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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I卷（选择题 共60分）一选择题1复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义由几何意义可知复数在第三象限2设点，则“且”是“点在直线上”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定因为点代入直线方程，符合方程，即“且”可推出“点在直线上”；而点在直线上，不一定就是点，即“点在直线上”推不出“且”故“且”是“点在直线上”的充分而不必要
2、条件3若集合，则的子集个数为（ ）A2 B3 C4 D16【答案】C【解析】本题考查的是集合的交集和子集因为，有2个元素，所以子集个数为个4双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A B C1 D【答案】B【解析】本题考查的是双曲线的性质因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为，取一条渐近线为，所以点到直线的距离为5函数的图象大致是（ ） A B C D【答案】A【解析】本题考查的是对数函数的图象由函数解析式可知，即函数为偶函数，排除C；由函数过点，排除B,D6若变量满足约束条件，则的最大值和最小值分别为（ ）A4和3 B4和2 C3和2 D2和0【答案】B【解析】
3、本题考查的简单线性规划如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和27若，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】本题考查的是均值不等式因为，即，所以，当且仅当，即时取等号8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数后，输出的，那么的值为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】本题考查的是程序框图循环前：；第1次判断后循环：；第2次判断后循环：；第3次判断后循环：故9将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（ ）A B C D【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移把代入，解得，所以，把代入得，或，观察选项，故选B1
4、0在四边形中，则该四边形的面积为（ ）A B C5 D10【答案】C【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长因为，所以，所以四边形的面积为，故选C11已知与之间的几组数据如下表：123456021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）A B C D【答案】C【解析】本题考查的是线性回归方程画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断故选C12设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A B是的极小值点C是的极小值点 D是的极小值点【答案】D【解析】本题考查的是函数
5、的极值函数的极值不是最值，A错误；因为和关于原点对称，故是的极小值点，D正确二填空题13已知函数，则 【答案】【解析】本题考查的是分段函数求值14利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为 【答案】【解析】本题考查的是几何概型求概率，即，所以15椭圆的左、右焦点分别为，焦距为若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 【答案】【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率由题意可知，中，所以有，整理得，故答案为16设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；（i）；（ii）对任意，当时，恒有那么称这两个集合“保序同构”现给出以下3对集合：；其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出
6、所有“保序同构”的集合对的序号）【答案】【解析】本题考查的函数的性质由题意可知为函数的一个定义域，为其所对应的值域，且函数为单调递增函数对于集合对，可取函数，是“保序同构”；对于集合对，可取函数，是“保序同构”；对于集合对，可取函数，是“保序同构”故答案为三解答题17（本小题满分12分）已知等差数列的公差，前项和为（1）若成等比数列，求；（2）若，求的取值范围本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想满分12分解：（1）因为数列的公差，且成等比数列， 所以，即，解得或 （2）因为数列的公差，且， 所以； 即，解得18（本小题满分
7、12分）如图，在四棱锥中，（1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若为的中点，求证：；（3）求三棱锥的体积本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，满分12分解法一：（）在梯形中，过点作，垂足为，由已知得，四边形为矩形，在中，由，,依勾股定理得：，从而又由平面得，从而在中，由，,得正视图如右图所示：（）取中点，连结，在中，是中点，又,，四边形为平行四边形，又平面，平面平面（）又，所以解法二：（）同解法一（）取的中点，连结,
8、在梯形中，且四边形为平行四边形，又平面，平面平面，又在中，平面,平面平面.又,平面平面，又平面平面（）同解法一19（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率（2）规定日平均生
9、产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附表：本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，满分12分解：（）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），记为，；周岁以下组工人有（人），记为，从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，.故所求的概率：（）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中
10、，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：生产能手非生产能手合计周岁以上组周岁以下组合计所以得：因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”20（本小题满分12分）如图，在抛物线的焦点为，准线与轴的交点为点在抛物线上，以为圆心为半径作圆，设圆与准线的交于不同的两点（1）若点的纵坐标为2，求；（2）若，求圆的半径本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想满分12分解：（）抛物线的准线的方程为，由点的纵坐标为，得点的坐标为所以
11、点到准线的距离，又所以.（）设，则圆的方程为，即.由，得设，则：由，得所以，解得，此时所以圆心的坐标为或从而，即圆的半径为21（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形中，点在线段上（1）若，求的长；（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小 值本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想满分12分解：（）在中，由余弦定理得，得，解得或（）设，在中，由正弦定理，得，所以，同理故因为，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值即2时，的面积的
12、最小值为22（本小题满分14分）已知函数（，为自然对数的底数）（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）求函数的极值；（3）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想满分14分解：（）由，得又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得（），当时，为上的增函数，所以函数无极值当时，令，得，；，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值综上，当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（）当时，令，则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解假设，此时，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故又时，知方程在上没有实数解所以的最大值为解法二：（）（）同解法一（）当时，直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解当时，方程（*）可化为，在上没有实数解当时，方程（*）化为令，则有令，得，当变化时，的变化情况如下表：当时，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是综上，得的最大值为
【数学】2013年高考真题福建卷（文）解析版1
