数列收敛判别法

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1、学士学位毕业论文设计数列收敛的判别法所在系别：数学与应用数学系专业：数学与应用数学目录中文摘要1英文摘要ii前 言iii残鹫楼第一章数列极限的概念1酽锕1.1数列极限的定义1弓罩贸摄尔霁毙脉卤庑。1.2收敛数列的定义2森养挎箧咐怼类蒋最第二章判别数列收敛的方法3厦礴恳蹒骈g继骚。2.1定义法3茕桢广鳓.选块网篱泪。2.2单调有界定理6鹅娅尽揖鹤惨枷。2.3迫敛性定理8赣丛妈,为岫蜂练稻2.4柯西收敛准则92.5关于子列的重要定理12渗-呛俨匀谔,调嘛帛。参考文献14致谢15数列收敛的判别法摘要：数列收敛是极限方法的基本情况，而极限方法是微积分学的基本方法，是初等数学所没有的一套崭新的方法，它解

2、决了 “直与曲”、“均匀变化与非均匀变化”、“近似于 精确”的矛盾，是客观世界中由量变到质变的一种反应。数列收敛恰是这些的基础，它的 概念、性质、定理、推论为研究其它极限等数学理论研究起到铺垫作用。日臧魏俣阃族置阊邺镓骚 本篇文章重点讨论的是判别数列收敛的一些方法，对于判断一个数列是否收敛有些茫然的 人，本文会有针对性的对以上问题做细致的讲解和归纳。开篇第一章的内容是对一些基础 概念做了叙述，以便于对后面的定理有更好的理解。在第二章重点介绍了判别数列收敛的 方法，数列收敛的判别法有很多，对于简单的数列，通过定义其极限的存在常常可以通过 观察直接看出，或通过极限的四则运算得出，研究数列收敛的判别

3、法可以判断一些较复杂 的极限，例如应用柯西收敛准则和迫敛性定理，它们是利用极限来研究微分学的许多理论 问题时的有力工具，在近代分析中有极其重要的理论意义。坛心eeII关键词：数列收敛、数列极限、判别法Abstract：Series convergence criterionSeries is the ultimate way to convergence of the basic situation, and the limit is thebasic calculus method is not elementary mathematics a new way, it has resolve

4、d the straight andcurly, uniform change and nonuniform change, close to accurate, the contradiction is theobjective world from quantitative to qualitative changes in a response. Convergent series is just the foundation of the concept, nature, theorem, inference to study the other limit, such as pavi

5、ng the way mathematics has played the role of theoretical research.蜡燮黯瘪乾伥铉锚赘。This article key discussion is distinguished sequence restraining some methods, regarding judge a sequence whether restrains some at a loss people, this article can have pointed makes the careful explanation and the inducti

6、on to above ques question.The introduction first chapter of content has made the narration to some foundation concept, was advantageous for to the behind t heorem has a better understanding.Introduced with emphasis in the second chapter the distinction sequence restraining method, the sequence restr

7、aining distinction law has very much, regarding the simple sequence, through defines its limit the existence to be possible to see directly frequently through the observation, or obtains through the limit mathematical operations, the research sequence restraining distinction law may judge some compl

8、ex limit, for example west the applica tion tan oak restrains the criterion and compels collects the theorem, they are study the differential calculus using the limit time many theory question powerful tool, has the extremely important theory significance in the modern analysis.皆鲷硝海旦Key word: Sequen

9、ce restraining, Sequence limit, Sequence restraining distinction way刖 言数列收敛问题始终是数学分析课程入门的重要概念，本文从数列收敛的定义、性质及 与数列收敛等价的一些定理命题入手进行探讨判别数列收敛的方法。当然也可以从另一个 角度探讨，如用数列收敛与不收敛的关系探讨数列收敛问题，数列收敛与有界的关系等。 随着知识的积累对数列收敛问题的理解将会更深刻，在函数极限、多元函数极限、级数及 后继的专业理论学习中对不同的问题、不同的概念都会有研究收敛问题，在此基础上将会 更深刻和更广泛的实际意义。聊质骨宴彦浃绥饴豪锦。数列收敛是极限

10、理论的一种基本的情况，一个数列存在极限也就是这个数列收敛，极 限方法是微积分学的基本方法，是初等数学所没有的一套崭新的方法，它解决了“直与曲”、 “均匀变化与非均匀变化”、“近似与精确”的矛盾，是客观世界中由量变到质变的一种反 映。数列收敛恰是这些的基础，它的概念、性质、定理、推论为研究其它极限等数学理 论研究起到铺垫作用。数列收敛的判别法有很多，对于简单的数列，通过定义其极限的存 在常常可以通过观察直接看出，或通过极限的四则运算得出，研究数列收敛的判别法可以 判断一些较复杂的极限，例如柯西收敛准则和迫敛性定理，它们是利用极限来研究微分学 的许多理论问题时的有力工具，在近代分析中有极其重要的理

11、论意义。猫虿翳刽登靴朱髅既庑数列收敛是现代数学的重要基础，例如迫敛性定理在解决求极限的中有广泛的应用， 柯西收敛准则的作用与影响更是尤为显著。它的概念与思想渗透到所有的数学分支，而理 论与方法在统计学、信息论、计算机科学、近代物理、化学以及其他许多科学与工程领域 中都有广泛而深入的应用，是理工类和其他相关专业研究应具备的数学基础。并且在中学 数学教育中有着其实际的作用，对培养学生极限抽象思想和找寻数学规律或者实际生活规 律提供了很好的实践平台。锹籁第一章数列极限的概念极限论是数学分析的基础。极限问题是数学分析中困难问题之一。中心问题有两个： 一是证明极限存在，二是求极限的值。两问题有密切关系：

12、若求出了极限的值，自然极限 的存在性也被证明。反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路。y黉硝饨荠 下面我们重点研究的是数列的极限，1.1数列极限的定义111 1S广3 - （2-日2） （ n = 1，2，3）的变化趋势；当n无限增大时，七趋于极限3 现在我们要用严格的数学语言来定义极限概念。我们先来分析一个简单数列峄w簖疖1(1-1)a = ( n - 1， 2，3 - )很明显，当n无限增大时，an趋于极限0。此数列写出来是111111， ， ， ， ， ， ，,-,，234 5 n它趋于0的意思，就是沿此数列往后看，它与0愈来愈接近；例如，从第100项以后 开始，每一项与0的差

13、都小于0.01;从第1000项以后开始，每一项与0的差都小于0.001; 一般来说，从“充分远”的某一项开始，它的每一项与0之差可以“任意小”。下面我们 来分析一下“任意小”和“充分远”是什么意思。显然任意小的意思就是尧侧咿绚岫蜀 ,1,11 | - 0|= - 0= N 时，有|a - a| 0，若在U( ;a)之外，数列aj中项只有有限个，则称数列aj收 敛，且收敛于a。111.1.2数列极限的几何意义数列a 对应于数轴上的一个点列，a是数轴上一个确定的点。对于任给的8 0，n在数轴上作出a点的8邻域(a-8, a + 8)。由于绝对值不等式|a - a|e与不等式na-8 a N时，所有

14、的点a都落在(a-8,a + 8)内，只有有限个落在其外。n1.2收敛数列的定义通过数列极限的定义我们可以看出，如果我们知道一个数列的极限，那么也就说明这 个数列收敛于这个极限，即数列收敛。所以说数列极限的定义也就是收敛数列的定义。第二章判别数列收敛的方法第一章的定义1与定义2给出了数列收敛定义，且有着明显的几何意义。通常我们都 是对定义1和定义2中的e，N进行讨论，由此来研究或证明数列的收敛问题。其特点是 将数列a 与一个常数联系在一起进行论证。当数列的形式较复杂时，我们可以将其分解 n后利用四则运算法则计算数列极限。同时，问题往往不是孤立的，一个数列极限的计算可 能要使用几种方法。在有了极

15、限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极 限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。那么怎样判断一个 数列是否收敛或者说极限是否存在的问题，对于简单的数列，其极限的存在常常可以通过 1 ., , . 一., 观察直接看出（例如，数列七=土的极限显然存在，而且是零），或通过四则运算得出（参 看上面例7）。但对于较复杂的极限，例如，硕瘟案颁诌撵棒摘蔹lim（1 + 1） n（2-1）、 n n T3就无能为力了。极限（2-1）是一个重要的极限，在研究放射性元素的衰变规律，电容器 的充放电以及自然对数等许多问题中都要用到它。下面我们将建立几个判断数列收敛或者 说极限存在的一般

16、性判别法。它们不仅可以用来判断一些较复杂的极限（例如极限（2-1） 的存在性），而且在理论研究时也经常用到。阕擞.嬉迁择植秘嘉2.1定义法利用数列极限定义判别数列收敛，通过数列极限的定义我们可以看出，如果我们知道 一个数列的极限，那么也就说明这个数列收敛于这个极限，即数列收敛。所以说用定义可 以判别一个数列是否收敛。即若能求出一个数列的极限也就说明这个数列收敛钏蹦窗贸恳弓罩 颔泉。利用极限定义计算极限的关键是；将通项化为一常数与一含n的无穷小之和，从而得 到I a - a | 0，只要9 8，便有n -3 -3 | 9时，（2-3）式成立。又由于（2-2）式是在n 3的条件下成立的，故应取8，

17、一 9、 ，一 、N - max 3，一 . （2-4）89、证 任给8 0，取N = max 3，。据分析，当n N时有（2-3）式成立。于是8本题得证。注 本题在求N的过程中，（2-2）式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便。但 应注意这种放大必须适当，以根据给定的8能确定出N。又（2-4）式给出的N不一定是 正整数。一般地，在定义1中的N不一定限于正整数，而只要它是正数即可。怂阐WM迳洲 甄凉。【例2】证明数列2,3,4,.,土,收敛于1。所以取N = 111，当n N时，有2 3 n证明：对V8 0，要使得土-1 = 1 - nn8注1： 8是衡量七与。的接近程度的，除要求为正以

18、外，无任何限制。然而，尽管8具有任8意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，8具有任意性，那么,28,8 2等也具有任2意性，它们也可代替8 ）2: N是随8的变小而变大的，是8的函数，即N是依赖于8的。在解题中，N等于多 少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N，使得当n N时，有七-。| 0，因为n2+ a 2 a 2a 2 1 =. -n-n 2 + a 2 + n) n（此处不妨设a。0，若a - 0 ,显然有2+a 2 =1)nsn所以要使得业工-1 8，n只须竺 N时，因为有竺88nvn 2 + a 2口 匚Jn 2 + a 2.一 1 8，所以hm 1。nns n注3：有时

19、找N比较困难，这时我们可把|七-a|适当地变形、放大（千万不可缩小!），若放大后小于8，那么必有|x -a|8。在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则。2.1.2应用四则运算求数列极限四则运算法则 若a 与b 为收敛数列，则a + b ，a -b ，nnn nn nan bn也都是收敛数列，且有l i m 七 bns n n-l )i m 土 b i mn s n sl i m # bnn nsl i m x b i. m- n n s nn s特别当b为常数c时有l i m + cn ns+ Cm lim can nsc lim a .ns n若再假设、u 0及lim b u 0n s

20、则七也是收敛数列， bn且有【例4】al i mn -bnsnan求 lim，ns an + 1a 1/ m b . l i mns n ns nan若a -1，则显然有lim上一-1 ； ns an +12 1，则limn T3anan +1limi1+ 11+0 T -an例 5 】 求 lim(sin t n +1 - sin n)ns解，用有理化法，得lim(sin %, n +1 - sin (n)ns=lim2cosns-Jn +1 + ：n .sin2n +1 - ：n2因为歇牛主】而lim 有理化得limnT3所以limsin + 1-牍=sin0 = 0,nT3lim(sin

21、 Jn +1 一 sin ：n) = 0 .nT3【例6】求lim竺3 nF (n + 1)23 lim(2 + 3)=nTsn22 1、 lim(1+ + )nrsn n2则为a 有界数列，即存在正整数M , n2 + 2n2 + 32n2 + 3n 2lim= lim= lim nn* (n + 1)2 n* n 2 + 2n + 1 n*2 1+ + n n 23lim 2 + lim n2nT3nTs ilim1 + lim 2 + lim nsms n ns n22.2单调有界定理2.2.1有界数列的定义定理1若数列a 收敛， n使得对一切正整数n有I a |W M证明 设lima广

22、a。根据数列?极限的定义，对于=1存在正整数N，使得对于一切 n snN有不等式 a -a 1 艮口 a -1 a a +1记nnM = max |a|1，|a2|， ，I a I，NI a 1I，I a +1I ，那么对一切正整数n都满足不等式| a I Mn这就证明了数列a 是有界的。n注有界性只是数列收敛的必要条件，而非充要条件。例如数列（-1）n 有界，但它并不收 敛。那什么条件才是充要条件呢，接下来第三章将会介绍。【例7】判断数列1，-，二，是否有界。2 3n +1解因为存在M =1，使得对于一切a都满足不等式|二|W 1，故数列；二；有界。 nn +1 n + 1J【例8】判断数列

23、4n是否有界。解 因为当n无限增大时2 n可超过任何正数，所以数列4 无界。定理2单调有界定理（实数连续性）在实数系中，有界的单调数列必有极限.证 不妨设an为有上界的递增数列.由确界原理，数列an有上界，记 a = sup a .下面证明a就是a 的极限。事实上，任给0，按上确界的定义，存在数 列an中某一项aN，使得a-项。又由叩的递增性，当nN时有a- a W a另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an都有a” a a + s 所以当nN时有a- a a + ，这就证得lima= a。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。 n s公理的几何意义十分明显.若数列a

24、单调增加有上界，设a在数轴上的对应点是A .当n无限增大时，点A在数轴上向右方移动，因为有上界，所以这些点必无限地趋近于某 个点A .设A的坐标为二，则a就是数列 a的极限.例如：a = 2, a = ：2 + a , ,a = ：,研究数列a 的收敛。12 1nn-1n首先数列a 是单调上升：。计 。打 这可以用数学归纳法予以验证。其次，同样可以验证数列aj有界，a 2.因此由这个知，数列叩必收敛。n该定理用来判别数列是否收敛，不用刻意地和常数联系在一起就可以判别某些数列讲解的收敛问题，或解决极限的存在问题，为理论上探讨数列的收敛问题奠定了基础，随着在对数学的深入接触中我们会发现用这个定理又

25、导出实数完备性的基本定理。2.2.2单调有界定理的应用【例9】试证明数列了(1+n)n有极限。证 下面我们证明数列七=(1+ n)n是增数列，而且有上界，从而由定理，即知它趋于有限极限。根据二项式定理，我们有1、1 n(n +1) 1 n(n - l)(n 一 2) 1x = (1+ -) n = 1 + n x - +、*，、 八nn 2!+ + n(n -1)(n - k +1) 乂 1 +nkx+xn23!n3n(n -1) (n - n +1) 1+ :xnn11112=1 + 1 + m (1)+(1)(1)+n 3!nn、1/11、/i2、)+ +(1一一)(1-)n ! n n2

26、!k -1(1-n+(1- 1)(1- k! n n(1-史), n故x = 1 +1 + 1 (1- 1 ) + 1 (1- 1 n+12! n +13! n +1k1112(1-) +(1-)(1-)n +1 n! n +1 n +1.n 1.11 一 2n(1- ) +(1-)(1-) (1-)；n +1(n +1)!n +1 n +1 n +12、112、)(1一 n +1)+n +1)(1一 n +1)由此可知x x ,从而xj是一个增数列。另外，从上面的xn的展开式，知+ .1 2 +1 +1 +工n!2 222n-1x 1+1+ + +n 2! 3!=3-1- N，有 nnn+a

27、 W b W c ,nnn且 lim a - lim c = l，贝。lim b = l.n T3 n ns nns n证明:已知 lima - limc -1, 即n T3 n ns nV 0,有 3 N e N , V n N，有 I a - 1 | ，从而 1 - N，有 | c - 1 | ，从而 c N ,同时有1 a W b W c 1 + ，从 1 b 1 + , nnnn或 | b 一 1 | N,有推论：若有两个数列b 与c ,且3NeN+,1 W b W c ,又 lim c -1，则 lim b -1.ns nns n迫敛性定理不仅指出了极限存在性，还给出了极限值。所以迫

28、敛性定理也是判定数列 收敛的一种方法，同时也提供了一个求极限的工具。滥.瞻爵骤彝晞召寝。2.3.1迫敛性定理的应用【例10】 求数列0 的极限。解 令工=n，因为当n 1时，Vn 1，所以x =1+ a (a 0)，于是n = （1+ a ） N1+ na + （n 一 1）a 2 N （n 一 1）a 2,0W a 2 W 上 n 0W a W ；n n 1 n n 11W x =1+ a Wl+寸12 显然a收敛于零。因为V 0, 3N = 1+3,就有二-0|0, 必有正整数N存在，使当n, mN时，恒有剑蹄.鳗鸿戏脉。I a a | 0， 3 N e N， V n，mN，有I a a

29、I .在证明之前，我们先解释一下I a a I 0，3 N e N，V n N，V p e N，有n+I a a I 0，3NeN，V k N，有 I a a I N 与 m N，分别有 I a a I 与 I a a I N，有I a a I = I a a + a a IWI a a I + I a a I N1，有I a I = I a a 取 M =max I a I， 0 于是，V n e N，有IV n N1 和 m0 N1，有 I+ a IW a a a I，I a I a w M，即数列aa a I 1.从而I am 01 + I am有界.I 0， 3NeN， V n， mN

30、，有 I a a I n对上述同样 0, 3 kG N+，V n k，有 I a 一 a | L, 3 n L,同时有在这里，指出，单调有界定理和Cauchy收敛准则则只指出极限存在性。2.4.1柯西收敛准则的应用【例11】研究任一无限十进制小数a = 0.bb2 bn的n位不足近似（n=1，2，）所组成的数列。广bo +条+ tn-10（其中气为0，1，2,9,中的一个数）的收敛问题。首先不妨设n m，有+)10 nm1a - a |= bm +1 + bm I 2 + +、 9 (1+ + n m 10 m+1 10 m+210 n 10 m+110)-0都有N，使当nN时，1 N， n

31、手 2 n2 n便有sin（ n +1） sin（ n + 2）sin m .1 am - an 1 =+ 亍 11.1- 1W天+天+ +京二箱j1 .212 n所以由柯西收敛准则知lim匕收敛。 注 用柯西收敛准则来证明数列收敛和用极限定义来证明是很不一样的。用定义来证明一 个数列收敛（或有极限），必须事先知道（或能观察出）该极限值，但这一点往往是比较 困难的，柯西收敛准则的优点，就在于只通过数列本身来判断其是否收敛。当然柯西收敛 准则主要在于它在近代分析中有极其重要的理论意义。仓媪思世嘱珑言古膂寂我们知道一个数列不是收敛就是发散，那如果我们判断出一个数列是发散的，也就说 明它是不收敛的，

32、所以也可以判定数列是否收敛。绽靛y邮饰柯西收敛准则指出：数列收敛等价于数列中充分远（即自然数n充分大）的任意两项 的距离能够任意小。这是收敛数列的最本质的特征。柯西收敛准则的优点在于它不需要借 助数列以外的任何数，只需根据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性。【例13】证明：若V n e N有| j j |W crn，其中c是正常数，且0 r 1，则 数列七收敛。+n+n证明：V n，p eN，有I J J I = I J J + J J + + J J I n+pnn+pn+p-1n+p-1n+p-2n+1nGJn+pJn+p-11 + 1Jn+p-n+p-21 + + 1n+1

33、一 Jn1W crn+p-1 + crn+p-2 + + crn = crn ( 1 + r + + rp-1)_1-rp / c=cr nrn.1-r 1-r已知 lim rn = 0 （0 r0，3 N e N，V n N，有 m3 . ns于是，V 0，3 Ne N，V n N，V p e N 有1 Jn+p - Jn 1 吾 岂 -其中 亡 是正常数，根据柯西收敛准则，数列J收敛。2.5关于子列的重要定理2.5.1子数列的定义定义3给定数列a : a，a，-, a，在这个数列里，任取无穷多项，不改 n 12n变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列，任何一个数

34、列都存在无穷多个子数列。职椭暧愣昆缟顷凉。如果这个子数列存在极限，就称它为是原来数列的一个收敛子数列。如果原来的数列收敛于A，则它的任何一个子数列都一定收敛于A。.诗艳损楼疯如果数列有一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的数，则这个数列一定发散。所 以一个数列即使存在无穷多个收敛的子数列，我们也不能确定它是否收敛。2.5.2应用子列的相关定理判别数列收敛定理5.若数列a收敛于a，则a 的任意子数列a”也收敛于a.它的等价命题是：nnin若数列a有某一个子数列发散，或有某两个收敛子数列，它们的极限不相等，则数列a 发散，且lim a - lim a - a n T3 n k T3 nk应用该

35、定理的这一等价命题很容易判别某些数列的发散性。例如：数列n(-i)n是发散的。因为它的偶子列(2k)(-1)2k =2k 发散。数列(-1)n 是发散的，因为它的奇子列(-1)2k-1收敛于-1；它的偶子列(-1)2k 收敛于1， 而-1。1.定理6数列a 收敛的充要条件是偶子数列与奇子数列都收敛，且它们的极限相等， n即lim a - lim a - ak* 2k 2S1例如：在数列a 中抽出子数列a 、a 和a 都收敛，且有相同的极限值，这时 n2k-12 k - 22 k数列a 一定收敛。n实质上定理5、定理6都是在一个数列的前提下给出的，它们在判别数列是否收敛时 也不用刻意地和常数联系

36、在一起就可以判别某些数列的收敛问题，或解决极限的存在问 题，因此可以说这两个命题是收敛数列的一种判别法。其实，在以后的接触中你会发现， 用这两个命题判别一个数列是否收敛非常方便。数列收敛问题始终是数学分析课程入门的重要概念，本文从数列收敛的极限定义与判 别数列收敛的几种方法入手进行探讨。随着知识的积累对数列收敛问题的理解将会更加深 刻，在函数极限、多元函数极限、级数及后继的专业理论课中对不同的问题、不同的概念 都会研究到收敛问题，在此基础上将会有更深刻和更广泛的实际意义。峭扬婚脆.辐滠兴海菌主要参考资料1刘玉琏傅沛仁著数学分析讲义（上册）54-64北京高等教育出版社2001 年2孙清华孙昊著数

37、学分析内容、方法与技巧华中科技大学出版社2003年3郭大钧陈云妹裘卓明著数学分析山东科学技术出版社1982年4华东师范大学数学系著数学分析 高等教育出版社2001年5李杰红关于递推数列收敛的一种判别法天津科技大学学报2004年第十九卷第 二期6马爱江单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明新疆教育学院学报2003年第二十卷第四期叁撬内烬忧毁厉.骜7李庆扬 数值分析华中理工大学出版社19958王向东数学分析的概念与方法（上册）82-106上海科技文献出版社19899林新和一类不满足迫敛性条件数列收敛的判别法呼伦贝尔学院学报2004年第 十二卷第六期10蒋林智迫敛性在解决求极限问题中的应用讨论

38、皖西学院学报2006年第二十 二卷第二期11万丽一类迭代数列敛散性判别的新准则河北理科教学研究2008年第一期12裴礼文数学分析中的典型问题与方法1-19高等教育出版社1993年5月13董玺印杨静懿杨公辅钟百根著微积分27-36对外经济贸易大学出版社2003年1月则岫章危晖园栋泷14任亲谋 著数学分析习题解析（上册）陕西师范大学出版社2000年15李伟刘文灿张战亮著数学分析习题课教程（上册）中国矿业大学出版 社 1984年致谢在论文完成之际，我谨向给予我教导和帮助过我的所有老师以及和我一起走过的同学 们致以衷心的感谢！深深感谢我的导师一一王宏老师对我的无私关怀和谆谆教诲。通过设 计中不断发现问题一解决问题的过程，我对数列收敛问题的知识有了更深刻的认识和理 解，对本专业知识有了更新，提高了我得技术水平。胀鳗弓罩奥秘孑系户挛钇眸谨以此稚嫩的论文献给所有关心和帮助过我的老师、亲人、同学、和朋友们。我唯有 在以后不断地努力进取，以学业和工作的继续求索来感谢培育我的母校和所有关心我的师 长亲朋！希望我们都幸福快乐！鳃曦岭纫诵帮废钏