高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)

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1、一正弦、余弦、正切函数图象和性质函数正弦函数余弦函数正切函数有界性 有界 有界 无界定义域值域当时,当时，当时，当时, 周期性是周期函数，最小正周期是周期函数,最小正周期 奇偶性奇函数,图象有关原点对称偶函数,图象有关轴对称奇函数，图象有关原点对称单调性在上是单调增函数在上是单调减函数在上是单调增函数 在上是单调减函数在上是单调增函数对称轴对称中心 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 (1）基本函数的奇偶性 奇函数：=six,ytanx； 偶函数：ycosx. （2）型三角函数的奇偶性(）g（x) （） g(x）为偶函数 由此得 ; 同理,

2、为奇函数 . （） 为偶函数； 为奇函数 . 、周期性（1）基本公式（)基本三角函数的周期in,y=cosx的周期为 ；ytanx，=otx的周期为 . （)型三角函数的周期 的周期为 ； 的周期为 .(2)认知 （) 型函数的周期 的周期为 ; 的周期为 . ()的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相似，即对y= 的解析式施加绝对值后,该函数的周期不变.注意这一点与（)的区别.（)若函数为 型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法” （）探求其他“杂”三角函数的周期,基本方略是实验猜想证明.（3）特殊情形研究 （)y=tanx-cox的最小正周期为 ； (） 的最

3、小正周期为 ； ()ysin4xos4x的最小正周期为. 由此领悟“最小公倍数法”的合用类型，以防施错对象.4、单调性（1)基本三角函数的单调区间(族) 依从三角函数图象识证“三部曲”：选周期:在原点附近选用那个涉及所有锐角,单调区间完整，并且最佳有关原点对称的一种周期； 写特解：在所选周期内写出函数的增区间(或减区间)； 获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数的增区间族(或减区间族） 循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示:上述“三部曲”也适合于谋求简朴三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. (2）= 型三角函数的单调区间此类三角

4、函数单调区间的谋求“三部曲”为 换元、分解：令= ，将所给函数分解为内、外两层：y=f（u)，u= ; 套用公式：根据对复合函数单调性的认知，拟定出f(u）的单调性,而后运用（1)中公式写出有关u的不等式； 还原、结论：将u=代入中u的不等式，解出的取值范畴,并用集合或区间形成结论. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、0)定义域RRR值域R周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数(）;上为增函数上为减函数（）上为增函数（)上为减函数（)上为增函数;上为减函数() 注意:与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反一般地，若在上递增(减),则在

5、上递减(增）.与的周期是.或（)的周期的周期为2（，如图，翻折无效）. 的对称轴方程是（）,对称中心()；的对称轴方程是（),对称中心(）;的对称中心（）.当;与是同一函数,而是偶函数,则.函数在上为增函数.() 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,为增函数，同样也是错误的.定义域有关原点对称是具有奇偶性的必要不充足条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域有关原点对称（奇偶都要）,二是满足奇偶性条件,偶函数:，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数,是非奇非偶.（定义域不有关原点对称）奇函数特有性质:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)不是周期函数；为周期函数（)

6、;是周期函数(如图）;为周期函数（)；的周期为（如图)，并非所有周期函数均有最小正周期，例如: . 有. 二、形如的函数:1、几种物理量:振幅;频率(周期的倒数）;相位;初相;2、函数体现式的拟定：A由最值拟定;由周期拟定；由图象上的特殊点拟定，如,的图象如图所示，则=_（答:); 函数最大值是,最小值是，周期是，最小正周期频率是，相位是,初相是；其图象的对称轴是直线，但凡该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4、研究函数性质的措施:类比于研究的性质,只需将中的当作中的,但在求的单调区间时,要特别注意A和的符号,通过诱导公式先将化正。如(1）函数的递减区间是_(答：)；(2)的递减区间是_(

7、答：）；5、函数图象的画法:(1）运用“五点法”作函数(其中)的简图，是将看着一种整体,先令列表求出相应的的值与的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一种周期内的图象。图象变换法:这是作函数简图常用措施=由图象推的图象6.函数的图象与图象间的关系:图象变换(1)振幅变换 (2)周期变换 (3）相位变换 ()上下平移(纵向平移变换): 是由的变化引起的k, 上移；，下移 具体变换措施：三角函数图象的平移和伸缩函数的图象与函数的图象之间可以通过变化来互相转化影响图象的形状,影响图象与轴交点的位置由引起的变换称振幅变换,由引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换,由引起的变换称

8、上下平移变换，它们都是平移变换.既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移（一)先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得图象（二)先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得 图象无论哪种变形，请牢记每一种变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位,例如:函数的图象通过如何的变换才干得到的图象？(答：向上平移个单位得的图象,再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到本来的倍得的图象，最后将纵坐标缩小到本来的即得的图象）;三、正切函数的图象和性质:(1)定义域:。（2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;(3)周期性:是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一种周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其他不定。 如的周期都是, 但的周期为,而,的周期不变;(4）奇偶性与对称性:是奇函数，对称中心是，特别提示：正（余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与轴的交点,另一类是渐近线与轴的交点,但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。(5)单调性:正切函数在开区间内都是增函数。但要注旨在整个定义域上不具有单调性。