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1、正弦型函数yAsin(x)的图象及应用【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数yAsin(x)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题基础梳理1用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示xx02yAsin(x)0A0A02函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)的图象的步骤3当函数yAsin(x)(A0，0，x0，)表示一个振动时，A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相4图象的对称性函数yAsin(x)(A0，0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数yAsin(x)的图象关于直线xxk(
2、其中 xkk，kZ)成轴对称图形(2)函数yAsin(x)的图象关于点(xk,0)(其中xkk，kZ)成中心对称图形一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，由周期T确定，即由T求出，由特殊点确定一个区别由ysin x的图象变换到yAsin (x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值 两个注意作正弦型函数yAsin(x)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周
3、期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象双基自测1(人教A版教材习题改编)y2sin 的振幅、频率和初相分别为()A2， B2，C2， D2，答案A2.已知简谐运动f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6， BT6，CT6， DT6，解析由题图象知T2(41)6，由图象过点(1,2)且A2，可得sin1，又|，得.答案C3函数ycos x(xR)的图象向左平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，则g(x)的解析式应为()Asin x Bsin x Ccos x Dcos x解析由图象的平移得g(
4、x)cossin x.答案A4设0，函数ysin2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是()A. B. C. D3解析ysin2向右平移个单位后得到y1sin2sin2，又y与y1的图象重合，则2k(kZ)k.又0，kZ，当k1时，取最小值为，故选C.答案C5(2011重庆六校联考)已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示，则_.解析由题意设函数周期为T，则，故T.答案考向一作函数yAsin(x)的图象【例1】设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象审题视点 (1)由已知条件可求，；(2)采用“五点法”
5、作图，应注意定义域0，解(1)周期T，2，fcoscossin ，0，.(2)由(1)知f(x)cos，列表如下：2x0x0f(x)1010图象如图： (1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x来确定平移单位【训练1】 已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图(2)先把ysin x的图象
6、向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象考向二求函数yAsin(x)的解析式【例2】(2011江苏)函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_审题视点 由最高、最低点确定A，由周期确定，然后由图象过的特殊点确定.解析由图可知：A，所以T2k，2k，令k0，2，又函数图象经过点，所以2，则，故函数的解析式为f(x)sin，所以f(0)sin.答案 解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定值【训练2】 已知函
7、数yAsin(x)(A0，|，0)的图象的一部分如图所示(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程解(1)观察图象可知：A2且点(0,1)在图象上，12sin(0)，即sin .|，.又是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，2，2.f(x)2sin.(2)设2xB，则函数y2sin B的对称轴方程为Bk，kZ，即2xk(kZ)，解上式得x(kZ)，f(x)2sin的对称轴方程为x(kZ)考向三函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用【例3】(2012西安模拟)已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0,0)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且
8、图象上的一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x时，求f(x)的值域审题视点 先由图象上的一个最低点确定A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定的值，最后由点M在图象上求得的值，进而得到函数的解析式；先由x的范围，求得2x的范围，再求得f(x)的值域解(1)由最低点为M，得A2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得，即T，所以2.由点M在图象上，得2sin2，即sin1.故2k，kZ，所以2k(kZ)又，所以.故f(x)的解析式为f(x)2sin.(2)因为x，所以2x.当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取得最小值1.故函数f(x)的值域为1,2 利用三
9、角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周期，去求解参数的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等在求函数值域时，由定义域转化成x的范围，即把x看作一个整体【训练3】 (2011南京模拟)已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间解(1)依题意得：A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又图象过点P，5sin0，由已知可得0，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得：kxk，kZ，故函数f(x)的递增区间为：(kZ)规范解答8怎样求解三角函数的最值问题【问题研究
10、】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误(2)主要题型：求已知三角函数的值域(或最值)；根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题【解决方案】 形如yasin xbcos xc的三角函数，可通过引入辅助角，将原式化为ysin(x)c的形式后，再求值域(或最值)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设tsin x，将原式化为二次函数yat2btc的形式，进而在t1,1上求值域(或最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x
11、，将原式化为二次函数ya(t21)btc的形式，进而在闭区间t，上求最值【示例】(本题满分12分)(2011北京)已知函数f(x)4cos xsin 1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值 首先化为形如yAsin(x)的形式，由T求得：由x，求得x的范围，从而求得最值解答示范 (1)因为f(x)4cos xsin14cos x1sin 2x2cos2x1 sin 2xcos 2x2sin，(4分)所以f(x)的最小正周期为.(6分)(2)因为x，所以2x.(8分)于是，当2x，即x时，f(x)取得最大值2；(10分)当2x，即x时，f(x)取得最小值1.(12分) 解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决【试一试】 是否存在实数a，使得函数ysin2xacos xa在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由尝试解答y2a，当0x时，0cos x1，令tcos x，则0t1，y2a，0t1.当01，即0a2时，则当t，即cos x时ymaxa1，解得a或a4(舍去)当0，即a0时，则当t0，即cos x0时，ymaxa1，解得a(舍去)当1，即a2时，则当t1，即cos x1时，ymaxaa1，解得a(舍去)综上知，存在a符合题意10
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教案-理
