教育专题：第七讲函数的奇偶性与周期性

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1、第七讲 函数的奇偶性和周期性（学生用书 ）一、选择题1若奇函数f(x)3sin xc的定义域是a，b，则abc等于()A3B3 C0 D无法计算2(2012永州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A|f(x)|g(x)是奇函数 B|f(x)|g(x)是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 Df(x)|g(x)|是偶函数3已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且f(2x)f(2x)，则f(4)()A4 B2 C0 D不确定4(2011湖南高考)若函数 为奇函数，则a()A. B. C. D15已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x

2、)，则f(8)()A0 B1 C2 D36(2011山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x0的解集为_9(2012徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)0，求实数m的取值范围11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围12设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 016)第七讲 函数的奇偶性和周期性（教师用

3、书）一、选择题1若奇函数f(x)3sin xc的定义域是a，b，则abc等于()A3B3 C0 D无法计算解析：由于函数f(x)是奇函数，且定义域为a，b，所以ab0，又因为f(0)0，得c0，于是abc0.答案：C2(2012永州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A|f(x)|g(x)是奇函数 B|f(x)|g(x)是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 Df(x)|g(x)|是偶函数解析：设F(x)f(x)|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x)，f(x)|g(x

4、)|是偶函数答案：D3已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且f(2x)f(2x)，则f(4)()A4 B2 C0 D不确定解析：f(x)是R上的奇函数，f(0)0.f(4)f(22)f(0)0.答案：C4(2011湖南高考)若函数 为奇函数，则a()A. B. C. D1解析：法一：由已知得f(x)定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，知a.法二：f(x)是奇函数，f(x)f(x)，又f(x)，则在函数的定义域内恒成立，12a0，可得a.答案：A5已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，则f(8)()A0 B1 C2 D3解析：由题意，f(x)是4为周期的奇函数，f(

5、4)f(40)f(0)0，f(8)f(44)f(4)0.答案：A6(2011山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x0，则x0的解集为_解析：由于f(x)是偶函数，故当x0时，f(x)2x4，当x20，解得x0，解得x4.综上可知不等式解集为x|x4答案：x|x49(2012徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是_解析：f(x)是奇函数，f(1)f(1)1.又f(x)的周期为3，f(1)f(2)1.即0，解得a0或a0，求实数m的取值范围解：由f(m)f(m1)0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)又f(x)

6、在0,2上单调递减且f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数即解得1m.11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,312设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时

7、，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 016)解：(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得x2,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)f(2 016)0.f(0)f(1)f(2)f(2 016)0.