全等三角形全章复习与巩固(基础)知识讲解

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1、全等三角形全章复习与巩固（基本）【学习目的】1. 理解全等三角形的概念和性质,可以精确地辨认全等三角形中的相应元素;2.摸索三角形全等的鉴定措施，能运用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式；3.会作角的平分线,理解角的平分线的性质，能运用三角形全等证明角的平分线的性质， 会运用角的平分线的性质进行证明【知识网络】【要点梳理】【高清课堂:38814全等三角形单元复习,知识要点】一般三角形直角三角形鉴定边角边(SAS）角边角（SA）角角边（AAS）边边边（SS）两直角边相应相等一边一锐角相应相等斜边、直角边定理(）性质相应边相等，相应角相等（其她相应元素也相等,如相应边上的高相等）备注鉴定三角

2、形全等必须有一组相应边相等要点一、全等三角形的鉴定与性质要点二、全等三角形的证明思路要点三、角平分线的性质1角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角的平分线的鉴定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点,且到三边的距离相等4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段,构造全等三角形; 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明措施全等三角形是平面几何内容的基本,这是由于全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具,是解决与线段、角有关问题的一种出发点.运用全等三角

3、形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常用的几何问题.可以合适总结证明措施1.证明线段相等的措施： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等(2） 运用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.（3) 等式性质.2 证明角相等的措施：(1)运用平行线的性质进行证明(2) 证明两个角所在的两个三角形全等(3) 运用角平分线的鉴定进行证明.(4) 同角(等角)的余角(补角)相等.(5) 对顶角相等3. 证明两条线段的位置关系（平行、垂直)的措施;可通过证明两个三角形全等,得到相应角相等,再运用平行线的鉴定或垂直定义证明.4 辅助线的添加:(1）作公共边可构造全

4、等三角形；(2)倍长中线法;(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形;(）运用截长（或补短)法作旋转变换的全等三角形.5 证明三角形全等的思维措施:（1)直接运用全等三角形鉴定和证明两条线段或两个角相等,需要我们敏捷、迅速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件(）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充足时,则应根据图形的其他性质或先证明其她的两个三角形全等以补足条件. (3）如果既有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线,使之浮现全等三角形,通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质【典型例题】类型一、全等三角形的性质和鉴定1、（西城

5、区模拟)问题背景:(1）如图:在四边形ACD中,BAD,BAD=0，B=AC=，F分别是BC，C上的点.且EAF60.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.小王同窗探究此问题的措施是,延长D到点G.使G=B连结AG,先证明ABEAD，再证明AFAGF,可得出结论,她的结论应是 .摸索延伸：（2）如图,若在四边形ABCD中,ABAD,+=180.E，F分别是B，CD上的点,且A=BAD,上述结论与否仍然成立,并阐明理由【思路点拨】（1)延长FD到点G使GBE.连结G,即可证明BEDG,可得AE=AG，再证明AEFAGF,可得EF=FG,即可解题;（2）延长FD到点G使DG=BE连结A，即可

6、证明ABEDG，可得AEAG,再证明AEFAGF，可得=G,即可解题.【答案与解析】证明：(1)在和ADG中，ABEG(SA),AE=AG，BA=AG,E=AD，GA=DG+F=AE+DAF=BDAF=EF，AF=GAF,在AEF和GAF中，FAGF（SS）,EFFG，FG=DG+DF=E+DF,F=B+DF；故答案为 EF=BE+F.(2)结论E=BE+DF仍然成立；理由:延长FD到点.使DGE.连结AG，在AB和AD中,，ABDG(S),E=AG，BA=AG,AF=AD，GF=AGDF=BADA=BADEF=EAF,EAF=GAF，在AEF和GAF中,，AAGF（SAS),EFFG,FGD

7、GDFBE+F,EF=BE+DF.【总结升华】本题考察了全等三角形的鉴定，考察了全等三角形相应边相等的性质,本题中求证EAF是解题的核心举一反三:【变式】如图,已知:AAB，AAC，A，B=C，求证:B=CE【答案】证明：AAB,ADAC， E=C9 EADAE=DA+DAE ,即DAAC 在DA与EA中， DABA （ASA) BD=CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)作公共边可构造全等三角形：2、 如图:在四边形C中,ACB，ABC.求证:BD.【思路点拨】B与D不涉及在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC, AD

8、CB，ACD 2，3=4 在AC与CD中 ACA（AA) BD【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证A=C，则连接对角线BD.举一反三:【变式】在AC中,=.求证：B=C【答案】证明:过点A作ADC 在RABD与RtCD中 RtBDRtCD（HL) BC.（).倍长中线法：【高清课堂:38614 全等三角形单元复习,例8】、己知：在ABC中,AD为中线求证:D【答案与解析】证明：延长AD至E,使DE=AD, AD为中线, BDD 在AC与EDB中 ADCD(A） ACBE 在E中，AB+AE,即AB+AC2AD A【总结升华】用倍长中线法可将线段C，2AD，AB转化到

9、同一种三角形中,把分散的条件集中起来.倍长中线法事实上是绕着中点D旋转180举一反三：【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长的取值范畴是( ) A.1 6 .5 7 C. 12 .无法拟定【答案】 ；提示:倍长中线构造全等三角形,75AC.求证：BB，即C.【总结升华】作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形.举一反三：【变式】（开县二模)如图,已知,BAC=0，AB=A，BD是BC的平分线,且EB交BD延长线于点.（1)若AD=，求DC;(2）求证：=2CE【答案】解：（1）如图1,过点D作DHBC于,=C，BAC=0,BC=4，DH=,B是ABC的平分线，H=A，D;

10、(2)如图2，延长E、A相交于点,EBFF=9，ACF+F90,EBF=ACF,在AB和AC中ADAC（ASA),D=CF，在BC和BFE中,BCBF（ASA),CE=F,BD=2CE(4）.运用截长(或补短）法构造全等三角形:5、如图所示，已知AB中AB,A是BA的平分线,M是AD上任意一点,求证：M-AC【思路点拨】由于AC,因此可在AB上截取线段E=A，这时ABA，如果连接E,在ME中,显然有MB-MEA,则在上截取AC,连接E.在MBE中，MMEB（三角形两边之差不不小于第三边）.在AMC和ME中, MCAE（SAS) MCE(全等三角形的相应边相等)又 BE=AE， BE=AB-A，

11、 BC-A【总结升华】充足运用角平分线的对称性,截长补短是核心类型三、全等三角形动态型问题、如图(1）,ABBD于点B，EBD于点D，点是BD上一点且B=DE,CD=AB.（1）试判断与CE的位置关系,并阐明理由;(2)如图（2），若把CDE沿直线D向左平移,使CD的顶点与B重叠,此时第()问中与B的位置关系还成立吗？(注意字母的变化）【答案与解析】证明：（1)CC理由如下:在ABC和CDE中， ABCCDE（SS） AC.又 EE0，ACBED=90ACCE.(2） ABC各顶点的位置没动，在CE平移过程中,始终尚有,B=E,ABCEDC=0,也始终有ABC(SAS) ACBE.而E90,

12、ACB+=9.故有AC,即A与BE的位置关系仍成立【总结升华】变还是不变，就看在运动的过程中,本质条件(本题中的两三角形全等）变还是没变.本质条件变了，结论就会变;本质条件不变，仅仅是图形的位置变了.结论仍然不变举一反三：【变式】如图(1),A中,BC=A,CE中,CECD，现把两个三角形的C点重叠，且使BCA=D，连接B,AD.求证：D.若将EC绕点C旋转至图(2）,（3)所示的状况时,其他条件不变,BE与AD还相等吗?为什么? 【答案】证明:BA=CD， BCA-ECAECDECA,即BECD 在ADC与BEC中 ADCE(SS) =A. 若将EC绕点旋转至图(），（)所示的状况时,其他条件不变,E与还相等，由于还是可以通过SAS证明ADCEC