇到各种不同的量 ， 其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值 ， 这种量叫 做常量 。 常用字母为 a， b， c， d， e， h， i， k， l， m， n等 。 常量与变量 School of Physical Science and Technology 区间和邻域 几个数集 : N表示所有自然数构成的集合 , 称为 自然数集 . N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, . R表示所有实数构成的集合 , 称为 实数集 . Z表示所有整数构成的集合 , 称为 整数集 . Z , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q

11、表示所有有理数构成的集合 , 称为 有理数集 . School of Physical Science and Technology 有限区间 : 设 ab, 称数集 x|axb为 开区间 , 记为 (a, b), 即 (a, b)x|axb. 类似地有 a, b x | a xb 称为 闭区间 , a, b) x | axb 、 (a, b x | axb 称为 半开区间 . 其中 a和 b称为区间 (a, b)、 a, b、 a, b)、 (a, b的 端点 , ba称为 区间的长度 . 无限区间 : a, ) x | ax , (, b x | x b , (, )x | | x | 0

12、，则称区间 (a, a)为点 a 的 邻域 ， 记作 U(a, )，即 U(a, ) x|axa x| |x a|。 其中点 a 称为 邻域的中心 , 称为 邻域的半径 。 x O a a+ 去心邻域 : (a,) x |0| xa |。 U x O a a+ a ),( aN ),( aU School of Physical Science and Technology ： All，任意一个，或任意，所有； ： Exist，存在，能找到。 School of Physical Science and Technology 函数举例 例 1. 圆的面积的计算公式为 A=pr2， 半径 r可取

13、 (0, +)内的任意值 ,就可确定 A的对应确定的数值。 例 2. 圆内接正 n边形的周长的计算公式为 Sn2nr sin ， n可取 3， 4， 5， 。 p n School of Physical Science and Technology 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的数 集。如果对于每个数 xD， 变量 y 按照一定法 则 总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函 数，记作 yf(x)。 定义中，数集 D叫做这个函数的定义域， x 叫做自变量， y叫做因变量。 函数符号 : 函数 yf(x)中表示对应关系的记号 f 也可改 用其它字母， 例如 j 、 F 等

14、 。此时函数就记作 yj(x)， y=F(x)。 1.1.1. 函数的定义 School of Physical Science and Technology 值域： Vf=f(X)=y | y=f(x)， xD。 定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象 地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就 是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。 函数值： 当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函 数 yf(x)在点 x0处的函数值，记为 f(x0)。 School of Physical Science and Technology 函数概念 应注意的问题 : 记号

15、 f和 f(x)的含义是有区别的 , 前者表示自变量 x和 因变量 y之间的对应法则 , 而后者表示与自变量 x对应 的函数值 . 但为了叙述方便 , 习惯上常用记号“ f(x), xD”或“ y=f(x), xD”来表示定义在 D上的函数 , 这 时应理解为由它所确定的函数 f . 函数符号 : 函数 yf(x)中表示对应关系的记号 f也可改 用其它字母 , 例如“ F”, “j”等 . 此时函数就记作 yj (x), yF(x). School of Physical Science and Technology 函数的两要素 函数是从实数集到实数集的映射 , 其值域总 在 R内 , 因此

16、构成函数的要素是 定义域 D及 对应法则 f . 如果两个函数的定义域相同 , 对应法则也相 同 , 那么这两个函数就是相同的 , 否则就是 不同的 . School of Physical Science and Technology 注意 确定值域：根据定义域和对应法则 确定定义域： 1. 有实际意义的：根据实际问题有意义来 确定 2. 无实际意义的：自变量所能取得的使 y=f(x)成立的一切数值 School of Physical Science and Technology 例如 : y=arcsin(X2+2) School of Physical Science and Tech

17、nology 例：下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等 2)()( xxf xxg )( 1 1)( 2 x xxf 1)( xxg 2ln xy ， xxg ln2)( xxxf 22 c o ss in)( ， 1)( xg (A) (B) (C) (D) 题型一：判断函数的等价性 解题方法：利用两个函数当且仅当它们的定义域和对 应法则完全一致时，才表示同一函数，否则它们就是 两个函数。 School of Physical Science and Technology 例：若函数的定义域是 0， 1，则函 数 的定义域是 ( ) )2( xf 题型二：求函数的定义域 解题方法 ： （

18、1）对于一般函数 . ， （ 2）对于复杂函数 . ， （ 3）直接代入 ， （ 4）对于复合函数 f(x)，可用已知的 y=f(x)的定义 域，令 t= (x)，解出 x的变化范围即可。 School of Physical Science and Technology 例题： 设 ， ， 且 求 定义域。 2)( xexf xxf 1)(j 0)( xj )(xj School of Physical Science and Technology 题型三：求函数 f(x)的表达式 解题方法：利用变量代换法和变量无关性。 例题： 设 f（ x）满足方程 其中 a、 b、 c为常数，且 求 f

19、（ x）。 x c x bfxaf )1()( ba School of Physical Science and Technology 函数的定义域为 D(, +)。 函数的值域为 W0, + )。 y x O y|x| x, x0 x, x0 0, 当 x0 1, 当 x1 时， y 1+ x 。 2 2 1 2) 2 1 ( f ； 2 1 2)1( f ； 2 2 1 2) 2 1 ( f ； 2 1 2)1( f ； 当 0 x 1 时， xy 2 ；当 x 1 时， y 1+ x 。 在 自 变 量 的 不 同 变 化 范 围 ， 对 应 法 则 用 不 同 的 式 子 来 表 示

20、 的 函 数 ， 成 为 分 段 函 数 。 School of Physical Science and Technology 1.1.2. 函数的几种特性 图形特点 ： yf(x)的图形在 直线 yK1的下方。 y=K1 y=f(x) O x y 1. 函数的有界性 设函数 f(x)在数集 X上有定义。如果存在数 K1， 使对任一 xX，有 f(x)K1，则称函数 f(x)在 X上 有上界 ， 而称 K1为函数 f(x)在 X上的一个上界。 School of Physical Science and Technology 如果存在数 K2， 使对任一 xX， 有 f(x)K2， 则称函数

21、 f(x)在 X上 有下界 ， 而称 K2为函数 f(x)在 X上的一个下界 。 图形特点 ： 函数 yf(x) 的图形在直线 yK2 的上方 y=K2 y=f(x) O x y School of Physical Science and Technology 有界函数的图形特点 ： 函数 y f(x)的图形在直线 y M和 y M的 之间。 如果存在数 M 0，使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称 函数 f(x)在 X上有界 ； 如果这样的 M不存在，则称函数 f(x)在 X上是无界函 数 ， 就是说对任何 M（无论 M多么大） ，总 存在 x1X， 使 |f(x)|M。 O x

22、 y y=f(x) y= M y= M School of Physical Science and Technology 函数的有界性举例： 例 1. f(x) sin x在 (, +)上是有界的： 即 | sin x | 1。 -1 1 y x O -2p p p 2p y=sin x 1 1 2 xy 例 2. School of Physical Science and Technology O x y 1 2 y=1/x 函数 f(x)1/x在开区间 (0,1)内是无界的。 无界函数举例： 函数 f(x) 1/x在 (0, 1)内 有下界，无上界。 这是因为，任取 M1， 总有 0

23、x1=(2M) 1M，所以函数无上 界。 但此函数在 (1, 2)内是有 界的。 School of Physical Science and Technology 注意： 若函数 f(x)在区间 I上有界 函数 f(x)在区间 I上既有上界， 又有下界 School of Physical Science and Technology 题型：函数的有界性解题思路 定义法：利用定义，对函数取绝对值，再对不等 式进行缩放。 利用极限（后面章节讲） 利用闭区间上连续函数的有界性（后面章节讲） 利用导数（后面章节讲） 例如：判断 在定义域 (-,+)内的有 界性 1 1)( 4 2 x xxf Sc

24、hool of Physical Science and Technology 2. 函数的单调性 x1 x2 f(x2) f(x1) O x y I y=f(x) 设函数 y f(x)在区间 I上有定义。如果对于 区间 I 上任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有 f(x1) f(x2)， (?) 则称函数 f(x)在区间 I上是 单调增加 (?)的。 School of Physical Science and Technology 如果对于区间 I上任意两点 x1及 x2，当 x1 f(x2)， 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 School of Physical Sc

25、ience and Technology 函数单调性举例 函数 y=x2. School of Physical Science and Technology 题型：判别函数的单调性 利用定义 利用导数法（后面章节讲述） School of Physical Science and Technology 设函数 f(x)的 定义域 D关于原点对称 (或称函数在关于 原点对称的区间上 )。如果对于任意的 xD，有 f(x) f(x)，则称 f(x)为偶函数。 3. 函数的奇偶性 O x y -x x f(-x)f(x) yf(x) 偶函数举例： yx2， ycos x 都是偶函数 偶函数的图形关

26、于 y轴对称。 School of Physical Science and Technology 奇偶函数举例： yx3， ysin x 都是奇函数。 1 0 1 x -2 2 y 3xy 如果对于任意的 xD，有 f(x)f(x)，则 称 f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。 School of Physical Science and Technology 函数奇偶性的判别 利用定义 利用奇偶函数的运算性质： 1.奇函数的代数和 ， 2.偶函数的代数和 . ； 3.偶函数之积 . ； 4.奇函数和偶函数之积 ； 5.f(x)+f(-x); f(x) -f(-x); f(x)+f(

27、 -x)=0时， f(x)是 函数。 函数的奇偶性是相对于对称区间而言，否则 例如 )1lg ()( 2 xxxf School of Physical Science and Technology 设函数 f(x)的定义域为 D。如果存在一个不为零 的数 l ，使得对于任一 xD有 (xl)D，且 f(x+l) f(x)，则称 f(x)为周期函数， l 称为 f(x)的周期。 周期函数的图形特点 ： y x O l 2l -2l -l y=f(x) 4. 函数的周期性 School of Physical Science and Technology 1.1.3. 反函数与复合函数 对于任一

28、数值 yV， D上 至少可以确定一个数值 x 与 y 对应， 这个数值 x 适合关系 f(x)y。 如果把 y看作自变量， x 看 作因变量，按照函数的定义 就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数 yf(x)的反函 数，记作 x f -1(y)= j(y)。 1. 反函数 设函数 yf(x)的定义域为 D，值域为 V。 y=y0 O x y x 1 x 2 y0 D y=f(x) (x1, y0) (x2, y0) W School of Physical Science and Technology O x y x y=f(x) y O x y -x x y=f(x) y 单调函数的反函数

29、是单值函数 什么样的函数存在单值的反函数？ School of Physical Science and Technology O x y -x x y=x2 y yx2 的反函数是多值函数： x 。 y 把 x限制 在区间 0,)， 则 yx2 的反函数是单值的， 即 x 。它称为函数 y=x2 的反函数的一个单值 分支。 y 反函数的单值分支： y 另一个单值分支为 x 。 School of Physical Science and Technology 在数学中，习惯上自变量用 x表示，因变量用 y 表示。按此习惯，我们把函数 yf(x)的反函数 xj(y)改写成 yj(x)。例如 y

30、x2的反函数写为 y 。 x 反函数的图形： 反函数的图形 与直接函数的图 形关于直线 y = x 对称。 O x y y=x y=f(x) y=j(x) P(a,b) Q(b,a) 关于反函数的变量符号： School of Physical Science and Technology )( xfy , 2 x 12 1 y=( )x 1 a y=ax x y O 常用的指数函数为 y=ex. 2指数函数 函数 y=ax (a是常数，且 a0， a 1)叫做指数函数 指数函数的定义域： D=（ ， + ） 单调性： 若 a1，则指数函数单调增加； 若 0a1 y=ax x y O y=lo

31、gax 3 对数函数 指数函数 y=ax的反函数叫做对数函数，记为 y=logax(a0， a 1) 对数函数的 定义域是区间 (0， + ) 自然对数函数： y=ln x=loge x. School of Physical Science and Technology 常用的三角函数有： 正弦函数： y=sin x 1 -1 y=cos x 余弦函数： y=cos x 1 -1 y=sin x y x O x y O 4三角函数 School of Physical Science and Technology 正切函数： y=tan x 余切函数： y=cot x x y O p p p

32、 2 p 2 x y O p p p 2 p 2 y=tan x y=cot x School of Physical Science and Technology 正割、余割函数的性质： 是以 2p为周期的函数，在区 间 (0, ) 正割函数： p 2 余割函数： 内是无界函数 y sec x 。 1 cos x 1 sin x y csc x 。 School of Physical Science and Technology 反正弦函数的主值： y=arcsin x， x ， . 反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数 . p 2 p 2 反正弦函数： y=Arcsin x，

33、定义域为 -1， 1. 反余弦函数： y=Arccos x 定义域为 -1， 1 反余弦函数的主值： y=arccos x， x (0， p -1 1 y x O p 2 p 2 y=Arcsin x y=arcsin x y x O p -1 1 y=Arccos x y=arcco s x 5反三角函数 School of Physical Science and Technology 反正切函数的主值： y=arctan x， 反正切函数： y=Arctan x, 定义域为 (- ， ). O x y p 2 p 2 y=arctan x p 2 p 2 其值域规定为 ( ， ) Sch

34、ool of Physical Science and Technology 反余切函数的主值： y=arccot x， 其值域规定为 (0， p 反余切函数： y=Arccot x， 定义域为 (- ， +). y=arccot x O x y p School of Physical Science and Technology 6基本初等函数与初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函 数统称为 基本初等函数 由常数和基本初等函数经过 有限次的四则运算 和 有 限次的函数复合 步骤所构成的并可用一个式子表示的 函数，称为 初等函数 xsiny 2 都是初等函数 例如 21 x

35、y ， 2c ot xy ， School of Physical Science and Technology 7双曲函数（实际上是初等函数） 应用上常遇到的双曲函数是： 双曲正弦： sh x= (exe-x) 1 2 双曲余弦： ch x= (exe-x) 1 2 双曲正切： th x = = xx xx ee ee sh x ch x y=ch x y=sh x 1 x y O y= e-x 1 2 y= ex 1 2 1 -1 O x y y=th x School of Physical Science and Technology 双曲函数的性质： sh(x y)=sh x ch

36、y ch x sh y， 比较 sin(x y)=sin x cos y cos x sin y; ch(x y)=ch x ch y sh x sh y; 比较 cos(x y)=cos x cos y sin x sin y; ch2 x sh2 x=1; sh 2x=2sh x ch x; ch 2x=ch2 x+sh2 x. School of Physical Science and Technology 7反双曲函数 双曲函数 y=sh x， y=ch x， y=th x的反函数依 次记为 反双曲正弦： y=arsh x， 反双曲余弦： y=arch x， 反双曲正切： y=art

37、h x 可以证明 arsh x ln(x+ ) 1 2 x arch x ln(x+ ) 1 2 x arth x x x 1 1 ln 2 1 School of Physical Science and Technology arsh x= ln(x+ )的证明： 12 x x= (eye-y) ， 1 2 u=x + ， 1 2 x y=arsh x是 x=sh y的反函数，因此满足 令 u=ey， 由上式得 u22xu 1=0， 解方程得 两边取对数得 即 ey=x + ， 1 2 x y= ln(x+ ) 1 2 x School of Physical Science and Technology 第一节总结 重点、难点及基本要求 理解 函数的概念，掌握函数的表示法，会 建立应用问题的函数关系 了解 函数的有界性、单调性、周期性和奇 偶性 理解 复合函数及分段函数的概念 了解 反函数及隐函数的概念 掌握 基本初等函数的性质及其图形， 了解 初等函数的概念