调和点列(一)解析

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1、一、线段调和分割的基本概念如果线段AB被两点C,D内分与外分成同一比例，则称线段AB被点C和D 调和分割亦称点列A,B;C,D为调和点列.显然，当C,D调和分割AB时，也可称A、B两点调和分割CD.有时也称点C 和D是线段AB的调和共轭点.若从共点直线外任一点P作射线PA,PC,PB,PD,则可称射线束为调和线束， 且PA与PB共轭，PC与PD共轭.二、调和点列的性质调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质.性质1设A,C,B,D是共线四点，点M为AB中点，则C,D调和分割线段AB的充 要条件是满足下述六个条件之一.(1)点AB调和分割CD.112(2)ACADAB (3)ABCD2

2、AD BC 2AC DB(4)CACBCM CD .(5)DADBDM DC .(6)MA 2MB2 MC MD .性质2设A,C,B,D是共线四点，过共点直线外一点P引射线PA,PC,PB,PD，则 C,D调和分割线段AB的充要条件是满足下述两个条件之一(1) 线束PA,PC,PB,PD,其中一射线的任意平行线被其他三条射线截出相等 的两线段.(2) 另一直线l分别交射线PA,PC,PB,PD于点A,C,B,D时，点 C ,D调和分割线段A B 性质3对线段AB的内分点C和外分点D,以及直线AB外一点P,给出如下四 个论断：PC是ZAPB的平分线PD是ZAPB的外角平分线C,D调和分割线段A

3、B. PC丄PD.以上四个论断中，任选两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命 题.P性质 4 三角形的一边被其边上的内 （旁）切圆的切点和另一点调和分割的充要 条件是，另一点与其余两边上的两个切点三点共线.性质5从圆O外一点A引圆的割线交圆O于C,D，若割线ACD与点A的切点弦 交于点B,则弦CD被A,B调和分割.三、几个推论1、性质 2 的推论：推论1梯形的两腰延长线的交点和两对角线的交点调和分割两底中点的连线.推论 2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割.推论 3 过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直 线与平行的对角线的同一端点所在的边或其延长

4、线相交，所得线段被此对角线所 在直线上的交点平分.2、性质 3 的推论：推论 4 三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割.推论 5 两外离不等圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分 割.推论6若C,D两点调和分割圆的直径AB,则圆周上任一点到C,D两点的距离之 比是不等于1 的常数.反之，若一动点到两定点的距离之比为不等于 1 的常数，则该动点的轨迹是 个圆.（Apollonius 圆）推论7 从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点连线，垂直于这 条连线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割.推论 8 一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是

5、，已知直径的圆周与 过两分割点的圆周正交（即交点处切线相互垂直）.A01CB 0推论9设点C是AAEF的内心，角平分线AC交边EF于点B,射线AB交厶AEF的外接圆圆02于点，则射线AB上的点D为AAEF的旁心的充要条件是ACCBDOB推论10设厶AEF的角平分线AB交EF于点8,交厶AEF的外接圆于点,则0E 2 0F 2 0A 0B .3、性质 4 的推论：推论 11 若凸四边形有内切圆，则相对边上的两切点所在直线与凸四边形一边 延长线的交点和这一边上的内切圆切点调和分割这一边.4、性质 5 的推论：推论12从圆外一点A引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边 形的对角线相交于点B,

6、设直线AB交圆于C,D,则A,B调和分割CD弦.D四、调和点列的性质应用例1如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA,PB, A,B为切点，再过点P作圆 的一条割线分另咬圆于C,D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC,AD于 E,F,求证：BE = BF.（2005年第5届中国西部数学奥林匹克题）例2如图，在ABC中，AD丄BC, H为AD上任意一点，CH,BH分别与AB,AC交 于点E,F,求证：ZEDA =ZFDA.（第18届普特南B.1）（1987年友谊杯国际竞赛）（第14届爱尔兰奥林匹克）（第26届加拿大奥林匹克）例3如图，在APBC中，ZPBC =60,过点P作APBC的外接圆圆0

7、的切线， 与CB的延长线交于点A.点D,E分别在线段PA和圆0上，使得ZDBE =90 , PD=PE, 连接BE与PC相交于点F.已知AF,BP,CD三线共点.（1）求证：BF是ZPBC的平分线.求tanZPCB的值.（2006年西部数学奥林匹克题）DF0AB例4如图，已知A为圆0外一点，过A引圆0的割线交圆0于点B,C,且点B 在线段AC内部过点A引圆0的两条切线，切点分别为S,T.设AC与ST交于点 APABP,证明：看 2（第 21届北欧数学竞赛题）PCBC例5如图，已知AABC的外心为O, P为0A延长线上一点，直线l与PB关于 BA对称，直线h与PC关于AC对称，l与h交于点Q若P

8、在0A的延长线上运动， 求Q的轨迹.（第38届奥地利奥林匹克题）P例6如图，过锐角AABC的顶点A,B,C的三条高分另咬对边于点D,E,F,过点 D平行于EF的直线分别交AC,AB于点Q,R, EF交BC于点P.证明：APQR的外接 圆过BC的中点.（第38届IMO预选题）例7如图，设0和I分别为AABC的外心和内心,AABC的内切圆与边BC,CA,AB 分别相切于点D,E,F,直线FD与CA相交于点P,直线DE与AB相交于点Q,点 M,N分别为线段PE,QF的中点，求证：0I丄MN.（2007年CM0试题）例8如图，已知AB是圆0的弦，M是ab的中点，C是圆0外任一点，过点C 作圆0的切线CS,CT，连接MS,MT分另咬AB于点E,F.过点E,F作AB的垂线， 分另咬OS,OT于点X,Y,再过点C任作圆0的割线，交圆0于点P,Q,连接MP 交AB于点R,设Z是APOR的外心，求证：X,Y,Z三点共线.（2007 年国家队选拔赛题）3 e1 J