全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线(原题+解析)

《全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线(原题+解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线(原题+解析)（19页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线一填空题(共1小题)1.(秋宿迁校级月考）如图，在RBC中，C=90，AD平分交BC于.若D：DC=3：2,点到AB的距离为6，则BC的长是 二.解答题(共1小题)(秋涵江区期末）如图所示,在RAC中，C=90,BC=AC,AD平分BAC交C于D，求证：ABAC+CD.3.如图,D是BC中B边上的中线，求证:（AB+C) 4.（秋藁都市校级期末)在ABC中，AC=90,A=B,直线,MN通过点C,且AMN于点,BMN于点E(1)当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时,求证:DE=AB；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时,求证:DE=ADBE;（3）当直

2、线MN绕点C旋转到如图的位置时,线段D、D、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系,不要证明. 5已知ABC中,A=0，B，C分别平分ABC和AB，BD、CE交于点O,试判断B,CD，C的数量关系，并阐明理由.6（秋西城区校级期中）已知：如图,ABC中,点D，E分别在AB，边上，F是CD中点，连BF交AC于点,ABE+EB=10，判断B与CE的数量关系,并证明你的结论.7.(秋丰台区期末)已知:如图，在等腰直角三角形BC中，ACB=9，AC=C，点D是BC内的一点,且ADAC,若DC=30，试探究BD与CD的数量关系并加以证明8.已知点M是等边AB中边AB上任意一点(不与A、B

3、重叠）,作DMN0,交DBA外角平分线于点N.(1）求证：M=MN;（)若点M在A的延长线上,其他条件不变，结论“DM=N”与否仍然成立?请你画出图形并证明你的结论.9.(春闵行区期末）如图所示,在正方形ABCD中,M是CD的中点，是D上一点，且BADAM.求证:AE=BC+E10已知:如图,CD是正方形，FADFA求证：BE+DF=E11.(秋巢湖期中）如图，CE、B分别是A、ADC的中线,且A=AC.求证:CD=2CE.全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线参照答案与试题解析一填空题(共小题）.(秋宿迁校级月考）如图,在RtABC中,C=0,AD平分BAC交BC于D若BD:DC3:2，点D到

4、A的距离为6,则C的长是 5【考点】角平分线的性质菁优网版权所有【专项】计算题.【分析】作DEAB于E,如图,则=6,根据角平分线定理得到C=DE=6，再由B：C=：可计算出BD=，然后运用=BD+DC进行计算即可【解答】解:作DEAB于,如图,则DE=6,AD平分AC，DC=DE=6,BD：DC=3:2，9，BC=BD+C=9+15.故答案为5【点评】本题考察了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等二解答题（共10小题)2(秋涵江区期末)如图所示,在RABC中，C=90，BC=AC,AD平分BA交BC于D,求证：B=AC+【考点】全等三角形的鉴定与性质.菁优网版权所有【专项】证

5、明题.【分析】运用已知条件，求得B=E,2=1,AD=D，得出ABDAE（A),E=BAE=ACE=A+CD,AAC+CD【解答】证法一:如答图所示，延长A,到使CE=,连接.ACB=9,AC=BC,CE=D,B=CAB(18C）=，E=CE=5,BEA平分A,1=2在BD和AED中，ADAE（AS)AEABAE=C+=A+CD,AB=AC+C.证法二:如答图所示，在AB上截取AEAC,连接DE,AD平分BAC，1=2.在CD和AED中,，CDED（SA)AD=C9，CD=ED，又ACBC，B=45EDB=B=45D=BE，CD=EABE+BE,A=A+CD.【点评】本题考察了全等三角形的鉴定

6、和性质；通过SA的条件证明三角形全等,运用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系.如图，AD是BC中B边上的中线，求证:A（AB+AC）【考点】全等三角形的鉴定与性质；三角形三边关系菁优网版权所有【专项】计算题.【分析】可延长D到E,使AD=DE,连BE，则ACDEB得B=AC，进而在BE中运用三角形三边关系,证之【解答】证明:如图延长AD至，使A=DE,连接BE.在AC和EB中：ACBD(S），AC=（全等三角形的相应边相等）,在ABE中，由三角形的三边关系可得A+E,即2ADA+AC，AD(A+）.【点评】本题重要考察全等三角形的鉴定及性质以及三角形的三边关系问题,可以纯熟掌握.4

7、(秋藁都市校级期末)在BC中，AB90，C=B,直线,M通过点C,且ADN于点，EMN于点E（）当直线N绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=A+E;（）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DADBE；（3）当直线MN绕点旋转到如图3的位置时，线段D、AD、BE之间又有什么样的数量关系?请你直接写出这个数量关系，不要证明【考点】全等三角形的鉴定与性质;等腰直角三角形.菁优网版权所有【专项】证明题【分析】（1）运用垂直的定义得AC=CEB=，则根据互余得AC+ACD0,再根据等角的余角相等得到D=BCE,然后根据“AS”可判断ADCEB，因此CD=BE，AD=CE，再运用等量代换得到D

8、E=DBE；()与（1)同样可证明DCCEB，则D=BE,ACE，于是有DEECDABE;(）与（1）同样可证明ADCEB,则C=BE，D=C,于是有E=DCE=BEA【解答】（1）证明:DMN,BE,A=CEB=90,DACD=9，ACB90，BCE+A9，DAC=BCE,在ADC和E，,ADCE（AAS）,C=BE,AD=CE，E=E+D=AD+B；()证明:与（1）同样可证明ADCCB,CD=BE，AD=CE,E=CECD=ADE;()解:D=EAD【点评】本题考察了全等三角形的鉴定与性质:鉴定三角形全等的措施有“SSS”、“SAS”、“A”、“S”；全等三角形的相应边相等5已知C中,=

9、0,BD，C分别平分ABC和AC，B、交于点O，试判断E，CD,BC的数量关系,并阐明理由.【考点】全等三角形的鉴定与性质菁优网版权所有【分析】在CB上取点G使得CG=CD，可证BOBOG,得BEBG，可证CDO,得CCG,可以求得E+CDBC.【解答】解:在BC上取点G使得CGCD，BO=10(ABC+CB）180(18060）120，O=COD=60，在OD和COG中,，CODFOG(SA）,CG=D=,G=100=60BE,在和BO中，,OEBOG（A)，BEBG,BE+=G=B.【点评】本题考察了全等三角形的鉴定，考察了全等三角形相应角、相应边相等的性质，本题中求证DCG和B=BG是解

10、题的核心.（秋西城区校级期中）已知：如图，B中，点D,分别在AB，AC边上,F是CD中点，连B交AC于点，AB+CB=180，判断BD与E的数量关系,并证明你的结论【考点】全等三角形的鉴定与性质.菁优网版权所有【专项】探究型.【分析】延长BF至点G，使FG=BF,连G,证BD，CGBD，CG=DB，求出CF=CE,推出CG=CE，即可得出答案【解答】结论:BD=CE 证明：延长F至点G,使FG=BF,连CG,F为CD中点,CFD,在GC和FD中GCB(SAS),GF=FB，G=DB，又AE+C=18，EGCEB180，CGFCEG，CG=E,=CE.【点评】本题考察了全等三角形的性质和鉴定的应

11、用 7(秋丰台区期末）已知：如图,在等腰直角三角形AC中,=，AC=C，点是BC内的一点,且DAC，若DAC3，试探究BD与CD的数量关系并加以证明【考点】正方形的性质；全等三角形的鉴定与性质;等腰三角形的性质菁优网版权所有【专项】探究型.【分析】作BC,AEA，两线相交于点E，则四边形BC是正方形,由DAC=30，得AE0，由AD=AC,得AD=A，因此，三角形A是等边三角形，可得AED=60,E=30，因此,ADCEB,可得B=D;【解答】解:B=C证明：作BBC,C,两线相交于点E,AC是等腰直角三角形，即C=BC，四边形AEC是正方形,AC=30,DAE=60,AD=C,A=A，AE是

12、等边三角形,AD60，DEB=30，在AC和ED中,ADCE（SS），BDC【点评】本题重要考察了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的鉴定与性质,作辅助线构建正方形,通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路8.已知点M是等边AB中边上任意一点(不与A、B重叠），作DN=60，交BA外角平分线于点N()求证：M=MN;(2）若点M在的延长线上,其他条件不变,结论“DM=MN”与否仍然成立?请你画出图形并证明你的结论【考点】全等三角形的鉴定与性质;等边三角形的性质菁优网版权所有【分析】(1）在AD上截取AF=A，证明DMMN即可；(2)在A的延长线上截取AF=AM，证明

13、MBN即可.【解答】证明：（1）如图，在AD上截取AFM，A是等边三角形，MF是等边三角形，=MB,DFM=12,是A外角平分线,MN=120，FM=MB,DMN=60，BMN+AMD=120，A60，FDM+AMD=10，FDM=MN，在FDM和BMN中,FDMBN（ASA）,D=（）点M在B的延长线上，如图2所示，在A的延长线上截取AF，A是等边三角形，AMF是等边三角形，DF=MB,DFM60,B是DB外角平分线,BN6,DM=MB,M=AMDM，FDM=AAD,DMN=A=0，=BMN，在FDM和BMN中，MBMN（ASA),DM=N.【点评】本题重要考察了全等三角形的鉴定与性质以及等

14、边三角形的性质,通过辅助线构造全等三角形是解决问题的核心. 9.（春闵行区期末)如图所示，在正方形ABCD中，M是的中点,是D上一点，且BAE=DA求证：AE=BC.【考点】正方形的性质;全等三角形的鉴定与性质.菁优网版权所有【专项】证明题【分析】延长AB到F,使BF=C,连接EF与BC相交于点,运用“角角边”证明BFN和EN全等,根据全等三角形相应边相等可得B=CN,E=F,再根据正方形的性质可得BADAM，然后求出BANEA，再根据等腰三角形三线合一可得AEAF,从而得证【解答】证明：如图，延长A到F,使BF=C，连接EF与B相交于点N，在BF和CE中，,BFNCEN（AS),BN=CN，

15、N=FN,又M是C的中点，BAN=DAM,BAE=2DA,BAN=EAN，既是AE的角平分线也是中线,A=F，AF=ABB,E=BC+CE【点评】本题考察了正方形的性质,全等三角形的鉴定与性质，等腰三角形三线合一的性质,难点在于作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形.10.已知：如图,ABC是正方形,DFA求证：B+DF=AE【考点】全等三角形的鉴定与性质;正方形的性质菁优网版权所有【专项】证明题.【分析】延长CB到G，使BG=F,连接AG，由四边形ACD为正方形，运用正方形的性质得到AB=AD,ABCD，D9,进而得到5=BAF=1+，AB10BC0,运用S得到三角形BG与三角形ADG全等，运

16、用全等三角形相应角相等得到=5，1=2=4，等量代换得到=A，运用等角对等边得到AE=E,由GE=BE+BG，等量代换即可得证.【解答】解：延长CB到,使B=，连接AG，四边形ABCD为正方形，AD,ABCD,DABC=9,=BAF=1+3，ABG80ABC=9，在ABG和AG中，,ABGA(A），G=5,1=2=4,G=5=+3=4+3=AG,AEG=BE+GBE+DF【点评】此题考察了全等三角形的鉴定与性质,纯熟掌握全等三角形的鉴定与性质是解本题的核心1.（秋巢湖期中）如图,CE、CB分别是AB、DC的中线，且AB=A.求证：D=2CE.【考点】全等三角形的鉴定与性质菁优网版权所有【专项】

17、证明题.【分析】延长CE到F，使CE=EF，连接FB,由EC得出相应的边角相等,进而求证FCBD,即可得出结论【解答】证明：延长E到，使EF=E,连接FBC是BC的中线,A=EB，又AEBE，AECBF,(SAS)A=EBF，C=FBAB=,AC=ACB，CBD=+ACB=EBF+BCCB；CB是ADC的中线，A=BD，又ABC,ACFB，FBD,又B=CB,CBFD(SS)，C=F=E+F=2E【点评】本题考察了全等三角形的鉴定及性质，等腰三角形的性质解决此题的核心是通过延长中线构造全等三角形考点卡片1三角形三边关系（1)三角形三边关系定理:三角形两边之和不小于第三边.（2)在运用三角形三边

18、关系鉴定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和不小于第三条线段的长度即可鉴定这三条线段能构成一种三角形（)三角形的两边差不不小于第三边.（）在波及三角形的边长或周长的计算时,注意最后要用三边关系去检查，这是一种隐藏的定期炸弹,容易忽视2.全等三角形的鉴定与性质()全等三角形的鉴定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在鉴定三角形全等时,核心是选择恰当的鉴定条件(2）在应用全等三角形的鉴定期，要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加合适辅助线构造三角形.角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意:这里的距离是指点到角

19、的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的根据，有时不必证明全等;使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直角平分线的性质语言:如图，C在OB的平分线上，CDO，EOBCD=CE 4.等腰三角形的性质(1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(2)等腰三角形的性质 等腰三角形的两腰相等 等腰三角形的两个底角相等【简称:等边对等角】 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重叠【三线合一】（)在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到此外两个元素为结论 5等边三角形的性质（1）等边三角形的定义:三

20、条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.它可以作为鉴定一种三角形与否为等边三角形的措施;可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊状况.在等边三角形中,腰和底、顶角和底角是相对而言的（2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴 .等腰直角三角形(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质，还具有等腰三角形和直角三角形的所有性质即:两个锐角都是45,斜边上中线、角平分线、斜

21、边上的高,三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径(由于等腰直角三角形的两个小角均为45,高又垂直于斜边,因此两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等)；(）若设等腰直角三角形内切圆的半径r1，则外接圆的半径R=21，因此：R=1:21.7正方形的性质(）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一种角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质 正方形的四条边都相等,四个角都是直角; 正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角; 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 两条对角线将正方形提成四个全等的等腰直角三角形,同步，正方形又是轴对称图形,有四条对称轴.