约束优化算法：拉格朗日乘子法

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1、拉格朗日乘子法约束优化问题的原则形式为:约束优化算法的基本思想是：通过引入效用函数的措施将约束优化问题转换为无约束问题,再运用优化迭代过程不断地更新效用函数,以使得算法收敛。1. 罚函数法罚函数法(内点法)的主思想是：在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”,当迭代点接近边界时,目的函数陡然增大,以示惩罚，制止迭代点穿越边界,这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。它只合用于不等式约束:它的可行域为：对上述约束问题,其其可行域的内点可行集的状况下，引入效用函数:、其中或算法的具体环节如下：给定控制误差，惩罚因子的缩小系数。环节1：令,选定初始点，给定（一般取1)。环节2：觉得初始点,求解无约束其

2、中或,得最优解 环节3：若,则为其近似最优解，停；否则,令,转环节2.2. 拉格朗日乘子法（)算法：(约数为等式的状况引入）效用函数为判断函数为当时迭代停止。环节1：选定初始点，初始拉格朗日乘子向量,初始罚因子及其放大系数，控制误差与常数,令。环节2:觉得初始点，求解无约束问题：得到无约束问题最优解环节：当时,为所求的最优解,停；否则转环节.环节：当时，转环节；否则令，转环节5.环节:令,转环节1。（2） 算法(一般约束形式的松弛变量法和指数形式法)松弛变量法:乘子的修正公式为:判断函数为:当时迭代停止。3. 乘子法MATLB程序及其作用.1 函数311程序(1):乘子法效用函数程序 函数功能

3、:将约束优化问题,根据效用函数措施,将其转变成无约束问题。tionA_obj()拉格朗日增广函数N_eq 等式约束个数%N_inequ 不等式约束个数global _a pena _qu nqu;%全局变量hqu=0;h_iq0;h,g=costn（x);等式约束部分for=：_eq h_eu=heu+h(i)*r（i）+（ena/2)*h(i）.;en%不等式约束部分fr i:N_inqu h_iq=h_inequ+（.5pea)*(max（,(_al（)+pena*(i)）).2_al().2)；en%拉格朗日增广函数值f=bj(x)+h_equ+h_ineq;3.1.2 程序（2)：判断

4、函数函数功能:判断与否符合约束条件% cmpar fuctin isthe top condtionucion f=opre(x)lobl r_a pea N_euN_inequ;equ=;h_inequ=;h,gosrains(x）;%等式部分or 1:N_equ h_equ=h_equh().;end%不等式部分o 1:N_ieq _ineq=h_neu+(ma(-g（i)，rl（i+Nequ）/na）2；endfsr（h_equ+h_iequ）；3.1.3 程序（3）AL算法主程序函数功能:对无约束的效用函数运用拟牛顿算法求解其最优解,更新乘子。funcon X，FVAAL_in(x_a

5、l,_l,N_equ,N_e)%本程序为拉格朗日乘子算法示例算法%函数输入:% x_al:初始迭代点% ral:初始拉格朗日乘子% N-qu:等式约束个数% Niequ:不等式约束个数%函数输出% X：最优函数点% FVAL：最优函数值=程序开始=gobalr_l ena N_equ N_iq; %参数（全局变量)pen=1; %惩罚系数cscale=2； %乘法系数乘数cta=0.5; %下降原则系数eal=0.00; %误差控制范畴max_itr=25;out_tera=1; %迭代次数%=算法迭代开始=whie otiteram_itera xal0_a; _l0=r_al; %判断函数

6、 omareFlgcompre(_l0); %无约束的拟牛顿法FS X,FVAL=fminunc（AL_b，x_al); x=X; %得到新迭代点 判断停止条件 if comare(x_al)ea d（w gt the pt pon)； rak end 判断函数下降度 if compare(al)cta*cpareFag pen=pena； %可以根据需要修改惩罚系数变量 ele pea=min(1000,c_scl*pena); %乘法系数最大100 dsp(pena=2*pea）； ed % 更新拉格朗日乘子 ,g=consains(x_a)； for i=:equ %等式约束部分 _al

7、(i)=a()+en*(i); n fr i=1:N_neu %不等式约束部分 r_(i+_equ)=max(0,(r_al(+N_qu）+pena*g(i）); end ot_itr=out_iter1;nd%+迭代结束+isp(！!！!！!！!！!te terion oer!！!！!！!！!！!);is( alu f th b function)；obj(al)disp(tevalue ofcntrans)；pre(x_al)dis(th o int); =; FVL=obj(X)；3.1.4 乘子法函数使用措施（1） 定义目的函数及约束条件目的函数文献约束函数文献（2） 函数调用x_al=1,1,1; 初始迭代点r_l，1; %初始拉格朗日乘子_eu1; %等式约束个数 一种_ine1; %不等式约束个数 一种X,FALALmin(_a,ral,_equ,_inqu)计算成果：we get h opt pont！!！!！!！!the eration oe!！!！!！!！!thele of te bj uonans -3.98e+03he valueo cnstraisans = 0te opt pintX = 1.0e+05 3.7723 33985 3.773FVA -.9871+031