高等数学考研复习题及答案

《高等数学考研复习题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学考研复习题及答案（41页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、高等数学考研复习题及答案一、填空题1.设，则函数的图形有关 对称。2若,则 3 极限 。4.已知，则_,_。5.已知时，与是等价无穷小，则常数= 6.设,其中可微,则= 。7设,其中由拟定的隐函数,则 。8.设具有二阶持续导数,则 。9函数的也许极值点为 和 。1设则.11. .2 .13.若,则。14.设D： ,则由估值不等式得 15设由围成（),则在直角坐标系下的两种积分顺序为_和_6.设为,则的极坐标形式的二次积分为_.1.设级数收敛,则常数的最大取值范畴是 .8. .19.方程的通解为 20.微分方程的通解为 .1.当_时，方程 为一阶线性微分方程。22. 若阶矩阵的行列式为是的随着矩

2、阵,则_.设A与B均可逆,则C=也可逆,且.24.设,且，则X = .25.矩阵的秩为26. 向量，其内积为_.27. n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是 .28.给定向量组，若线性有关,则a,b满足关系式 .9 已知向量组()与由向量组(II)可互相线性表达,则()与r(I)之间向量个数的大小关系是 .30 向量=(2,1)T可以用(,1)与 (1，3)T线性表达为 .31. 方程组Ax有非零解是非齐次方程组A=有无穷组解的 条件.32. 设A为mn矩阵,非齐次线性方程组b有唯一解的充要条件是r（A)(Ab) .3.已知元线性方程组有解,且，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 34

3、.设是方阵A的一种特性值，则齐次线性方程组的 都是的属于的特性向量.3若阶矩阵A的特性值为1，2,-，则的特性值为 .36设A是阶方阵,A0,为A的随着矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特性值,则必有特性值. 37.a,b分别为实对称矩阵A的两个不同特性值所相应的特性向量,则a与b 的内积(a,b） . 38.二次型的秩为 39. 矩阵为正定矩阵，则的取值范畴是_.4 二次型是正定的,则的取值范畴是_.41. A、B、C代表三事件,事件“A、C至少有二个发生”可表达为 42. 事件A、B互相独立，且知则 .3.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一种发生的概率为 .4. 在相似条件下

4、，对目的独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.，那么击中目的k次的概率为 ().5 设随机变量X服从泊松分布，且则= .46.设随机变量的分布密度为，则= .47. 若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为Y1211/163/1且X，Y互相独立，则常数 = ,b . 48. 设X的分布密度为，则的分布密度为 .49.二维随机变量（X,Y)的联合分布律为YX10.22.3则与应满足的条件是 ，当X，Y互相独立时, .5.设随机变量与Y互相独立,且令Z - + X +3,则= 51 已知随机变量X的数学盼望.令Y=X3，则= .二、单选题.设 ，则=( ）A.x Bx+ x .x . 下列函数

5、中,（ ）不是基本初等函数.A B C. D.3下列各对函数中，（)中的两个函数相等. A. 与 B. 与. 与 D.与4. 设在处间断，则有（ )(） 在处一定没故意义;() ;（即)；(C） 不存在，或；(D) 若在处有定义，则时，不是无穷小5函数 在x 0处持续,则k =() A. B. .1 .2 .若,为无穷间断点，为可去间断点,则( )（A）1 (B)0 （)e (）e-17.函数的定义域为（）A.BC. D二重极限（ ）（A)等于0 (B)等于 (C)等于 (D）不存在9.运用变量替代,一定可以把方程化为新的方程（ ）（A） (B) ()(D)10.若，在内则在内( ）（A) (

6、B) （C) (D)11.设的某个邻域内持续,且,则在点处( ）.（A)不可导 （B)可导,且 （C）获得极大值 (D)获得极小值12设函数是不小于零的可导函数，且,则当时，有( ）.（A) （B)(C） （D）13( ).（）(B)(C)()14.设上具有持续导数,且,则（ ）.(A)2 (B)1 (C)1 （D）25.设上二阶可导，且记 ， ，则有( )（）（B) (） (D）16.设幂级数在处收敛.则此级数在处( ).（A）绝对收敛 (B）条件收敛（C）发散 (D)收敛性不能拟定1.下列命题中，对的的是( ）.(A）若级数的一般项有则有（B）若正项级数满足发散（C)若正项级数收敛，则（D

7、)若幂级数的收敛半径为，则8.设级数收敛,则级数( ）.（A)绝对收敛 (B）条件收敛(）发散(D）敛散性不拟定19 微分方程的通解是（ ）（A） (B）(C) （）0. 设满足微分方程，若,则函数 在点（ )()取极大值； （B)取极小值;(C）附近单调增长; （)附近单调减少.21.函数在点处的增量满足 且,则（D）(A) （B） (C) （D）22. 若具有s个向量的向量组线性有关,且该向量组的秩为r，则必有( ）.（A) r=s (B) s （)r= (D） rs3.已知向量组线性有关,则=( ) (A) （B) (） （D)4 向量组线性有关的充足必要条件是（ ) （) 中具有零向量

8、(B)中有两个向量的相应分量成比例(C) 中每一种向量都可由其他个向量线性表达(D)中至少有一种向量可由其他个向量线性表达25.对于向量组,由于,因此是 ( )全为零向量； ( B)线性有关;( C)线性无关; （ )任意. 设A,B均为n阶矩阵，且ABO，则必有 （ ）（)A=O或=O ()|A=0或B|=0 ( C) A+B=O (D)|A|=027若非齐次线性方程组Amn X =b的( ),那么该方程组无解A秩（) n B.秩(A)=m C秩(A）秩 () D秩（)=秩().若线性方程组的增广矩阵为，则当=（）时线性方程组有无穷多解。 A.1B.4C.2D.9设=2是非奇异矩阵A的特性值

9、,则有一种特性值是 （ ）(） (B） （ C) (D) 3若二次型正定，则（ )（A） (B） （C) （D)31. 已知是矩阵的特性向量,则=( ) （A） 或 (B）或 () 或 （D） 或32. 在随机事件,B，C中，A和B两事件至少有一种发生而事件不发生的随机事件可表达为（ )（）（B)(C) (D）33 袋中有5个黑球,3个白球,大小相似，一次随机地摸出4个球，其中恰有个白球的概率为( )(A) （B） (C) （）3设、互为对立事件，且则下列各式中错误的是( ) （A） （B）(C) (D）3. 离散型随机变量X的分布列为PX = k =， k 1，2,4则( ） (A）.05（

10、B).1 （C）0. （）0.2536. 设随机变量X的分布函数为则（ ） (A） （)（) (D）3. 设随机变量X服从,的值（ ） (A）随增大而减小； （B)随增大而增大； (C)随增大而不变; (D）随减少而增大.38 设随机变量,则服从( ) (）(B）（C）（）39. 对目的进行次独立射击,每次射击的命中率相似，如果击中次数的方差为0.7，则每次射击的命中率等于（ ）(A)01 ( B ) 0 ( ) . （ D) .40设随机变量X的概率密度为，则=( ). (A）- (B)0 （)1 （D）以上结论均不对的三、解答题设 ，已知在处持续可导，试确立并求2.设, 其中具有二阶持续偏

11、导数, 求.3.设讨论（,y)在（0，）（1）偏导数与否存在。 (2）与否可微。4在过点的所有平面中, 求一平面，使之与三个坐标平面所围四周体的体积最小.5.6.,其中为圆域。7.设在上持续，求证：。证明 8.求幂级数收敛区间及和函数:9.求解 10求解.求解满足1.求解满足13.设二阶常系数线性微分方程的一种特解为，试拟定,并求该方程的通解14.计算下列行列式，15计算下列行列式6证明: 17设X+=AX,且A=,求X.8已知矩阵,求常数a,b . 19 将向量表达到的线性组合:(1)2.问，取何值时，齐次方程组 有非零解?21设线性方程组 试问为什么值时，方程组有解？若方程组有解时,求一般

12、解。2.求一种正交变换化下列二次型为原则型：(1）2某工人看守甲、乙、丙3台机器，在1小时内,这台机器不需照管的概率分别为0.8，09，0.6,设这三台机器与否需照管是互相独立的,求在1小时内 ()有机床需要工人照管的概率;() 机床因无人照管而停工的概率24设随机变量X的分布密度为求(1)常数A;(2） X的分布函数;25设二维随机变量(X,Y)在区域内服从均匀分布.求(1)(X,Y）的联合分布密度;(2)X与Y的边沿分布密度，并问它们与否互相独立?26.设X,Y是两个互相独立的随机变量,其概率密度分别为 求随机变量ZXY的概率密度函数.27一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计）服从指数分布

13、，密度函数为为保证消费者的利益,工厂规定发售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利10元,而调换一台则损失00元.求工厂发售一台设备获利的数学盼望.28.设随机变量(X,Y)服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布,X与Y的有关系数，求Z的数学盼望和方差; 参照答案一、填空题.设，则函数的图形有关 对称。解：的定义域为 ，且有即是偶函数，故图形有关轴对称。.若,则 .解： 。3. 极限 。解:注意:（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量),其中=1是第一种重要极限。已知，则_, _。由所给极限存在知, ,得, 又由， 知5.已知时,与是等价无穷小,则常数= 解. 6.设，其中可微，则

14、= 。解 7设，其中由拟定的隐函数,则 。解 ，时，8.设具有二阶持续导数,则 。解:9.函数的也许极值点为 和 。 解 ，不是,不是 不是 负定,极大值 （，)10设则. 解:由于，故11. .解:原式.1. .解:3.若，则。答案: 14设： ，则由估值不等式得 解，又 ,由, 1设由围成（),则在直角坐标系下的两种积分顺序为_和_.解 D：(型)=D1+D2, , D:（Y型） 16设为,则的极坐标形式的二次积分为_.解: D:,17设级数收敛，则常数的最大取值范畴是 .解:由级数的敛散性知，仅当即时,级数收敛,其她情形均发散.8. 解：由于,因此原积分19.方程的通解为0.微分方程的通

15、解为1.当=_时,方程 为一阶线性微分方程。解 或.22 若阶矩阵的行列式为是的随着矩阵,则_.答案： 23设A与均可逆，则C =也可逆,且 . 答案：； 4.设,且,则X .答案: 5.矩阵的秩为解答:将矩阵化成阶梯形,可知填写：2。26. 向量,其内积为_答案: 27.n阶方阵的列向量组线性无关的充要条件是 答案：r=n,或|A; 2 给定向量组,若线性有关,则，b满足关系式 答案:a-2=0 29. 已知向量组(I)与由向量组(I)可互相线性表达，则r()与r(I)之间向量个数的大小关系是 答案:相等; 0向量(2,1）T 可以用=(0,1）T与 =(1,）T线性表达为 答案：； 3.

16、方程组x=0有非零解是非齐次方程组B=有无穷组解的 条件.答案:必要不充足; 3. 设A为n矩阵,非齐次线性方程组b有唯一解的充要条件是r（A) r(| )= .答案：； 33.已知元线性方程组有解,且，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 解答:4设是方阵A的一种特性值,则齐次线性方程组的 都是的属于的特性向量.答案:非零解;3若3阶矩阵的特性值为1，2,-,则的特性值为 .答案： ; 3.设A是n阶方阵,A|0,为A的随着矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特性值,则必有特性值. 答案:.7.a,b分别为实对称矩阵A的两个不同特性值所相应的特性向量,则a与b 的内积（a,b)= . 答案： 0

17、 .二次型的秩为 .答案：4. 3.矩阵为正定矩阵,则的取值范畴是_.答案：40. 二次型是正定的,则的取值范畴是_.答案： 4A、B、C代表三事件,事件“A、B、至少有二个发生”可表达为AB+B+AC . 事件A、B互相独立,且知则 解:A、互相独立, P(AB)=P（）P(B) P(）=(）+P(B)(A)0.2050.1=0.643. 若随机事件和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一种发生的概率为 .解:P(A+)=144. 在相似条件下，对目的独立地进行5次射击,如果每次射击命中率为06,那么击中目的k次的概率为 ().解：设X表达击中目的的次数,则X服从二项分布,其分布律为: 设随

18、机变量X服从泊松分布，且则= .解： X服从泊松分布,其分布律为PX=（k=0, 2，） 由已知得:,求得=2 P=46. 设随机变量X的分布密度为，则= . 解:由性质 即 解得：=47. 若二维随机变量（，Y）的联合分布律为YX121116312b且X，Y互相独立，则常数 ,b= 解： X，Y互相独立 (=1，Y=1）=(X=1) P(=1) 即: 又 b=48.设X的分布密度为,则的分布密度为 .解：PYyP(y）（X)=Fx() YX的分布密度为(y）= ,y049. 二维随机变量（X，Y）的联合分布律为YX1210.220.3则与应满足的条件是 ,当X，Y互相独立时，= .解1 即有

19、=.5当X，Y互相独立 P(X=1, Y=1) P(1）P(Y=1) (02)（) =050. 设随机变量与Y互相独立，且令Z= -Y + 2X,则= .解 与Y互相独立, (）=D(Y+X+3)=D(Y)D(2X+) =（1)2D()+D(X)=142=9。51. 已知随机变量X的数学盼望.令Y=-3,则 .解D（Y）D(2X)D(X）=4E(X2)（X）2=4（412）=1。二、单选题.设 ,则=（ )A. x B.x +1 . +2 D. +解 由于，得 将代入，得=对的答案：. 下列函数中,（ )不是基本初等函数A. C. . 解 由于是由，复合构成的,因此它不是基本初等函数对的答案:

20、B3. 下列各对函数中，( )中的两个函数相等. A.与 B. 与C与 .与解:A 4. 设在处间断，则有( ）(A) 在处一定没故意义;(B) ; （即);(C) 不存在,或;() 若在处有定义，则时，不是无穷小答案：D5.函数 在x = 0处持续,则k= () A-2 B- C.1 D2 答案: .若，为无穷间断点,为可去间断点，则( ).（A）1 (） （C）e （D）e-1解：由于为无穷间断点， 因此，故. 若,则也是无穷间断点由为可去间断点得.故选(C).函数的定义域为().A BC .解：z的定义域为: 选8二重极限( )(）等于0 （B）等于 (C) 等于 (）不存在 ）解:与有

21、关,因此该极限不存在9.运用变量替代,一定可以把方程化为新的方程（).（)(B) (C） （)解 是x,y的函数，从，可得，故是u,v的函数，又,故z是x,y的复合函数，故，,从而左边=因此方程变为: 选A1.若,在内则在内( ）.(A) （) (C) (D）解:选（C).设的某个邻域内持续，且，则在点处( ）（A)不可导 (B）可导，且 （)获得极大值 （D）获得极小值解:由于, 则在的邻域内成立, 所觉得的极小值.故选(D).12.设函数是不小于零的可导函数，且,则当时,有( ）（） （B)(C) （）解:考虑辅助函数3.( ).(）（B）(C)（D）解：由积分上限函数的导数可得,故选（A

22、）.14.设上具有持续导数,且,则（ ）()2 (B) (C）-1 (D)-2解:由于，故应选(A)15.设上二阶可导,且记 ,则有( ).（） (B) (C) （D）解:依题意,函数在上严格单调减少, 且其图形是向上凸的曲线. 根据几何图形可得, 故选（B).16.设幂级数在处收敛. 则此级数在处( ).（A）绝对收敛 (B）条件收敛（C）发散 （D)收敛性不能拟定解:选(）.1.下列命题中，对的的是（ ）.(A）若级数的一般项有则有(B)若正项级数满足发散()若正项级数收敛,则（D）若幂级数的收敛半径为，则.解：由有,因此，从而发散.故选(B).8.设级数收敛,则级数( ).（A)绝对收敛

23、 (B)条件收敛（)发散(D）敛散性不拟定解:由于收敛,即幂级数在处收敛，由ble定理知,幂级数在处绝对收敛，亦即绝对收敛.故选（A).19.微分方程的通解是（ )（A) （B)() （D)解：D.设满足微分方程，若，则函数 在点（ )（A)取极大值； (B)取极小值;（C）附近单调增长; （)附近单调减少.解：B1 函数在点处的增量满足 且，则（D）(A） (B） （C） ()解 令，得,，故选（D)。2.若具有s个向量的向量组线性有关,且该向量组的秩为r,则必有（ ).() r=s (）rs (C) =s+1 (D）0， 因此=,因而(|)=(AA)=1,故选（A）5.离散型随机变量X的分

24、布列为P X=k =， k = 1,2,3,4则（ )（A)0 （B)0.1 (C）0.2 (D）0.25解：由概率分布性质可知,常数a应满足, a2a+3a4a=1,即有.1,故应选（B）。6.设随机变量的分布函数为则=(）(A)（B） （C） （D)解: ,故应选（C)。7. 设随机变量X服从,的值（ )（A）随增大而减小; （）随增大而增大；（C)随增大而不变； (D)随减少而增大.解： N（, ) X+P，而值不随的变化而变化, PX2+值随增大而不变，故应选(C）。38 .设随机变量，则服从( )（A） (B)(）（D）解 选（）, E(Y）=(aX+b)=a(）+b=a+ D(Y)

25、=D(aX+b）=aD(X)2 YN(a+b,a2)。39.对目的进行3次独立射击,每次射击的命中率相似，如果击中次数的方差为0,则每次射击的命中率等于（）()0. (B ) 0.2 （C ） .3 (D ) 0.4解 选（D)；由题意知：XB（3, ),而D()= p (1p）=0.2 p=04。40 设随机变量的概率密度为，则( ）(A）-1 （B） (C)1 ()以上结论均不对的解 选(）；(X)=,而被积函数为对称区间上的奇函数, (X）=0。三、解答题1.设 ,已知在处持续可导，试确立并求解 ,在处持续,即。当时，当时，,当时,，故。2.设, 其中具有二阶持续偏导数, 求.解:，.3

26、.设讨论f(x,y)在(0,0）(1）偏导数与否存在。 （）.与否可微。解：（1)同理可得，偏导数存在。（2)若函数在原点可微,则应是较高阶的无穷小量，为此,考察极限，由前面所知，此极限不存在，因而函数在原点不可微。4.在过点的所有平面中,求一平面, 使之与三个坐标平面所围四周体的体积最小.解:设平面方程为，其中均为正, 则它与三坐标平面围成四周体的体积为， 且, 令, 则由，求得. 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为,且.5解:6.，其中为圆域。解:将区域分为，其中。于是7.设在上持续，求证:。证明 由重积分中值定理,，使得,当时，由f的持续性,知,从而有:8.求幂级数收敛区间及和函数

27、:解:，因此,，当时,级数成为,由调和级数知发散;当时，级数成为,由交错级数的Lbniz鉴别法知此级数是收敛的. 因此收敛区间为.设,则,因此，.9.求解 解 原方程可化为,两边积分得，即。由得，故即为所求。1.求解.解原式可化为,令,得，即， 两边积分得 ,即,，由得,故所求特解为。1.求解满足解特性方程为,，故通解为，由得，故为所求特解。12求解满足解相应的齐次方程的通解为,设特解为代入原方程得，故原方程通解为，由得,。13.设二阶常系数线性微分方程的一种特解为，试拟定，并求该方程的通解解 将,，代入原方程得,故,方程为,故通解为。14.计算下列行列式,解：15.计算下列行列式解：16.证

28、明：证:17.设AX+2+X，且A=,求X解:由AXE=+X,得(AE)=A2E,而E可逆,故X=A+E=1已知矩阵，求常数a，b . 解 由于 因此 ,得b = 2 9 将向量表达到的线性组合：(1）解:设，按分量展开得到 求解得到,即20问，取何值时，齐次方程组 有非零解?解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零,故即或齐次方程组有非零解。21.设线性方程组 试问c为什么值时，方程组有解?若方程组有解时,求一般解。解 可见，当= 0时,方程组有解。且 原方程组的一般解为 （3是自由未知量） 22.求一种正交变换化下列二次型为原则型：（1）解:相应的矩阵为,特性值为正交矩阵为,原则

29、型为23.某工人看守甲、乙、丙3台机器，在1小时内,这台机器不需照管的概率分别为0.8,.9,.，设这三台机器与否需照管是互相独立的,求在小时内(1）有机床需要工人照管的概率;(） 机床因无人照管而停工的概率解:(1) 设Ai表达“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, ,3,则有机床需要工人照管的事件为，因而=0568（2) 以B表达“机床因无人照看而停工” 0.2.10+020.90+0.4+0.10.4 =01424设随机变量X的分布密度为求(1） 常数A； (2） 的分布函数； .解：(1） 由性质 即： A=(2) 由(1)知f(x)= (x)= (x+)25.设二维随机变量(,Y）在

30、区域内服从均匀分布.求 (1)（，Y)的联合分布密度;（2)X与Y的边沿分布密度，并问它们与否互相独立？解：(1)区域x1，y的面积A由图如示： 则：依题意有: () 又 X, 不互相独立26.设X,Y是两个互相独立的随机变量,其概率密度分别为 求随机变量Z=+的概率密度函数解:设的密度函数为fZ(z)，则由卷积公式得a) 当z0时,f(t）=，f(z)=0b) 当z1时,z-0,zc） 当z1时，z-0综述:27.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，密度函数为为保证消费者的利益,工厂规定发售的设备若在一年内损坏可以调换,若售出一台设备,工厂获利元，而调换一台则损失20元.求工厂发售一台设备获利的数学盼望.解:法一:PX1=，设Y表达厂方发售一台设备的获利数，则的分布律为 Y 100 200 P E（)33.64。 法二:E(Y） =33.64。28.设随机变量(X，Y)服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布,与Y的有关系数,求Z的数学盼望和方差; 解：E(Z); D(Z）=