小学数学概念教学

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1、小学数学概念教学陈官屯小学 韩美霞一、什么是数学概念数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式。在数学中,客观事物的颜色、材料、气味等方面的属性都被看作非本质属性而被舍弃,只保存它们在形状、大小、位置及数量关系等方面的共同属性。在数学科学中,数学概念的含义都要给出精确的规定，因而数学概念比一般概念更精确。小学数学中有诸多概念，涉及:数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念,以及记录初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基本知识的重要内容,它们是互相联系着的。如只有明确牢固地掌握数

2、的概念,才干理解运算概念，而运算概念的掌握，又能增进数的整除性概念的形成。二、小学数学概念的体现形式在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，体现形式各不相似，其中描述式和定义式是最重要的两种表达方式。1定义式定义式是用简要而完整的语言揭示概念的内涵或外延的措施，具体的做法是用原有的概念阐明要定义的新概念。这些定义式的概念抓住了一类事物的本质特性，揭示的是一类事物的本质属性。这样的概念,是在对大量的探究材料的分析、综合、比较、分类中,使之从直观到表象、继而上升为理性的结识。如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”;“具有未知数的等式叫方程”等等。这样定义的概念,条件和结论十分明显，便于学生一

3、下子抓住数学概念的本质。2描述式用某些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种措施与定义式不同,描述式概念,一般借助于学生通过感知所建立的表象,选用有代表性的特例做参照物而建立。如：“我们在数物体的时候，用来表达物体个数的1、2、4、5叫自然数”;“象125、.26、0.05等都是小数”等。这样的概念将随着小朋友知识的增多和结识的深化而日趋完善,在小学数学教材中一般用于如下两种状况。一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以阐明。例如，“直线”这一概念,教材是这样描述的：拿一条直线，把它拉紧,就成了一条直线。“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来阐明。另一种是对于

4、某些较难理解的概念,如果用简洁、概括的定义浮现不易被小学生理解，就改用描述式。例如,对直圆柱和直圆锥的结识,由于小学生还缺少运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来定义,因此只能通过实物形象地描述了它们的特性，并没有以定义的形式揭示它们的本质属性。学生在观测、摆拼中，结识到圆柱体的特性是上下两个底面是相等的圆，侧面展开的形状是长方形。一般来说，在数学教材中,小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学生思维能力的逐渐发展，中年级逐渐采用定义式,但是有些定义只是初步的，是有待发展的。在整个小学阶段,由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾,大部分概念没有下严格的定义；而是从学生所理解的实际事例或已

5、有的知识经验出发，尽量通过直观的具体形象,协助学生结识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐渐渗入的措施来解决。因此，小学数学概念呈现出两大特点：一是数学概念的直观性；二是数学概念的阶段性。在进行数学概念教学时,我们必须注意充足领略教材的这两个特点。 三、小学数学概念教学的意义一方面，数学概念是数学基本知识的重要构成部分。小学数学的基本知识涉及:概念、定律、性质、法则、公式等,其中数学概念不仅是数学基本知识的重要构成部分,并且是学习其她数学知识的基本。学生掌握基本知识的过程,事实上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的法则都是建立在一系列概念的基本上的

6、。事实证明，如果学生有了对的、清晰、完整的数学概念,就有助于掌握基本知识，提高运算和解题技能。相反,如果一种学生概念不清，就无法掌握定律、法则和公式。例如，整数百以内的笔算加法法则为:“相似数位对齐,从个位加起，个位满十，就向十位进一。”要使学生理解掌握这个法则，必须事先使她们弄清“数位”、“个位”、“十位”、“个位满十”等的意义,如果对这些概念理解不清,就无法学习这一法则。又如，圆的面积公式S=r2,要以“圆”、“半径”、“平方”、“圆周率”等概念为基本。总之小学数学中的某些概念对于此后的学习而言,都是某些基本的、基本的知识。小学数学是一门概念性很强的学科,也就是说，任何一部分内容的教学，都

7、离不开概念教学。另一方面，数学概念是发展思维、培养数学能力的基本。概念是思维形式之一，也是判断和推理的起点,因此概念教学对培养学生的思维能力能起重要作用。没有对的的概念，就不也许有对的的判断和推理，更谈不上逻辑思维能力的培养。例如，“具有未知数的等式叫做方程”，这是一种判断。在这个判断中，学生必须对“未知数”、“等式”这几种概念十分清晰，才干形成这个判断,并以此来推断出下面的道题目,哪些是方程。(1)5+23=79(2)23x=6 (3)x5.()4428 （)75x4 （6)9+x=123在概念教学过程中,为了使学生顺利地获取有关概念，常常要提供丰富的感性材料让学生观测，在观测的基本上通过教

8、师的启发引导,对感性材料进行比较、分析、综合，最后再抽象概括出概念的本质属性。通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运用。从而使学生的初步逻辑思维能力逐渐得到提高。三、数学概念教学的一般规定1.使学生精确理解概念理解概念,一要能举出概念所反映的现实原型，二要明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的一类事物的共同本质属性,和概念所反映的全体对象,三要掌握表达概念的词语或符号。2使学生牢固掌握概念掌握概念是指要在理解概念的基本上记住概念，对的辨别概念的肯定例证和否认例证。能对概念进行分类,形成一定的概念系统。3使学生能对的运用概念概念的运用重要表目前学生能在不同的具体状况下,辨认出概念的本质属性,

9、运用概念的有关属性进行判断推理。四、小学数学概念教学的过程与措施根据数学概念学习的心理过程及特性，数学概念的教学一般也分为三个阶段：引入概念,使学生感知概念,形成表象；通过度析、抽象和概括,使学生理解和明确概念；通过例题、习题使学生巩固和应用概念。（一)数学概念的引入数学概念的引入,是数学概念教学的第一种环节,也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地环绕课题,充足地激发起学生的爱好和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相似,有的是现实模型的直接反映;有的是在已有概念的基本上通过一次或多次抽象后得到的;

10、有的是从数学理论发展的需要中产生的;有的是为解决实际问题的需要而产生的；有的是将思维对象抱负化，通过推理而得；有的则是从理论上的存在性或从数学对象的构造中构造产生的。因此,教学中必须根据多种概念的产生背景，结合学生的具体状况,合适地选用不同的方式去引入概念。一般来说，数学概念的引入可以采用如下几种措施。1、以感性材料为基本引入新概念。用学生在平常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观测、分析、比较、归纳和概括去获取概念。例如,要学习“平行线”的概念,可以让学生辨认某些熟悉的实例,像铁轨、门框的上下两条边、黑板的上下边沿等,然后分化出各例的属性，

11、从中找出共同的本质属性。铁轨有属性：是铁制的、可以当作是两条直线、在同一种平面内、两条边可以无限延长、永不相交等。同样可分析出门框和黑板上下边的属性。通过比较可以发现，它们的共同属性是：可以抽象地当作两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离到处相等;两条直线没有公共点等,最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。以感性材料为基本引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的,因此教学中应选择那些能充足显示被引入概念的特性性质的事例,对的引导学生去进行观测和分析,这样才干使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性,形成概念。2、以新、旧概念之间的关系引入新概念。如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系

12、、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充足地运用这种关系去进行。例如，学习“乘法意义”时，可以从“加法意义”来引入。又如，学习“整除”概念时，可以从“除法”中的“除尽”来引入。又如，学习“质因数”可以从“因数”和“质数”这两个概念引入。再如，在学习质数、合数概念时，可用约数概念引入：“请同窗们写出数1，2,，7,8,1,1,15的所有约数。它们各有几种约数？你能给出一种分类原则，把这些数进行分类吗？你能找出多种分类措施吗？你找出的所有分类措施中,哪一种分类措施是最新的分类措施？”3、以“问题”的形式引入新概念。以“问题”的形式引入新概念,这也是概念教学中常用的措施。一般来说,用“问题”引入概念

13、的途径有两条：从现实生活中的问题引入数学概念;从数学问题或理论自身的发展需要引入概念。4、从概念的发生过程引入新概念。数学中有些概念是用发生式定义的,在进行此类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教具或演示画图阐明的措施去揭示事物的发生过程。例如，小数、分数等概念都可以这样引入。这种措施生动直观,体现了运动变化的观点和思想,同步，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。（二)数学概念的形成引入概念,仅是概念教学的第一步,要使学生获得概念，还必须引导学生精确地理解概念,明确概念的内涵与外延，对的表述概念的本质属性。为此，教学中可采用某些具有针对性的措施。1、对比与类比。对比概念

14、，可以找出概念间的差别，类比概念,可以发现概念间的相似或相似之处。例如，学习“整除”概念时，可以与“除法”中的“除尽”概念进行对比,去比较发现两者的不同点。用对比或类比讲述新概念,一定要突出新、旧概念的差别,明确新概念的内涵，避免旧概念对学习新概念产生的负迁移作用的影响。2、恰当运用反例。概念教学中,除了从正面去揭示概念的内涵外,还应考虑运用合适的反例去突出概念的本质属性，特别是让学生通过对比正例与反例的差别,对自己浮现的错误进行反思,更利于强化学生对概念本质属性的理解。用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解。凡具有概念所反映的本质属性的对象必属于该概念

15、的外延集，而反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的对象,显然,这是概念教学中的一种重要手段。但必须注意,所选的反例应当恰当,避免过难、过偏,导致学生的注意力分散，而达不到突出概念本质属性的目的。3、合理运用变式。依托感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特性，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的对的理解。因此，在教学中应注意运用变式,从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说,变式涉及图形变式、式子变式和字母变式等。例如,讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常用的图形展示外,还应采用变式图形去强化这一概念

16、，由于运用等腰三角形的性质去解题时,所碰见的图形往往是背面几种情形。（三)数学概念的巩固为了使学生牢固地掌握所学的概念,还必须有概念的巩固和应用过程。教学中应注意如下几种方面。1、注意及时复习概念的巩固是在对概念的理解和应用中去完毕和实现的，同步还必须及时复习,巩固离不开必要的复习。复习的方式可以是对个别概念进行复述，也可以通过解决问题去复习概念，而更多地则是在概念体系中去复习概念。当概念教学到一定阶段时,特别是在章节末复习、期末复习和毕业总复习时,要注重对所学概念的整顿和系统化，从纵向和横向找出各概念之间的关系,形成概念体系。2、注重应用在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要

17、让学生由抽象到具体,运用概念,学生与否牢固地掌握了某个概念，不仅在于能否说出这个概念的名称和背诵概念的定义，并且还在于能否对的灵活地应用,通过应用可以加深理解,增强记忆,提高数学的应用意识。概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。(）概念内涵的应用复述概念的定义或根据定义填空。根据定义判断是非或改错。根据定义推理。根据定义计算。例4(是互质数。(2)判断题:27和20是互质数(）34与85是互质数( ）有公约数的两个数是互质数（ )两个合数一定不是互质数（ )（)钝角三角形的一种角是 82o，另两个角的度数是互质数，这两个角也许是多少度？(4)如果P是质数,那么比P小的自然数都与P互质。这

18、句话对吗？请阐明理由?2.概念外延的应用（1）举例(2）辨认肯定例证或否认例证。并阐明理由。(3）按指定的条件从概念的外延中选择事例。(）将概念按不同原则分类。例5（1)列举你所见到过的圆柱形物体。（）下图形中的阴影部分,哪些是扇形?（图2）（3）分母是的最简真分数有分子是9的假分数中，最小的一种是（4）将自然数2-19按不同原则提成两类(至少提出3种不同的分法）概念的应用可分为简朴应用和综合应用,在初步形成某一新概念后通过简朴应用可以增进对新概念的理解,综合应用一般在学习了一系列概念后,把这些概念结合起来加以应用,这种练习可以培养学生综合运用知识的能力。五、小学数学概念教学中应注意的问题1、

19、把握概念教学的目的,解决好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。概念自身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一种概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的拟定性。由于客观事物的不断发展和变化，同步也由于人们结识的不断深化，因此,作为人们反映客观事物本质属性的概念,也是在不断发展和变化的。但是,在小学阶段的概念教学，考虑到小学生的接受能力，往往是分阶段进行的。如对“数”这个概念来说，在不同的阶段有不同的规定。开始只是结识、2、3、，后来逐渐结识了零，随着学生年龄的增大,又引进了分数(小数)，后来又逐渐引进正、负数，有理数和无理数，把数扩大到实数、复数的范畴等。又如，对“0”的结识,开始时只懂得它表达

20、没有，然后懂得又可以表达该数位上一种单位也没有,还懂得“0”可以表达界线等。因此,数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成了教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的核心是要切实把握概念教学的阶段性目的。为了加强概念教学,教师必须认真钻研教材,掌握小学数学概念的系统,摸清概念发展的脉络。概念是逐渐发展的，并且诸概念之间是互相联系的。不同的概念具体规定会有所不同,虽然同一概念在不同的学习阶段规定也有差别。有许多概念的含义是逐渐发展的，一般先用描述措施给出,后来再下定义。例如,对分数意义理解的三次奔腾。第一次是在学习小数此前，就让学生初步结识了分数，“像上面讲的 、等，都是分数。”通过大量感性直

21、观的结识,结合具体事物描述什么样的是分数，初步理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之几。第二次奔腾是由具体到抽象,把单位“1”平均提成若干份，表达其中的一份或几份都可以用分数来表达。从具体事物中抽象出来。然后概括分数的定义，这只是描述性地给出了分数的概念。这是感性的奔腾。第三次奔腾是对单位“1”的理解与扩展，单位“”不仅可以表达一种物体、一种图形、一种计量单位，还可以是一种群体等，最后抽象出，分谁，谁就是单位“”,这样单位“1”与自然数“1”的区别就更加明确了。这样三个层次不是一蹴而就的,要呈现知识的发展过程,引导学生在知识的发生发展过程中去理解分数。再如长方体和立方体的结识在许多教材中是

22、提成两个阶段进行教学的。在低年级，先浮现长方体和立方体的初步结识,通过让学生观测某些实物及实物图，如装墨水瓶的纸盒、魔方等。积累某些有关长方体和立方体的感性结识，懂得它们各是什么形状,懂得这些形状的名称。然后，通过操作、观测，理解长方体和立方体各有几种面,每个面是什么形状，进一步加深对长方体和立方体的感性结识。再从实物中抽象出长方体和立方体的图形（并非透视图)。但这一阶段的教学规定只要学生懂得长方体和立方体的名称，可以辨认和辨别这些形状即可。仅仅停留在感性结识的层次上。第二阶段是在较高年级。教学时仍要从实例引入。教学长方体的结识时,先让学生收集长方体的物体，教师先阐明什么是长方体的面、棱和顶点

23、,让学生数一数面、棱和顶点各自的数目,量一量棱的长度,算一算各个面的大小,比较上下、左右、前后棱和面的关系和区别。然后归纳出长方体的特性。再从长方体的实例中抽象出长方体的几何图形。进而可以让学生对照实物,观测图形,弄清晰不变化观测方向，最多可以看到几种面和几条棱。哪些是看不见的，图中是如何来表达的。还可以让学生想一想，看一看，逐渐看懂长方体的几何图形,形成对的的表象。在把握阶段性目的时,应注意如下几点：()在每一种教学阶段,概念都应当是拟定的，这样才不致于导致概念混乱的现象。有些概念不严格下定义，但也要根据学生的接受能力,或者用描述替代定义,或者用比较通俗易懂的语言揭示概念的本质特性。同步注意

24、与将来的严格定义不矛盾。(2)当一种教学阶段完毕后来,应根据具体状况,酌情指出概念是发展的，不断变化的。如:有一位学生在结识了长方体之后，觉得课本中的任何一张纸的形状也是长方体的。阐明该学生对长方体的概念有了更进一步的理解,教师应加以肯定。(3)当概念发展后,教师不仅指出本来概念与发展后概念的联系与区别,以便学生掌握,并且还应引导学生对有关概念进行研究，注意其发展变化。如“倍”的概念,在整数范畴内，一般所指的是,如果把甲量当作1份，而乙量有这样的几份，那么乙量就是甲量的几倍。在引入分数后来,“倍”的概念发展了，发展后的“倍”的概念,就涉及了本来的“倍”的概念。如果把甲量当作l份,乙量也可以是甲

25、量的几分之几。因此,在数学概念教学中,要弄清概念之间的顺序,理解概念之间的内在联系。数学概念随着客观事物自身的发展变化和研究的进一步不断地发展演变。学生对数学概念的结识,也需要随着数学学习的限度的提高,由浅入深,逐渐深化。教学时既要注意教学的阶段性,不能把背面的规定提到前面，超越学生的结识能力;又要注意教学的持续性,教前面的概念要留有余地，为后继教学打下埋伏。从而解决好掌握概念的阶段性与持续性的关系。2、加强直观教学,解决好具体与抽象的矛盾尽管教材中大部分概念没有下严格的定义,而是从学生所理解的实际事例或已有的知识经验出发，尽量通过直观的具体形象,协助学生结识概念的本质属性。对于不容易理解的概

26、念就暂不给出定义或者采用分阶段逐渐渗入的措施来解决。但对于小学生来说,数学概念还是抽象的。她们形成数学概念,一般都规定有相应的感性经验为基本，并且要经历一番把感性材料在脑子里来回往复，从模糊到逐渐分明,从许多有一定联系的材料中,通过自己操作、思维活动逐渐建立起事物一般的表象，分出事物的重要的本质特性或属性,这是形成概念的基本。因此,在教学中,必须加强直观,以解决数学概念的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾。（)通过演示、操作进行具体与抽象的转化教学中,对于某些相对抽象的内容，尽量地运用恰当的演示或操作使其转化为具体内容，然后在此基本上抽象出概念的本质属性。几何初步知识，无论是线、面、体的概念还是

27、图形特性、性质的概念都非常抽象,因此,教学中更要加强演示、操作,通过让学生量一量、摸一摸、摆一摆、拼一拼来让学生体会这些概念,从而抽象出这些概念。例如“圆周率”这一概念非常抽象，有的教师在课前，布置每个学生用硬纸制做一种圆,半径自定。上学时,就让每个学生在课堂作业本上写出三个内容:（1)写出自己做的圆的直径；()滚动自己的圆,量出圆滚动一周的长度，写在练习本上;（3)计算圆的周长是直径的几倍。全班同窗做完后，规定每个同窗报告自己计算的成果。然后引导学生分析发现：不管圆的大小,它的周长总是直径的倍多一点。这时再揭示:这个倍数是个固定的数,数学上叫做圆周率。再让学生任意画一种圆，量出直径和周长加以

28、验证。这样,引导学生把大量的感性材料，加以分析、综合、抽象、概括，抛弃事物的非本质属性(如圆的大小、测量时用的单位等),抓住事物的本质特性(圆的周长总是直径的3倍多一点）,形成了概念。这样教师借助于直观教学，运用学生原有的某些基本知识,逐渐抽象，环环紧扣,层次清晰。通过实物演示,使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与小朋友思维的形象性的矛盾。（2)结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化教学中有许多数量关系都是从具体生活内容中抽象出来的，因此，在教学中应当充足运用学生的生活实际，运用恰当的方式进行具体与抽象的转化，即把抽象的内容转化为学生的具体生活知识，在此基本上又将其生活知识抽象为教学内

29、容。例如乘法互换律的教学，往往让学生先解答这样的习题:一种钢笔，每盒支，每支3元,买盒钢笔要多少元?学生在实际解答中发现,这道题可以有两种解答思路，一种是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”,算式是(10) 260元；另一种是先求出“一共有多少支钢笔”，再求出“盒多少元”,算式是（0)60元。乘法分派律的教学也是让学生解答类似的问题,如：一件上衣5元，一条裤子30元，买这样的套衣服需要多少元?这样借助于学生熟悉的生活情景，使抽象的问题变得具体化。同样常用数量关系中的单价、总价与数量之间的关系;路程、速度与时间的关系,工作量、工作效率与工作时间之间的关系等,都应结合学生的生活经验，通过具

30、体的题目将其抽象出来，然后又运用这些关系来分析解决问题。这样的训练有助于使学生的思维逐渐向抽象思维过渡，逐渐缓和知识的抽象性与学生思维的具体形象性的矛盾。但是,运用直观并不是目的,它只是引起学生积极思维的一种手段。因此概念教学不能只停留在感性结识上,在学生获得丰富的感性结识后，要对所观测的事物进行抽象概括,揭示概念的本质属性,使结识产生奔腾，从感性上升到理性，形成概念。、遵循小学生学习概念的特点,组织合理有序的教学过程尽管小学生获取概念有概念形成和概念同化这两种基本形式，各类概念的形成又有各自的特点，但不管以何种方式获得概念,一般都会遵循从“引入一理解一巩固一深化”这样的概念形成途径。下面就概

31、念教学中每个环节的教学方略及应注意的问题作一论述。（1）概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料在概念引入的过程中,要注意使学生建立起清晰的表象。由于建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基本，因此，在小学数学的概念教学中，无论以什么方式引入概念,都应考虑如何使小学生在头脑中建立起清晰的表象。概念教学一开始，应根据教学内容运用直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料,如采用实物、模型、挂图，或进行演示，引导学生观测,并结合实验,让学生自己动手操作，以便让学生接触有关的对象,丰富自己的感性结识。如在一节教学分数的意义的课上,一位教师为了突破单位“l”这一教学难点,事先向学生提供了多种

32、操作材料：一根绳子,只苹果图，6只熊猫图,一张长方形纸,l米长的线段等,通过比较、归纳出:一种物体、一种计量单位、一种整体都可以用单位“”表达，从而突破理解单位“1”这一难点,为理解分数的意义奠定了基本。但概念引入时所提供的材料要注意三点:一是所选材料要确切。例如角的结识,小学里讲的角是平面角,可以让学生观测黑板、书面等平面上的角。有的教师让学生观测教室相邻两堵墙所夹的角，那是两面角,对于小学教学规定来说,就不确切了。二是所选材料要突出所授知识的本质特性。例如直角三角形的本质特性是“有一种角是直角的三角形”,至于这个直角是三角形中的哪一种角，直角三角形的大小、形状，则是非本质的。因此教学时应出

33、示不同的图形，使学生在不同的图形中辨认其不变的本质属性。（）概念的理解要注重正反例证的辨析,突出概念的本质属性概念的理解是概念教学的中心环节，教师要采用一切手段协助学生逐渐理解概念的内涵和外延，以便让学生在理解的基本上掌握概念。增进对概念理解的途径有:1)剖析概念中核心词语的真实含义例如，分数定义中的单位“1”、“平均分”、“表达这样的一份或几份的数”,学生只有对这些核心词语的真实含义弄清晰了，才会对分数的概念有了深刻的理解。再如教学“整除”概念之后应协助学生从如下三方面进行判断，一是判断与否具有“整除”关系的两个数都必须是自然数；二是这两个数相除所得的商是整数;三是没有余数。对定义的分析是协

34、助学生结识概念的又一次提高。三角形的高的定义:“从三角形的一种顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条边叫做三角形的底。”这里的“一种顶点”、“垂线”、“垂足”都是某些核心词语。为了让学生理解三角形的高，除了让学生理解字面意思外,往往还需要学生通过实际操作，体会画“高”的全过程。指出画“高”的核心是画垂线,并注意限制条件:“过三角形的一种顶点(可以是任何一种顶点),作到它对边的垂线,顶点和垂足之间的线段”。这样把实际操作的过程和所画的三角形高的图形与定义所论述的内容对照，使学生精确地理解三角形的高的定义。这事实上是在数学概念建立后,协助学生对本质属性进行剖析,既将本质

35、属性再次从定义中分离出来,加以明确。)辨析概念的肯定例证和否认例证学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例突出概念的重要特性,协助她们加深对概念的理解。教师不仅要充足运用肯定例证来协助学生理解概念的内涵,同步要及时运用否认例证来增进学生对概念的辨析。在概念揭示后往往要针对教学规定组织学生进行某些练习，如教完三角形按角分类后，可以出示：一种三角形不是直角三角形，并且有两个角是锐角,这个三角形一定是锐角三角形。让学生进行判断，引起学生讨论来巩固三角形的分类,以深化对三角形这一概念的外延的进一步结识。再如，小数的性质揭示后，可以让学生判断040、.030、2.020、.800、1.404、5

36、.000各数,哪些“0”可以去掉,哪些“”不能去掉?从而加深学生对小数性质的理解。）变换本质属性的论述或体现方式小学生理解和掌握概念的特点之一往往是：对某一概念的内涵不很清晰,也不全面,把非本质的特性作为本质的特性。例如,有的学生误觉得，只有水平放置的长方形才叫长方形,如果斜着放就辨认不出来。为此，往往需要变换概念的论述或体现方式,让学生从各个侧面来理解概念。旨在从变式中把握概念的本质属性，排除非本质属性的干扰。由于事物的本质属性可以运用不同的语言来体现，如果学生对多种不同的论述和体现都能理解和掌握，就阐明学生对概念的理解是透彻的,是灵活的，不是死记硬背的。4）对近似的概念及时加以对比辨析在小

37、学数学中，有些概念其含义接近，但本质属性又有区别。如数与数字,数位与位数，奇数与质数,偶数与合数,化简比与求比值，时间与时刻,质数、质因数与互质数，周长与面积,等等。对此类概念,学生常常容易混淆，必须及时把它们加以比较,以避免互相干扰。如学习了“整除”，为了和此前学的“除尽”加以比较，可以设计这样的练习题：下列等式中，哪些是整除,哪些是除尽?()8=4()488(3）042 （4)85=1.6(5)0.20 (6)83引导学生通过度析、比较，从而得出:第（3)题是有余数的除法，固然不能说被除数被除数整除或除尽,其她各题固然能说被除数被除数除尽了。其中只有第(1)、（2）题，被除数、除数和商都是

38、自然数,并且没有余数,这两题既可以说被除数被除数除尽,又能说被除数被除数整除。从上面的分析中，让学生明白：整除是除尽的一种特殊状况,除尽涉及了整除和一切商是有限小数的状况。学习了比之后,可以用列表法设计比与除法、分数之间的联系的习题,从中明确“除法是一种运算，分数是一种数，比是一种关系式”的区别。(3)注重概念的运用,发挥概念的作用对的、灵活地运用概念,就是规定学生可以对的、灵活地运用概念构成判断，进行推理、计算、作图等，能运用概念分析和解决实际问题。理解概念的目的在于运用,运用的途径有:）自举实例这是规定学生把已经初步获得的概念简朴运用于实际，通过实例来阐明概念,加深对概念的理解。有经验的教

39、师，根据小学生对概念的结识一般带有具体性的特点，在学生通过度析、综合、抽象、概括出概念后,总是让她们自举例证，把概念具体化。从具体到抽象又回到具体,符合小学生的结识规律，使学生更精确把握概念的内涵和外延。例如在学生初步获得了真分数、假分数的概念后,就可以让学生分别举某些真分数和假分数的实例；懂得了圆柱的特性后，让学生说说平常生活中有哪些物品的形状是圆柱形的。2)运用于计算、作图等例如,如学了乘法的运算定律后,就可以让学生简便计算下面各题。1425 482515(8+8)2 8（15) 352在掌握分数的基本性质后,就规定学生能纯熟地进行通分、约分,并阐明通分、约分的根据。学习了小数的性质后,就

40、可以让学生把小数按规定进行化简或改写；学习了等腰三角形,可设计一组操作题；画一种等腰三角形；画一种顶角6度的等腰三角形;画一种腰长为2厘米的等腰直角三角形。3)运用于生活实践数学概念来源于生活,就必然要回到生活实际中去。教师引导学生运用概念去解决数学问题，是培养学生思维,发展多种数学能力的过程。并且，也只有让学生把所学习到的数学概念,拿到生活实际中去运用,才会使学到的概念巩固下来，进而提高学生对数学概念的运用技能。为此,教师在教学中应当根据教材内容和学生实际，在掌握小学数学教材逻辑系统的基本上，故意识地深化和发展学生的数学概念。例如在学习圆的面积后,一位教师就设计了这样的问题：“我们已经学习了

41、圆面积公式，谁能想措施算一算，学校操场上白杨树树干的横截面面积?”同窗们就讨论开了,有的说,算圆面积一定要先懂得半径,只有把树砍下来才干量出半径;有的不赞成这样做，觉得树一砍下来就会死掉。这时教师进一步引导说：“那么能不能想出不砍树就能算出横截面面积的措施来呢?人们再讨论一下。”学生们渴望得到对的的答案，通过积极思考和争论，终于找到了好措施，即先量出树干的周长,再算出半径，然后应用面积公式算出大树横截面面积。课后许多学生还到操场上实际测量了树干的周长,算出了横截面面积。再如，在教学正比例应用题时,可以启发学生运用旗杆高度与影长的关系,巧妙地算出了旗杆的高度。这样通过创设有效的教学情景，教师适时点拨，不仅启迪了学生的思维,并且培养了学生学以致用的爱好和能力，也加深了对所学概念的理解。（4）注重概念之间的比较分类,深化概念小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切,但是由于小学生思维发展水平和接受能力的限制,有些知识的教学往往是分几节课或几种学期来完毕，这样难免在不同限度上削弱知识间的联系。对某些有联系的概念或法则，在一定阶段应进行系统的整顿，使学生在头脑中建立起知识的网络,形成良好的认知构造。特别是中高年级，可以引导学生将概念进行分类，明确概念间的联系和区别，以形成概念系统。