工程力学第七章平面弯曲

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1、第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 PLANAR BENDING1n7-1 7-1 概述概述 Introduction起重机大梁起重机大梁12n7-1 7-1 概述概述车削工件车削工件3n7-1 7-1 概述概述火车轮轴火车轮轴4n7-1 7-1 概述概述弯曲变形弯曲变形5n7-1 7-1 概述概述加工变形加工变形6n7-1 7-1 概述概述纯弯曲纯弯曲7弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁n7-1 7-1 概述概述8常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面n7-1 7-1 概述概述-具有具有(纵向纵向)对称面对称面9平面弯曲平面弯曲 planar bending

2、planar bending具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线n7-1 7-1 概述概述10梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座(Pin support)(Pin support)活动铰支座活动铰支座(Roller support)(Roller support)固定端固定端(Clamped support)-Fixed end(Clamped support)-Fixed endn7-2 7-2 弯曲内力弯曲内力 Internal

3、forces in bendingInternal forces in bending 211梁的载荷与支座梁的载荷与支座 Load and support of a beam12火车轮轴简化火车轮轴简化n梁的载荷与支座梁的载荷与支座?13梁的载荷与支座梁的载荷与支座14吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷n梁的载荷与支座梁的载荷与支座15非均匀分布载荷非均匀分布载荷n梁的载荷与支座梁的载荷与支座16简支梁简支梁(Simply(Simply supported beam)supported beam)外伸梁外伸梁(Overhanging(Overhangin

4、g beam)beam)悬臂梁悬臂梁(Cantilever(Cantilever beam)beam)XAYAYBXAYAYBXAYAMAn梁的载荷与支座梁的载荷与支座静定梁的基本形式静定梁的基本形式17YAM Q 剪力剪力，平行于横，平行于横截面的内力的合力截面的内力的合力 M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩合力偶矩YBQn梁的内力剪力和弯矩(shearing force and bending moment)(shearing force and bending moment)由整体求出由整体求出XA=0及及YA，YB.XAYAYBQM18YAQMYBQM

5、 剪力符号剪力符号：截面上的剪力对保截面上的剪力对保留段任意点的矩为留段任意点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之为负。反之为负。+_弯矩符号弯矩符号：截面上的弯矩使截面上的弯矩使得梁呈得梁呈凹形凹形为为正；正；反之为负。反之为负。n剪力和弯矩(shearing force and bending moment)(shearing force and bending moment)+_ 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负求内力方法求内力方法：截面法截面法19解：解：1.确定支反力确定支反力YAYBn剪力和弯矩例题例题7-17-1例例7-17-1 求图示简支求图示

6、简支梁梁E E 截面的内力截面的内力.20YB2.用截面法求内力用截面法求内力YA QMn剪力和弯矩例题例题7-17-1YA21YBYAQMEO保留右边保留右边?MEOn剪力和弯矩QQ大小及符号与保留左边完全相同大小及符号与保留左边完全相同!22q悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：任任选选一一截截面面x，写写出出剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程:x剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图(Shearing force&bending moment diagrams)(Shearing force&bend

7、ing moment diagrams)例题例题7-27-2qxl剪力方程剪力方程:弯矩方程弯矩方程:23qx依方程画出依方程画出剪力剪力图图和和弯矩弯矩图图QxMx由由剪剪力力图图、弯弯矩矩图图可可见见,最大剪力最大剪力和和最大弯矩最大弯矩:剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图(Shearing force&bending moment diagrams)(Shearing force&bending moment diagrams)4例题例题7-27-2l24例例 7-37-3BAlRARB图图示示简简支支梁梁C点点受受集集中中力力作作用用,画画出出Q 图图和和M 图图.解解：1 1确定约束力确定

8、约束力x2x1CPab2.分段列剪力方程和弯矩方程分段列剪力方程和弯矩方程AC段段:(0 x1 a)RAAx1M1Q1(0 x1 a)25CB段：段：M2Q2RAACx2P例题例题7-37-3263.3.画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变集中力使弯矩图有折角集中力使弯矩图有折角集中力使弯矩图有折角集中力使弯矩图有折角BAlRARBx2QxMxx1CPab例题例题7-37-327BAlR RA AR RB Bx2x1CM0ab例题例题7-47-41 1 求支座反力求支座反力求支座反力求支座反力2

9、 2 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程RAAxM1Q1M2Q2RAACxM0例例 7-4 简支梁，在简支梁，在C点受集中力偶点受集中力偶 的作用的作用,画出画出Q 图和图和M 图图.28例题例题7-47-4RAAxM1Q1M2Q2RAACxM0AC段：段：CB段：段：29 3画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图集中力偶作用处，弯矩图有突变集中力偶作用处，弯矩图有突变集中力偶作用处，弯矩图有突变集中力偶作用处，弯矩图有突变集中力偶作用处，剪力图无变化集中力偶作用处，剪力图无变化集中力偶作用处，剪力图无变化集中力偶作用处，剪力图无变化例题例题7-47-4

10、BAlR RA AR RB Bx2x1CM0ablM0/QlM0 a/M30剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图shearing force and bending moment diagramshearing force and bending moment diagram例题例题7-57-51 1 求支座反力求支座反力求支座反力求支座反力2 2 列弯矩方程列弯矩方程列弯矩方程列弯矩方程例例 7-57-5图所示为一简支图所示为一简支梁，在中心点梁，在中心点C受集中力受集中力的作用，在端集中的作用，在端集中力力矩矩，作此梁的弯矩作此梁的弯矩图图。RARBBAxxCPl/2M0l/231剪力图和弯矩图剪

11、力图和弯矩图例题例题7-57-53 3 画弯矩图画弯矩图画弯矩图画弯矩图集中力偶使弯矩图突变集中力偶使弯矩图突变集中力偶使弯矩图突变集中力偶使弯矩图突变集中力使弯矩图折角集中力使弯矩图折角集中力使弯矩图折角集中力使弯矩图折角BAxRARBxCPl/2M0l/2(+)(-)M0Pl/4-M0/2M32Solution:Determine the reactions of the supports Write out the internal-force equationsq0RA Plot the internal-force diagrams RBLxQ(x)xM(x)Example7-6:D

12、etermine the internal-force equations and plot the internal-force diagrams of the beam.33画剪力图和弯矩图基本步骤画剪力图和弯矩图基本步骤1 确定约束反力确定约束反力2 2 分段列剪力方程和弯矩方程（截，分段列剪力方程和弯矩方程（截，分段列剪力方程和弯矩方程（截，分段列剪力方程和弯矩方程（截，留，留，留，留，代代代代，平），平），平），平）3 3 画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图34剪力、弯矩和剪力、弯矩和载荷集度间的关系载荷集度间的关系(Relationships betw

13、een load,shear force and bending moment)(Relationships between load,shear force and bending moment)Q(x)Q(x)+dQ(x)qQq22dxMddxdMdxdQ=,35剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系qQq22dxMddxdMdxdQ=,（1）q=0 时时:Q=常数，常数，Q图图为一为一水平线水平线；M 为为 x 的一次函数，的一次函数，M图图是一条是一条斜直线斜直线。（计算（计算关键关键点连直线）点连直线）（2）q=常数时常数时：Q 为为 x 的一次函数，的一次函数，Q

14、图图是一条是一条斜直线斜直线；M 为为 x的二次函数，的二次函数，M图图是一条是一条二次曲线二次曲线。（附加中间的（附加中间的关键关键点值，用三点连点值，用三点连二次曲线二次曲线）36qQq22dxMddxdMdxdQ=,（3）若均布载荷向下若均布载荷向下：Q图曲线的斜率为负，为一向右下倾斜的直线图曲线的斜率为负，为一向右下倾斜的直线；M图图曲线的开口向下曲线的开口向下(上凸二次曲线上凸二次曲线)，具有具有极大值极大值，极值点位于极值点位于剪力剪力Q 为零的截面为零的截面。（若若q向上？向上？）（4）集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变。（突变值等于集中力突变值等于集中力）（5）集中力偶使弯矩

15、图突变集中力偶使弯矩图突变。（。（突变值等于集中力偶突变值等于集中力偶矩的值矩的值）剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系37微分关系绘制微分关系绘制 Q 图图与与 M 图图的方法：的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定根据载荷及约束力的作用位置，确定关键点关键点。应用截面法确定应用截面法确定关键点上的剪力和弯矩关键点上的剪力和弯矩数值。数值。建建立立Q一一x和和M一一x坐坐标标系系，并并在在相相应应的的坐坐标标系系中中标出标出关键点上的剪力和弯矩值关键点上的剪力和弯矩值。应应用用微微分分关关系系确确定定各各段段的的剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图的的形状，进而画出剪力图与弯矩

16、图。形状，进而画出剪力图与弯矩图。剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系38剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系BAlRARBCPab例例 7-7 利利用用微微分分关关系系画画Q图和图和M图。图。解解：1确定约束力确定约束力2确定关键点确定关键点3截截面面法法确确定定关关键键点点上上的的剪力和弯矩值剪力和弯矩值QxMx4利用微分关系连图利用微分关系连图39BA1.5m1.5m1.5mRARB1kN.m2kN例例题题7-87-8 简简支支梁梁受受力力的的大大小和方向如图示。小和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束

17、力确定约束力RA0.89 kN,RB1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定关键点确定关键点 在在集集中中力力和和集集中中力力偶偶作作用用处处的的两两侧侧截截面面以以及及支支座座反反力力内侧截面均为关键点。即内侧截面均为关键点。即A、C、D、E、F、B截面截面。E ED DC CF F剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系40(+)(-)M(kN.m)xO 3建立坐标系建立坐标系 5 5根据微分关系连图根据微分关系连图4确确定定关关键键点点上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩值值，并并将将其其标标在在 Q-x和和 M-x 坐标系中。坐标系中。0.891.111.3

18、351.67(-)(-)0.335xQ(kN)O0.89 kN=1.11 kN 6 6校核规律校核规律剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系BA1.5m1.5m1.5mRARB1kN.m2kNE ED DC CF F建立建立 Q-x 和和 M-x 坐标系坐标系 41qBAD Da a4 4a aRARB例题例题7-9 画出梁画出梁Q图和图和M图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 qa2 2确定关键点确定关键点 由由于于AB段段上上作作用用有有连连续续分分布布载载荷荷，故故A、B两两个个截截面面为为关关键键点点，约约束束力力RB右右

19、侧侧的的截截面面，以以及及集集中中力力qa左左侧的截面，也都是关键点。侧的截面，也都是关键点。C剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系42（+）（-）（+）qBAD Da a4a4aRARBqaqaC3建立坐标系建立坐标系建建立立Q-x和和M-x坐坐标系标系 OQxOMx4确定确定关键点关键点上的上的剪力值，并将其标在剪力值，并将其标在Q-x中。中。5确定关键点上的确定关键点上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M-x中。中。剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系43（-）（-）（+）（+）（-）Q例例题题7-107-10试试画画出出图图示示有有中中间间铰

20、梁的铰梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力从铰处将梁截开从铰处将梁截开qQDyQDyqaR RA AR RB BMMA AR RA AR RB Bqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMMA A剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系44剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系(+)(+)(-)45 找出下列找出下列Q、M图中的错误点图中的错误点q ABC46ABq P=qaq AB 找出找出Q图和图和M图的错误图的错误47要要 求求1 1、熟练求解各种形式静定梁的支座、熟练求解各种形式静定梁的支座反力反力;2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定力和弯矩的正负号规定;3 3、熟练计算任意截面上的剪力和弯、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值矩的数值;4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图正确绘制剪力图和弯矩图48作业作业7-1 b d7-1 b d7-2 c e f7-2 c e f49