新编北师大版高三数学(理)复习学案：学案21-两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)

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1、 学案两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目的:.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2能运用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.能运用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.熟悉公式的正用、逆用、变形应用自主梳理1.（1)两角和与差的余弦cos(+)_，o（-)=_.（）两角和与差的正弦n（+)=_，in(-）_.(3）两角和与差的正切tan(）_，n（)_.(，,，-均不等于，kZ）其变形为：tan +an =tn()(-tanan ）,tan tan ta(-)（1ta an )2辅助角公式an +co =sin()，其中角称为辅助角.自我检测.(20xx福建)计算i

2、n o 13cos 3sin 1的成果等于 （ )A.B.C.D.2.已知cs+sn ，则s的值是 ( )A.B.C.-D函数f(x）=n 2cs2x的最小正周期是 （）A.B.C2D(20x台州月考）设0cos ，则的取值范畴是 （ )A.C.D.5（0xx广州模拟)已知向量a（i x,cos ),向量b(,)，则|ab|的最大值为()A1B.3D探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值）例1 求值：(1)2n 0+10(1+tan 1）；(2)sin（5)co(+)cos(+15).变式迁移1求值:(1）；(2)tan(）tan()tan()tan(+).探究点二给值求值问题（已知某

3、角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0，cos，sin=,求sin（+）的值变式迁移(2x广州模拟)已知tan=2,a=.(1)求a的值;()求的值.探究点三给值求角问题（已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0,tan,os(-).()求sn 的值；（2）求的值变式迁移3(20x岳阳模拟)若si A=，sn=，且、B均为钝角，求A的值转化与化归思想的应用例 (12分）已知向量a(cs ,sin )，b(cos ,sn ),ab|.(1)求s（-)的值；(2)若-0,且sin =,求sin 的值.【答题模板】解（1)|b|，22b2=.2分又a=（cos，sin ),b(c

4、 ,sin ),a2=b2=1，co osin s cos(),4分故cs().分(2)0，0-.s（)=，sin（-)=8分又sin =-，0，co .9分故sn sin(-）=sin（-）cos cos(-)sin =12分【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一种等式条件|a|,必须从这个等式出发,运用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第（1)问，在第（2）问中需要把未知角向已知角转化再运用角的范畴来求，即将变为()+.【易错点剖析】|ab|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点,把未知角转化成已知角并运用角的范畴拟定三角函数符号也是易错点.1.转化思想是实行三角变换的主

5、导思想,变换涉及:函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换,幂的升降变换等等变换则必须熟悉公式.分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的互相联系和合用条件.3.恒等变形前需已知式中角的差别,函数名称的差别,运算构造的差别,谋求联系,实现转化.4.基本技巧：切割化弦，异名化同,异角化同或尽量减少名称、角数,化为同次幂，化为比例式，化为常数 （满分：75分)一、选择题(每题分,共25分）1.(2xx佛山模拟)已知sn+in ，则等于 ( )AB.-C.已知cos =,则sn的值是 ( )A.C.-D.3(xx宁波月考)已知向量=,b(4，4cos -)，若ab，则sin等于 ()

6、A.-B-D.函数y=n x 图象的一条对称轴方程是 ()Ax=Bx=x=D.x=.在AB中,3s A4cs B6,sin B3co A1，则C的大小为 ( )A.B.或D.或题号2345答案二、填空题(每题4分,共1分)6.(0xx重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆通过同一点(点P不在C上)且半径相等设第i段弧所对的圆心角为i(i1,2,3),则cos os sin sn =_7设sin= ，tn(-)，则tan（-)_.（20xx惠州月考)已知t 、an是方程3x+0的两根，且、,则tan(+)_，+的值为_三、解答题(共38分）9(2分）(1)已知

7、，且n（+）,os .求si ；（2）已知,(0,),且a（）=，tan，求2-的值10.(1分)(0xx四川)(1)证明两角和的余弦公式（）：cos()=cos cs snin ；由(+)推导两角和的正弦公式S():sin(+)sicos cs sn （2）已知ABC的面积S=,=3，且cos B,求cos C.11.（14分）(20x济南模拟)设函数(x）ab，其中向量a(2cox,1)，(os x，sin2x)，xR.（1)若函数f()=-,且x,求x；(2）求函数y=f(x）的单调增区间,并在给出的坐标系中画出f(x）在区间0,上的图象.答案 自主梳理1.（1)coscos -sin

8、os cs+s sin （2)sin coscos sin sin cos -os sn （3) 2 自我检测1A2.C3.B .C 5C课堂活动区例1解题导引在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化,合理拆角，化异为同;(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为弦,或把所有的弦都转化为切;(3)看式子，看式子与否满足三角函数的公式如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用.解(1)原式sn sin0os10=cos 0=cos 102in 62.（2)原式i（45)0+cos(+45)-

9、os(4)-3in(）cos（45)os(45)cos（+5)-si(45）0变式迁移1 解(1)原式=.(2)原式=tan（-)+()1-tan（-)tn（)+tn(-）tan().例2解题导引对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求此外某些角的三角函数值，核心在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”,若角所在象限没有拟定,则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其构造特性,还要学会拆角、拼角等技巧解 cssin，,+，+co=-=-，cos=-.sn+（+)ssincosssin=-.s(+).变式迁移解(）由an2，得,即1+tan 2-2tan，tan.(2)=-tn()=

10、-.例3解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选用函数时，遵循如下原则：已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范畴是，选正、余弦皆可；若角的范畴是(0,），选余弦较好;若角的范畴为，选正弦较好.(2)解此类问题的一般环节:求角的某一种三角函数值;拟定角的范畴；根据角的范畴写出所求的角.解 (1）tan ，sn =i2sin co =.(2)，sin =，cos =又0，0-.由cs(-)=，得sn(-).si=n(-）in(-）cs +cos()sin =.由得=.(或求os -，得=)变式迁移3 解、B均为钝角且in A=，sin B,os A=-

11、，cs B-=-cos(A+B)coAcosB-n Ain=-又A，B，AB由，知A=.课后练习区1D 2.3.B.A5A. 7. 8.-9.解 （),co =，sn =.(2分)又,，+，又sin(+),os（+)=- -，(4分)sin=sin（)-sn()co -co(+)sn -=.（分)(2)tan =(-)+=，(8分)tan(2）tan+()=1（0分)，（0,)，an 1，tan =0,0，0，A,cos A3si A,(分)又sincos2=1,sn =,cs A=,由osB,得sinB=.cos（A+B)=cos AosBin AiB.(11分)故os=（A+)s(A+B).（1分）.解(1)依题设得f(x)2cos2x+nx1+cs xsin 2x=2sn+1.由si1=1-,得in-(3分)x，2x+.2x+-，即x(6分）(2)+2k+2（kZ）,即-+kx+k （k)，得函数单调增区间为 (kZ).(1分)列表：0y22-02描点连线，得函数图象如图所示:（14分）