程数学线性代数课后答案__同济第五版（精品）

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1、 89第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1); 解 根据施密特正交化方法, , , . (2). 解 根据施密特正交化方法, , , . 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1); 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2). 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x为n维列向量, xTx=1, 令H=E-2xxT, 证明H是对称的正交阵. 证明 因为 HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T =E-2(xT)TxT=E-2xxT, 所以H是对称矩阵. 因为 HTH=HH=(E-2xxT

2、)(E-2xxT) =E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT) =E-4xxT+4x(xTx)xT =E-4xxT+4xxT =E, 所以H是正交矩阵. 4. 设A与B都是n阶正交阵, 证明AB也是正交阵. 证明 因为A, B是n阶正交阵, 故A-1=AT, B-1=BT, (AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解 , 故A的特征值为l=-1(三重). 对于特征值l=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1, 1, -1)T, 向量p1就是对应于特征值l=-1的特征值向量. (2); 解

3、 , 故A的特征值为l1=0, l2=-1, l3=9. 对于特征值l1=0, 由,得方程Ax=0的基础解系p1=(-1, -1, 1)T, 向量p1是对应于特征值l1=0的特征值向量. 对于特征值l2=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1, 1, 0)T, 向量p2就是对应于特征值l2=-1的特征值向量. 对于特征值l3=9, 由,得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2, 1/2, 1)T, 向量p3就是对应于特征值l3=9的特征值向量. (3). 解 , 故A的特征值为l1=l2=-1, l3=l4=1. 对于特征值l1=l2=-1, 由,得方程(A+E)x=

4、0的基础解系p1=(1, 0, 0, -1)T, p2=(0, 1, -1, 0)T, 向量p1和p2是对应于特征值l1=l2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值l3=l4=1, 由,得方程(A-E)x=0的基础解系p3=(1, 0, 0, 1)T, p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p3和p4是对应于特征值l3=l4=1的线性无关特征值向量. 6. 设A为n阶矩阵, 证明AT与A的特征值相同. 证明 因为|AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同. 7. 设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)n, 证明

5、A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 证明 设R(A)=r, R(B)=t, 则r+tn, 故a1, a2, , an-r, b1, b2, , bn-t必线性相关. 于是有不全为0的数k1, k2, , kn-r, l1, l2, , ln-t, 使k1a1+k2a2+ +kn-ran-r+l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r=0.记 g=k1a1+k2a2+ +kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r), 则k1, k2, , kn-r不全为0, 否则l1, l2, , ln-t不全为0, 而l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r=0, 与b1, b2,

6、, bn-t线性无关相矛盾. 因此, g0, g是A的也是B的关于l=0的特征向量, 所以A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值只能取1或2. 证明 设l是A的任意一个特征值, x是A的对应于l的特征向量, 则 (A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因为x0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是说l=1或l=2. 9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明l=-1是A的特征值. 证明 因为A为正交矩阵, 所以A的特征值为-1或1. 因为|A|等于所有特征值之积, 又|A|

7、=-1, 所以必有奇数个特征值为-1, 即l=-1是A的特征值. 10. 设l0是m阶矩阵AmnBnm的特征值, 证明l也是n阶矩阵BA的特征值. 证明 设x是AB的对应于l0的特征向量, 则有 (AB)x=lx, 于是 B(AB)x=B(lx), 或 BA(B x)=l(Bx), 从而l是BA的特征值, 且Bx是BA的对应于l的特征向量. 11. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3, 求|A3-5A2+7A|. 解 令j(l)=l3-5l2+7l, 则j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值, 故 |A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)j(2)j(3)=32

8、3=18. 12. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求|A*+3A+2E|. 解 因为|A|=12(-3)=-60, 所以A可逆, 故 A*=|A|A-1=-6A-1, A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E. 令j(l)=-6l-1+3l2+2, 则j(1)=-1, j(2)=5, j(-3)=-5是j(A)的特征值, 故 |A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)| =j(1)j(2)j(-3)=-15(-5)=25. 13. 设A、B都是n阶矩阵, 且A可逆, 证明AB与BA相似. 证明 取P=A, 则P-1ABP=A-1ABA=BA,即AB与BA相似.

9、14. 设矩阵可相似对角化, 求x. 解 由,得A的特征值为l1=6, l2=l3=1. 因为A可相似对角化, 所以对于l2=l3=1, 齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解, 因此R(A-E)=1. 由知当x=3时R(A-E)=1, 即x=3为所求. 15. 已知p=(1, 1, -1)T是矩阵的一个特征向量. (1)求参数a, b及特征向量p所对应的特征值; 解 设l是特征向量p所对应的特征值, 则 (A-lE)p=0, 即, 解之得l=-1, a=-3, b=0. (2)问A能不能相似对角化？并说明理由. 解 由,得A的特征值为l1=l2=l3=1. 由知R(A-E)=2,

10、所以齐次线性方程组(A-E)x=0的基础解系只有一个解向量. 因此A不能相似对角化. 16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: (1); 解 将所给矩阵记为A. 由=(1-l)(l-4)(l+2),得矩阵A的特征值为l1=-2, l2=1, l3=4. 对于l1=-2, 解方程(A+2E)x=0, 即,得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得. 对于l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即, 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得. 对于l3=4, 解方程(A-4E)x=0, 即,得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得. 于是有正交阵P=(p1, p2

11、, p3), 使P-1AP=diag(-2, 1, 4). (2). 解 将所给矩阵记为A. 由=-(l-1)2(l-10),得矩阵A的特征值为l1=l2=1, l3=10. 对于l1=l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即,得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得 , . 对于l3=10, 解方程(A-10E)x=0, 即,得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得. 于是有正交阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(1, 1, 10). 17. 设矩阵与相似, 求x, y; 并求一个正交阵P, 使P-1AP=L.

12、解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然l=5, l=-4, l=y是L的特征值, 故它们也是A的特征值. 因为l=-4是A的特征值, 所以,解之得x=4. 已知相似矩阵的行列式相同, 因为, ,所以-20y=-100, y=5. 对于l=5, 解方程(A-5E)x=0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T, (1, -2, 0)T. 将它们正交化、单位化得, . 对于l=-4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)T, 单位化得. 于是有正交矩阵, 使P-1AP=L. 18. 设3阶方阵A的特征值为l1=2, l2=-2, l3=1; 对应的特征向量依次为p1=

13、(0, 1, 1)T, p2=(1, 1, 1)T, p3=(1, 1, 0)T, 求A. 解 令P=(p1, p2, p3), 则P-1AP=diag(2, -2, 1)=L, A=PLP-1. 因为,所以 . 19. 设3阶对称阵A的特征值为l1=1, l2=-1, l3=0; 对应l1、l2的特征向量依次为p1=(1, 2, 2)T, p2=(2, 1, -2)T, 求A. 解 设, 则Ap1=2p1, Ap2=-2p2, 即, -. -再由特征值的性质, 有x1+x4+x6=l1+l2+l3=0. -由解得 , , , , .令x6=0, 得, x2=0, , , . 因此 . 20.

14、 设3阶对称矩阵A的特征值l1=6, l2=3, l3=3, 与特征值l1=6对应的特征向量为p1=(1, 1, 1)T, 求A. 解 设. 因为l1=6对应的特征向量为p1=(1, 1, 1)T, 所以有, 即 -. l2=l3=3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A-3E)=1. 利用可推出. 因为R(A-3E)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4.因此 . 21. 设a=(a1, a2, , an)T , a10, A=aaT. (1)证明l=0是A的n-1重特征值; 证明 设l是A的任意一个特征值,

15、 x是A的对应于l的特征向量, 则有 Ax=lx, l2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=laTax, 于是可得l2=laTa, 从而l=0或l=aTa. 设l1, l2, , ln是A的所有特征值, 因为A=aaT的主对角线性上的元素为a12, a22, , an2, 所以a12+a22+ +an2=aTa=l1+l2+ +ln,这说明在l1, l2, , ln中有且只有一个等于aTa, 而其余n-1个全为0, 即l=0是A的n-1重特征值. (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量. 解 设l1=aTa, l2= =ln=0. 因为Aa=aaTa=(aTa)a=l1a, 所以p

16、1=a是对应于l1=aTa的特征向量. 对于l2= =ln=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因为a0, 所以aTx=0, 即a1x1+a2x2+ +anxn=0, 其线性无关解为p2=(-a2, a1, 0, , 0)T,p3=(-a3, 0, a1, , 0)T, ,pn=(-an, 0, 0, , a1)T.因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为. 22. 设, 求A100. 解 由 , 得A的特征值为l1=1, l2=5, l3=-5. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(

17、2, 1, 2)T. 对于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1, -2, 1)T. 令P=(p1, p2, p3), 则 P-1AP=diag(1, 5, -5)=L, A=PLP-1, A100=PL100P-1. 因为 L100=diag(1, 5100, 5100), , 所以 . 23. 在某国, 每年有比例为p的农村居民移居城镇, 有比例为q的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1). (1)求关系式中的矩阵A; 解 由题意知 xn+1=xn+qyn

18、-pxn=(1-p)xn+qyn, yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn,可用矩阵表示为 , 因此 . (2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即, 求. 解 由可知. 由,得A的特征值为l1=1, l2=r, 其中r=1-p-q. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(q, p)T. 对于l1=r, 解方程(A-rE)x=0, 得特征向量p2=(-1, 1)T. 令, 则 P-1AP=diag(1, r)=L, A=PLP-1, An=PLnP-1. 于是 , . 24. (1)设, 求j(A)=A10-5A9; 解 由,得A的特征值为l1=1, l2

19、=5. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得单位特征向量. 对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得单位特征向量. 于是有正交矩阵, 使得P-1AP=diag(1, 5)=L,从而A=PLP-1, Ak=PLkP-1. 因此 j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-5L9)P-1 =Pdiag(1, 510)-5diag(1, 59)P-1 =Pdiag(-4, 0)P-1 . (2)设, 求j(A)=A10-6A9+5A8. 解 求得正交矩阵为,使得P-1AP=diag(-1, 1, 5)=L, A=PLP-1. 于是 j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-6L9+5L8)P

20、-1 =PL8(L-E)(L-5E)P-1 =Pdiag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P-1 =Pdiag(12, 0, 0)P-1 . 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz; 解 . (2) f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz; 解 . (3) f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4. 解 . 26. 写出下列二次型的矩阵: (1); 解 二次型的矩阵为. (2). 解 二次型的矩阵为. 27. 求一个正交变换将下列二次型化

21、成标准形: (1) f=2x12+3x22+3x33+4x2x3; 解 二次型的矩阵为. 由,得A的特征值为l1=2, l2=5, l3=1. 当l1=2时, 解方程(A-2E)x=0, 由,得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T. 当l2=5时, 解方程(A-5E)x=0, 由,得特征向量(0, 1, 1)T. 取. 当l3=1时, 解方程(A-E)x=0, 由,得特征向量(0, -1, 1)T. 取. 于是有正交矩阵T=(p1, p2, p3)和正交变换x=Ty, 使f=2y12+5y22+y32. (2) f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4

22、-2x2x3+2x3x4. 解 二次型矩阵为. 由,得A的特征值为l1=-1, l2=3, l3=l4=1. 当l1=-1时, 可得单位特征向量. 当l2=3时, 可得单位特征向量. 当l3=l4=1时, 可得线性无关的单位特征向量, . 于是有正交矩阵T=( p1, p2, p3, p4)和正交变换x=Ty, 使f=-y12+3y22+y32+y42. 28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1化成标准方程. 解 二次型的矩阵为. 由, 得A的特征值为l1=2, l2=11, l3=0, . 对于l1=2, 解方程(A-2E)x=0, 得特征向

23、量(4, -1, 1)T, 单位化得. 对于l2=11, 解方程(A-11E)x=0, 得特征向量(1, 2, -2)T, 单位化得. 对于l3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 单位化得. 于是有正交矩阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(2, 11, 0), 从而有正交变换, 使原二次方程变为标准方程2u2+11v2=1. 29. 明: 二次型f=xTAx在|x|=1时的最大值为矩阵A的最大特征值. 证明 A为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T, 使得TAT-1=diag(l1, l2, , ln)=L成立, 其中l1, l2, , ln为A的特征值

24、, 不妨设l1最大. 作正交变换y=Tx, 即x=TTy, 注意到T-1=TT, 有 f=xTAx=yTTATTy=yTLy=l1y12+l2y22+ +lnyn2. 因为y=Tx正交变换, 所以当|x|=1时, 有|y|=|x|=1, 即y12+y22+ +yn2=1.因此f =l1y12+l2y22+ +lnyn2l1,又当y1=1, y2=y3= =yn=0时f =l1, 所以f max =l1. 30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12

25、+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3 =(x1+x2-2x3)2+4x2x3+2x22+x32 =(x1+x2-2x3)2-2x22+(2x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化为规范形f=y12-y22+y32,所用的变换矩阵为. (2) f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3; =(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化为规范形f=y12-y22+y32,所用的变换矩阵为. (3) f(x1, x2, x3)=

26、2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. 解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. . 令 , 即, 二次型化为规范形f=y12+y22+y32,所用的变换矩阵为. 31. 设f=x12+x22+5x32+2ax1x2-2x1x3+4x2x3为正定二次型, 求a. 解 二次型的矩阵为, 其主子式为 a11=1, , . 因为f为正主二次型, 所以必有1-a20且-a(5a+4)0, 解之得. 32. 判别下列二次型的正定性: (1) f=-2x12-6x22-4x32+2x1x2+2x1x3; 解 二次型的矩阵为. 因为, , ,所以f为负定. (2) f=x12+3x22+9x32+19x42-2x1x2+4x1x3+2x1x4-6x2x4-12x3x4. 解 二次型的矩阵为. 因为, , , ,所以f为正定. 33. 证明对称阵A为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩阵U, 使A=U TU, 即A与单位阵E合同. 证明 因为对称阵A为正定的, 所以存在正交矩阵P使PTAP=diag(l1, l2, , ln)=L, 即A=PLPT,其中l1, l2, , ln均为正数. 令, 则L=L1L1, A=PL1L1TPT. 再令U=L1TPT, 则U可逆, 且A=UTU.