高等流体力学-习题集

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1、高等流体力学一、 流体的运动用x=a,y=etb+c2+e-tb-c2,z=etb+c2-e-tb-c2表达，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。解：由题可知速度分量为：u=xt=0v=yt=etb+c2-e-tb-c2=zw=zt=etb+c2+e-tb-c2=y则速度的拉格朗日描述：V=0,etb+c2-e-tb-c2,etb+c2+e-tb-c2速度的欧拉描述：V=0,z,y二、 速度场由V=x2t,yt2,xz给出，当t=1时求质点p1,3,2的速度及加速度。解:由V=x2t,yt2,xz可得速度分量式为:u=x2tv=yt2w=xz则当t1时，质点p1,3,2的速度为：V=1,3,2;加

2、速度为ax=ut+uux+vuy+wuzay=vt+uvx+vvy+wvzaz=wt+uwx+vwy+wwz=ax=x2+x2t2xt+yt20+xz0ay=2yt+x2t0+yt2t2+xz0az=0+x2tz+yt20+xzx=ax=1+2+0+0=3ay=6+0+3+0=8az=0+2+0+2=4，即加速度为：a=3,9,4三、 速度场由V=x+t2,y-t2,0给出，求速度及加速度的拉格朗日表达。解:由题可得速度场V=u,v,w=x+t2,y-t2,0,则由u=xt=x+t2v=yt=y-t2w=zt=0得dxdt-x=t2dydt-y=-t2dzdt=0，解微分方程得x=c1et-1

3、t2-22t-23y=c2et+1t2+22t+23z=c3,即为流体质点运动的拉格朗日体现式,其中c1,c2,c3为任意常数。则u=xt=c1et-2t-22v=yt=c2et-2t-22w=c3，ax=2xx2=c12et-2ay=2yy2=c22et-2az=0得速度的拉格朗日体现式为：V=c1et-2t-22,c2et-2t-22,c3得加速度的拉格朗日体现式为：V=c12et-2,c22et-2,0四、 已知质点的位置表达如下：x=a,y=b+ae-2t-1,z=c+ae-3t-1求：（1)速度的欧拉表达;（2）加速度的欧拉表达及拉格朗日表达，并分别求x,y,z=1,0,0及a,b,

4、c=1,0,0的值；()过点1,0,0的流线及t=0在a,b,c=1,1,1这一质点的迹线；（4)散度、旋度及涡线；(5)应变率张量及旋转张量。解：(1) 由x=ay=b+ae-2t-1z=c+ae-3t-1得a=xb=y-xe-2t-1c=z-xe-3t-1由题得u=xt=0v=yt=-2ae-2t=-2xe-2tw=zt=-3ae-3t=-3xe-3t，则速度的欧拉表达为V=0，-2xe-2t,-3xe-3t(2) 加速度分量为ax=ut+uux+vuy+wuz=0ay=vt+uvx+vvy+wvz=4xe-2t=4ae-2taz=wt+uwx+vwy+wwz=9xe-3t=9ae-3t，

5、则加速度的欧拉表达为a=0,4xe-2t,9xe-3t;则加速度的拉格朗日表达为a=0,4ae-2t,9ae-3t；当x,y,z=1,0,0及a,b,c=1,0,0时,a=0,4e-2t,9e-3t(3) 流线微分方程式为dxu=dyv=dzw,由于u=0因此,流线微分方程转化为dy-2xe-2t=dz-3xe-3t,消去中间变量积分得y=23etz+c1,又由于x=a，当x=1,y=z=0时，得到c1=0，a=1,即过点（1,0,0)的流线为x=1y=23etz由迹线微分方程为x=ay=b+ae-2t-1z=c+ae-3t-1，将t=0，a,b,c=1,1,1代入得质点轨迹方程为x=1y=e

6、-2tz=e-3t(4) 散度div V=ux+vy+wz=0+0+0=0旋度rot V=wy-vzi+uz-wxj+vx-uyk=0i+3e-3tj+-2e-2tk涡线微分方程为dxwx=dywy=dzwz,又由于wx=0,涡线微分方程转化为dy3e-3t=dz-2e-2t,x=const，即涡线方程为y=-32e-tz+c2x=c3(5) 速度梯度V=uvw=uxuyuzvxvyvzwxwywz=000-2e-2t003e-3t00，应变率张量S=ux12uy+vx12uz+wx12vx+uyvy12vz+wy12wx+uz12wy+vzwz=0-e-2t-32e-3t-e-2t00-32

7、e-3t00旋转张量A=012uy-vx12uz-wx12vx-uy012vz-wy12wx-uz12wy-vz0五、 已知拉格朗日描述为x=ae-2tky=betkz=cetk(1）问运动与否认常,与否是不可压缩流体,与否为无旋流场;(2）求t=1时在点（,1,)的加速度;（3）求过点（1，1）的流线。解：六、 已知u=x+1,v=x,w=0,求（1)速度的拉格朗日描述;(）质点加速度；(3)散度及旋度;运动与否有旋；流体与否不可压;（4）迹线及流线。解:(1) 由u=xt=x+1得x=c1et-1，又由v=yt=x=c1et-1得y=c1et-t+c2,由w=zt=0得z=c3。再由初始条

8、件t=0,x,y,z=a,b,c得c1=a+1,c2=b-a-1,c3=c,则速度的拉格朗日描述为u=a+1etv=a+1et-1w=0(2) 质点加速度为ax=ut=etay=vt=etaz=wt=0(3) 散度div V=ux+vy+wz=1+0+0=1旋度rot V=wy-vzi+uz-wxj+vx-uyk=1k由于旋度不为0，故为有旋运动由于散度不为0,故流体为可压缩流体(4) 由(1）可得迹线方程为x=a+1et-1y=a+1et-t+b-a-z=c流线微分方程dxu=dyv=dzw，又由于w=0，因此流线微分方程转化为dxx+1=dyx，解之得y=x-lnx+1+c4，由初始条件t

9、=0,x,y,z=a,b,c得c4=b-a+lna+1因此流线方程为y=x-lnx+1+b-a+lna+1z=c七、 一水箱尺寸如图所示,箱外大气压patm=1.013105Pa,计算下列两种状况下地窗口AB两侧所受的流体合力。(a）水面上方气体压力pA=patm;（）pA=1.255105Pa解：（a） 不妨设AB两侧所受的流体合力为Fa则Fa=水hcA=98073+121.5sin301.53=1.489105N（b） pA=1.255105Papatm=1.013105Pa，需重新设立水平面，不妨设新的水平面距离原先水平面为h,由pA=patm+水h得h=2.468m则Fb=水h+hcA

10、=98073+2.468+121.5sin301.53=2.579105N八、 如图的微测压计用来测量两容器E和B中的气体压强差。试用,d,1,2表达PB，并阐明当横截面积aA,并且两种溶液密度, 1和2相近时,很小的PE就能引起很大的液面高度差,从而提高测量精度。解：根据流体静力学规律知PE+1gh=PB+1gh-d+2gd,即PE-PB=1g+2-1gd又由图可知,A=ad;因此=aAd又有题可知),在原点处的压强为,试求：上半平面的流动图案。二十二、 求半径为的圆球在无限流场中由于重力而下沉的运动规律。解：二十三、 某小船在无限深水的波浪中每分钟摇晃30次,求波长L，圆频率,波数k，以及波形传播速度c。二十四、 在海洋中观测到一分钟内浮标升降20次,设其波动可觉得是无限水深小振幅平面波,求波长及其传播速度。解:波动周期T=6020=3s圆频率=kc=2T，波速c2=gk故波速c=Tg2=39.80723.14=4.68m/s波长=T=4683=1.0二十五、 设二维有限深度波动速度势为求此相应的流函数及复势体现式。二十六、 为了估算船在水面行驶的阻力,用缩尺1/20的模型在拖曳水池做实验。设船体长30m,速度5，水的密度1000kg,粘度系数=0.001kg/ms。试问如何安排实验条件才干保证明验与真实状况动力相似?