二次函数与图形面积

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1、最新 料推荐二次函数与图形面积涉及图形：三角形、不规则四边形。考查设问：（ 1 ）首先求出不规则三角形或者四边形的面积；（ 2 ）通过已知图形的面积确定未知三角形的面积；（ 3 ）通过未知三角形的面积求点坐标。例 1 ：（ 2009 陕西 24 题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，OBOA ，且 OB2OA ，点 A 的坐标 ( 1，2) （ 1 ）求点 B 的坐标；（ 2 ）求过点 A、 O、B 的抛物线的表达式；（ 3 ）连接 AB ，在（ 2 ）中的抛物线上求出点P ，使得 S ABPS ABO yAB124 （本题满分10 分）O1x解：（ 1）过点A 作 AF x 轴，垂足为点（

2、第 24 题）F ，过点 B 作 BE x 轴，垂足为点 E ，y则AF2， OF1P3P4OA OB ，AB1AOFBOE90F O1P2E x又BOEOBE90，（第 24题答案AOFOBE Rt AFO RtOEB 1最新 料推荐BEOEOBOFAF2OABE2，OE4 B(4，2) （2 分）（2）设过点 A( 1，2) ， B(4，2) ， O (0，0) 的抛物线为yax2bxc a1，ab c，22316a4b，解之，得b，c 22c0.c0所求抛物线的表达式为y1 x2 3 x （5 分）22（3）由题意，知AB x 轴设抛物线上符合条件的点P 到 AB 的距离为 d ，则 S

3、 ABP1 AB d 1 AB AF 22d2 点 P 的纵坐标只能是0，或 4 （7 分）令 y0 ，得 1 x23 x0解之，得 x 0 ，或 x 3 22符合条件的点P1(0，0) ， P2 (3，0) 令 y 4 ，得 1 x23 x4解之，得x341 222符合条件的点P3(341， ，P4(341 ， 24)24)综上，符合题意的点有四个：P1(0，0)，P2 (3，0)，341 ， ，P4341， （10 分）P3 (4)(4)22（评卷时，无P (0，0) 不扣分 ）11. 能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。2最新 料推荐2. 通过观察、分析、概括、

4、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。3. 掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。面积两大类型类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例 1. 已知：抛物线的顶点为D（ 1， -4 ），并经过点E（ 4，5），求 :（ 1）抛物线解析式；（ 2）抛物线与 x 轴的交点 A、 B，与 y 轴交点 C；（ 3）求下列图形的面积 ABD、ABC、ABE、OCD、OCE解题思路：求出函数解析式_；写出下列点的坐标：A_； B_；C_；求出下列线段的长

5、：AO_； BO_； AB_； OC_。求出下列图形的面积 ABD、ABC、ABE、OCD、OCE。类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）水平宽铅垂高关于 S的知识点：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线2垂直的三条直线，外侧两条直线之间的铅垂高hC距离叫ABC的“水平宽” ( a) ，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫 ABC的“铅垂高 ( h) ”. 我们B水平宽a图 13最新 料推荐可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC1ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高2乘积的一半 .想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？例

6、2 如图 2，抛物线顶点坐标为点C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点B. (1) 求抛物线和直线 AB 的解析式； (2) 点 P 是抛物线 ( 在第一象限内 )上的一个动点，连结PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB的铅垂高 CD及 S CAB ；(3) 是否 = 9P 点的坐标；若不存y存在一点 P，使 S PABS CAB，若存在，求出C8在，请说明理由 .BD1xO 1A解题思路：求出直线 AB 的解析式是为了求出D点的纵坐标 yD ；图 - 2铅垂高，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线 AB的上方还是下方 ?注意：方法推导所谓的铅垂高

7、度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为 CDyCyD 。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标. 因此，求出点D的坐标，是求铅垂高度CD的关键；所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为ABxAxB . 为了保证这个差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标 . 因此，求出点A、 B 的坐标，是求水平宽的关键.4最新 料推荐在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解 .专项训练1、抛物线 yx 22x3 与 x 轴交与 A、 B（点 A 在 B

8、 右侧），与y 轴交与点 C， D为抛物线的顶点，连接BD，CD，（ 1）求四边形 BOCD 的面积 .（ 2）求BCD 的面积 .（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）2、已知抛物线 y1 x2x 4 与 x 轴交与 A、C 两点，与 y 轴交与点 B，2（ 1）求抛物线的顶点 M 的坐标和对称轴；（ 2）求四边形 ABMC 的面积 .5最新 料推荐3、已知一抛物线与x 轴的交点是 A（ -2 ，0）、 B（ 1，0），且经过点C（ 2，8）（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）求该抛物线的顶点 D

9、 的坐标；（ 3）求四边形 ADBC 的面积 .4、在抛物线的对称轴上是否存点N，使得 S NABS ABC ，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.yABOxC5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a 0)经过 A(-2,0) ， B(0,4) ， C(2,4) 三点，且与x轴的另一个交点为E。（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）求该抛物线的顶点 D 的坐标和对称轴；（ 3）求四边形 ABDE 的面积 .6最新 料推荐6、已知二次函数yx22x3 与 x 轴交于 A、 B 两点（ A 在 B 的左边），与y 轴交于点 C，顶点为 P.（ 1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（ 2）求 A、 B、 C、 P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；（3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N，使得 S NABS ABC ,若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。yABOxCP7