八年级一元一次不等式(教师讲义带答案)

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1、第四章 一元一次不等式(组） 考点一、不等式的概念 (3分)1、不等式：用不等号表达不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一种具有未知数的不等式，任何一种适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。、对于一种具有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表达不等式的措施考点二、不等式基本性质 (3-5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一种数或同一种整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以)同一种正数,不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以)同一种负数,不等号的方向变化

2、。4、阐明：在一元一次不等式中，不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算变化。如果不等式乘以0，那么不等号改为等号因此在题目中,规定出乘以的数,那么就要看看题中与否浮现一元一次不等式，如果浮现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式 (6-8分)1、一元一次不等式的概念：一般地,不等式中只具有一种未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般环节：（）去分母（2)去括号（3）移项（4)合并同类项(5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组 （8分)1、一元一次不等式组的概念：几种一元一次不

3、等式合在一起，就构成了一种一元一次不等式组。2、几种一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所构成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同步成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2)运用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组不等式：用符号,，号连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一种整式,不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一种正数,不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一种负数,不等号方向相反。7、

4、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。一种具有未知数的不等式的所有解，构成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。典型例题透析类型一:解一元一次不等式组、解不等式组，并把它的解集在数轴上表达出来。 思路点拨：先求出不等式的解集,然后在数轴上表达不等式的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。 解析：解不等式，得x-;解不等式，得x1。 因此不等式组的解集为x1 在数轴上表达不等式的解集如图。 总结升华:用数轴表达不等式组的解集时,要牢记：不小于向右画,不不小于向左画。有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。举一反三： 【变式1】解不等式组: 解析:解不等式,得: 解

5、不等式，得: 在数轴上表达这两个不等式的解集为: 原不等式组的解集为: 【变式】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意如下两点: (1）不等式组里不等式的个数并未规定; (2）在同一不等式组里的未知数必须是同一种. (3)注旨在数轴表达解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一:解不等式,得: 解不等式，得: 解不等式，得： 在数轴上表达这三个不等式的解集为: 原不等式组的解集为: 解法二:解不等式，得： 解不等式，得： 由与得: 再与求公共解集得: 【变式】解不等式组:解析: 解不等式得:x2 解不等式得:x-,解不等式，得 因此不等式组的解集为-1x8。即原不等式的解集为1x8

6、 解法:5，32x115，22x6，1x8。 因此原不等式的解集为-18 总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解,而对于只有中间部分具有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的环节求解,如解法2. 【变式5】求不等式组的整数解。 思路点拨:按照不等式组的解法,先求出每个不等式的解集，在数轴上表达出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合规定的整数解。解析:解不等式，得x;解不等式,得4。 在数轴上表达不等式的解集(如图) 因此不等式组的解集为x4。 因此它的整数解为3，4。类型二、含参数的一元一次不等式组 2、若不等式组无解,求a的取值范畴

7、. 思路点拨：由两个不等式构成的不等式组无解只有一种状况，即“大大小小”,也就是说如果x比一种较大的数大,而比一种较小的数小,则这样的数不存在. 解析：依题意: 2- 3a-2, 解得a - 总结升华:特别地，当a-5与3a-2相等时，原不等式组也无解,请注意体会，后来做此类型的题目不要忽视对它们相等时的考虑 举一反三： 【变式】若不等式组无解，则的取值范畴是什么？ 解析:要使不等式组无解,故必须，从而得 【变式】若有关的不等式组 的解集为,则的取值范畴是什么? 解析:由+1可解出， 而由可解出， 而不等式组的解集为, 故, 即. 总结升华:上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字

8、母的取值范畴，故规定较高解此类题目的核心是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式2，最后归结为对不等式组解集的拟定，这就规定熟悉“同小取小”的解集拟定措施,固然也可借助数轴求解。【变式】不等式组的解集为2，试求k的取值范畴.解析：，由得,由得xk, 不等式组的解集为 2， k即k2. 【变式】已知有关的不等式组 的整数解共有5个，求的取值范畴。 解析：不等式组的解为: 不等式组的解为: 由于原不等式组有解,解集为 在此解集内涉及5个整数，则这5个整数依次是 m必须满足 【变式】若不等式组的解集为-1xa2，由知x, a2=-1,=1，a-，b2， ab，（+)=()=1。类型三、建立

9、不等式或不等式组解决实际问题 3、某校在一次外出郊游中,把学生编为个组,若每组比预定的人数多1人,则学生总数超过20人;若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人,求预定每组学生的人数。 思路点拨：运用不等式解应用题的措施，找出题目中的不等关系,列不等式组，本题中的两个不等关系是: 个小组中每组比预定的人数多1人，学生总数超过0人；9个小组中每组比预定的人数少1人，学生总数不到190人。解析：设预定每组学生有x人,根据题意，得 解这个不等式组，得,因此不等式组的解集是， 其中符合题意的整数解只有一种x22。 答:预定每组学生的人数为2人。 总结升华：列不等式(组)解应用题，一方面将题目中

10、的不等关系用不等式表达出来，当求得未知数的值后，要检查,一是检查所求值与否是原不等式或不等式组的解,二是检查所求得的值与否与实际意义相符。 举一反三: 【变式1】某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19公斤、17.2公斤，试制甲、乙两种新型饮料共50公斤，下表是实验的有关数据:饮料每公斤含量甲乙A（单位：公斤）0.50.2B(单位:公斤)34（1）假设甲种饮料需配制公斤，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集。()设甲种饮料每公斤成本为元，乙种饮料每公斤成本为3元,这两种饮料的成本总额为y元，请用含 有x的式子来表达y。并根据（)的运算成果，拟定当甲种饮料配制多少公斤时，甲、乙两种

11、饮料 的成本总额最小? 解析：(1） 0.5x+0.2(50 -x)9 0.3x+0.4(）17.2 由得x30,由得x2 20 (2）y=4x3(50-x),即=x+150 由于越小,则y越小, 因此当=28时,甲、乙两种饮料的成本总额至少。【变式2】某园林的门票每张10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客,该园林除保存本来的售票措施外,还推出了一种“购买个人年票”的售票措施(个人年票从购买日起,可供持票人使用一年）。年票分A、B、C三类:A类年票每张0元,持票者进入园林时,无需再购买门票;类年票每张60元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次2元;C类年票每张0元,持

12、票者进入该园林时，需要再购买门票，每次3元。 （）如果你只选择一种购买门票的方式,并且你筹划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计 算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。 （2）求一年中进入该园林至少多少次时，购买A类年票才比较合算。 思路点拨:“合算”是指进园次数多而花钱少,或是花相似的钱进园的次数最多，显然是通过计算进行代数式比较和建立不等式（组)关系。 解：(1)不也许选A类年票, 若选B类年票,则为次; 若选C类年票，则为13次; 若不购买年票，则为次 因此筹划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的措施进入园林的次数最多， 为3次。 ()设至少超过x次时，购买类年

13、票才比较合算, 则 60+2120 解得 x30 40+3x12 解得 x2 110 解得 x30 因此,一年中进入该园林至少超过3次时,购买A类年票才比较合算。 【变式】若干名学生，若干间宿舍,若每间住4人将有20人无法安排住处;若每间住人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间? 解析:设宿舍共有x间。 解得:5x，则m的取值范畴是( )。 A、m B、=3 C、m3，得m， 选。 例(重庆市中考题)若不等式组的解集是-x1,那么（a+1）(b1)的值等于_。 解：化简不等式组,得 它的解集是-1x2的解集为,则a的取值范畴是（ )。A、a0、a1 C、a0 D、a1 解：

14、对照已知解集，结合不等式性质得：-a1，选B。 例5(湖北荆州市中考题)若不等式组的解集是xa,则a的取值范畴是( ）。 A、3 、a=3 C、a3D、3 解：根拟定不等式组解集法则：“大大取较大”,对照已知解集x,得a3, 选D。 变式（重庆市初数赛题)有关的不等式（a-b)x-2b的解集是,则有关x的不等式ax+b0的解集为_。 三、运用性质,分类求解 例已知不等式的解集是,求a的取值范畴。解:由解集得x-20时，得解集与已知解集矛盾; 当a=0时，化为0无解; 当-10时,得解集与解集等价。 例7.若不等式组有解,且每一种解x均不在-14范畴内,求a的取值范畴。 解:化简不等式组，得 它

15、有解，5a-63aa3；运用解集性质,题意转化为：其每一解在-或x4内。 于是分类求解,当4时，得45-62。故或2a3为所求。 评述:（)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负状况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在axb范畴内的不等式(组),也可分x或 b 求解。(2）要细心体验所列不等式中与否能取等号，必要时画数轴表达解集分析等号。 四、借助数轴，分析求解 例8(山东聊城中考题)已知有关的不等式组的整数解共5个，则a的取值范畴是_。 解：化简不等式组,得有解，将其表在数轴上,如图1,其整数解5个必为x=1,0,-1，2,3。由图1得:41) 例.有关y的不等式组 的整数

16、解是3,-2,1，0,1。求参数t的范畴。 解：化简不等式组,得 其解集为 借助数轴图2得 化简得 , 。 评述:不等式（组）有特殊解(整解、正整数解等)必有解（集）,反之否则。图2中拟定可动点A、的位置，是对的列不等式(组）的核心，注意体会。 五、运用消元法，求混台组中参数范畴 例0.下面是三种食品A、B、含微量元素硒与锌的含量及单价表。某食品公司准备将三种食品混合成0kg，混合后每kg含硒不低于个单位含量,含锌不低于4.5个单位含量。要想成本最低，问三种食品各取多少k? BC 硒（单位含量/k) 4 6 锌（单位含量kg) 2 单位(元/kg) 5 解 设A、B、C三种食品各取，y,g，总

17、价S元。依题意列混合组 视S为参数，(1)代入(2）整体消去x+y得:(10z)6z5005,(2)+()由不等式性质得：0(+z)+65, 由(1)整体消去(+z)得: 10(1-y）+695y125， 再把()与(4)联立消去x得:S900-yz0+(-15)+50，即S900。 当x3.5kg, y=2.9kg, kg时,S取最小值900元。 评述:由以上解法得求混合组中参变量范畴的思维模式：由几种方程联立消元，用一种(或多种)未知数表达其他未知数,将此式代入不等式中消元(或整体消元)，求出一种或几种未知数范畴,再用它们的范畴来放缩（求出）参数的范畴。 波及最佳决策型和方案型应用问题,往往需列混合组求解