高考数学-集合与常用逻辑用语-第3讲简单的逻辑联结词

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1、第3讲 简朴的逻辑联结词、全称量词与存在量词板块一知识梳理自主学习 必备知识考点 全称量词和存在量词1.全称量词有:所有的，任意一种,任给一种,用符号“”表达；存在量词有：存在一种，至少有一种,有些,用符号“”表达.2具有全称量词的命题，叫做全称命题.“对M中任意一种，有p(x)成立” 用符号简记为：M,p()具有存在量词的命题，叫做特称命题.“存在M中元素x0，使p(0）成立”用符号简记为：0M,p(x0).考点 具有一种量词的命题的否认必会结论1.命题pq,pq，綈p的真假鉴定pqqp綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2“pq”的否认是“(綈p)（綈q)”；“p”的否认是“(綈p

2、)(綈q）”.“且”“或”“非”三个逻辑联结词，相应着集合中的“交”“并”“补”，因此具有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题解决考点自测 1.判断下列结论的正误.(对的的打“”,错误的打“”)（1)命题p为假命题，则命题p，q都是假命题.（ )(2)命题p和綈p不也许都是真命题.( )（3)若命题p,q至少有一种是真命题,则pq是真命题（ )()命题綈(pq)是假命题,则命题p，q中至少有一种是真命题()答案（1）（）(3)(）2已知命题p:x,总有(x+1)ex1，则綈p为( )A.x0,使得(1） 1x00,使得（x0+1）e xC.0,总有(x）ex1Dx0，总有(x+1）ex答案 B解

3、析 全称命题的否认是特称命题,选B项.命题“存在一种无理数，它的平方是有理数”的否认是( )A任意一种有理数，它的平方是有理数B.任意一种无理数,它的平方不是有理数C存在一种有理数，它的平方是有理数.存在一种无理数,它的平方不是有理数答案 B解析特称命题的否认规律是“变化量词,否认结论”，特称命题的否认是全称命题，选B项.4.重庆模拟已知命题p：对任意xR，总有20；q:“x1”是“x2”的充足不必要条件则下列命题为真命题的是( ）A.pq (綈）（綈q）C(綈)q D.p(綈q)答案 D解析 依题意，命题是真命题.由2x1，x12,知“x”是“2”的必要不充足条件，故命题q是假命题，则綈q是

4、真命题,（綈q)是真命题，故选D.课本改编命题“任意x1，2,2-a0”为真命题的一种充足不必要条件是( )Aa4 B.4 C5 D.a5答案 C解析 命题“任意x1,2,2-0”为真命题的充要条件是a4故其充足不必要条件是集合，)的真子集,对的选项为C.板块二 典例探究考向突破考向 具有逻辑联结词的命题的真假例1 山东高考已知命题p：xR，x10;命题：若ab2,则ab.下列命题为真命题的是（ ) B.p(綈q)C.(綈p)q .(綈p）（綈）答案解析一元二次方程x1=0的鉴别式=(-1)2-110恒成立,p为真命题,綈p为假命题.当=-1，b=-时，(-1）2-，为假命题，綈为真命题根据真

5、值表可知p(綈q)为真命题,pq，（綈p)q,(綈p)(綈q)为假命题.故选.触类旁通“q”“q”“綈p”形式命题真假的判断环节(1)拟定命题的构成形式;(2)判断其中命题p,q的真假；()拟定“pq”“pq”“綈”等形式命题的真假.【变式训练】在一次驾照考试中,甲、乙两位学员各试驾一次设命题是“甲试驾成功”,是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表达为( )A.(綈p)(綈q) p(綈q)C(綈p）(綈q) D.pq答案A解析命题“至少有一位学员没有试驾成功”涉及如下三种状况:“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功,乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”故选A.考向

6、全称命题、特称命题命题角度 全称命题、特称命题的否认例2 浙江高考命题“xR,nN,使得nx”的否认形式是( )AxR，nN*，使得nx2B.xR，N*，使得n2C.x0R,nN，使得xD.0R,n*,使得n0 BxN,xCx0R，lnx01 x0N*,sin1答案B解析 0对R恒成立,A为真；当x0时,x0不成立,B为假;存在0x0e,使ln x0（a0，1)的解集是x|x0,命题q:函数y=lg (2-xa)的定义域为，如果q为真命题,p为假命题，求实数的取值范畴解 由有关x的不等式(a0，a1)的解集是x|x0，知0a.由于pq为真命题,为假命题,因此和一真一假，即“p假q真”或“p真q

7、假”,故或解得1或0a，故实数的取值范畴是1，) 本例条件不变，若p为真，则a的取值范畴是_.答案 解析由pq为真，知p,都为真，a的取值范畴是.触类旁通根据命题真假求参数的措施环节()先根据题目条件，推出每一种命题的真假(有时不一定只有一种状况）；（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范畴;(3)最后根据每个命题的真假状况，求出参数的取值范畴.【变式训练2】命题p：R,ax+ax10，若綈是真命题，则实数a的取值范畴是( )A(，4 .0,4C.(，0，) (-,0)(，)答案D解析由于命题p：R,a+ax+1,因此命题綈p：R,axax010，则0或解得4.核心规律1.把握含逻辑联结

8、词的命题的形式，特别是字面上未浮现“或”“且”“非”字眼,要结合语句的含义理解2具有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p见真即真，pq见假即假，p与綈p真假相反3.要写一种命题的否认,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否认构造去写,否认的规律是“改量词，否结论”.满分方略1.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一种例子，为假则要证明全称命题为真.2.命题的否认与否命题的区别“否命题”是对原命题“若,则q”的条件和结论分别加以否认而得到的命题，它既否认其条件，又否认其结论；“命题的否认”即“非p”，只与否认命题p的结论.板块三启智培优破译高考题型技法系列2运

9、用逻辑推理解决实际问题全国卷甲、乙、丙、丁四位同窗一起去向教师询问成语竞赛的成绩教师说：你们四人中有2位优秀,2位良好，我目前给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对人们说：我还是不懂得我的成绩根据以上信息，则( )A.乙可以懂得四人的成绩B.丁可以懂得四人的成绩乙、丁可以懂得对方的成绩D.乙、丁可以懂得自己的成绩解题视点解决此题的核心是弄清实际问题的含义,结合数学的逻辑分析去判断真假.解析由甲说:“我还是不懂得我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法,丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时,乙为“优秀”，可得乙可以懂得自己的成

10、绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时,丁为“优秀”，可得丁可以懂得自己的成绩.故选D答案D答题启示在某些逻辑问题中，当字面上并未浮现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中弄清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题跟踪训练,b，c为三个人,命题A:“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B:“如果不是年龄最小，那么的年龄最大”都是真命题,则,b，的年龄由小到大依次是_.答案c，a,解析显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此我们应当从它们的逆否命题来看由命题A可知，当b不是最大时,则a是最小，因此最大,即cba；

11、而它的逆否命题也为真,即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真,即c.同理,由命题B为真可得acb或c.故由A与均为真可知bc,因此，b,c三人的年龄大小顺序是：b最大，次之,c最小.板块四模拟演习提能增分 级基本达标.沈阳模拟命题“xRQ，xQ”的否认是（ ）AQ，xQ BxR，xQCRQ,DxR,x3Q答案 D解析 该特称命题的否认为“RQ，x3Q”.湖北武汉调研命题“y=f(x)（x)是奇函数”的否认是( ).M，f（x）=-f(）.x,f(-x)-（x)C.xM,f（x）-(x).xM,(-x）f(x)答案D解析 命题“yf()(x)是奇函数”的否认是xM,f(-)-f(x)，故

12、选3.安徽六校素质测试设非空集合P，Q满足PQP，则( ）x,有x B，有xPCx0Q，使得x0P D.P,使得x答案B解析 由于PQP，因此PQ,因此xQ，有xP，故选.4如下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ）A锐角三角形有一种内角是钝角B.至少有一种实数,使x20C两个无理数的和必是无理数存在一种负数x,2答案 B解析 当=0时，x2=0，满足20,因此B既是特称命题又是真命题5.湖南模拟已知命题p:若y，则-xy,则x22.在命题pq；p；（綈q);（綈p)q中，真命题是( )A B . D.答案解析 当xy时,-x-y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题当xy时，x2不一定成立,

13、故命题q为假命题，从而綈q为真命题由真值表知,pq为假命题；pq为真命题；p（綈q)为真命题；（綈p)q为假命题.故选.浙江模拟命题“N*,f(n）且f(n)n”的否认形式是（ )AnN，f(）N*且（n)nnN*,（n)N*或()C.0N*,(n)N且f(n0)n0Dn0N*,（n0)*或f(0)n0答案D解析全称命题的否认是特称命题选项7下列说法对的的是( ）A.命题“若x2=1,则x1”的否命题为“若x2=,则1”B.若,，则“ab0”是“a0”的充足不必要条件C命题“x0,xx0”D若“p且q”为假命题，则p,q全是假命题答案 B解析命题“若x2=1，则x1”的否命题为“若x，则x1”

14、，因此A错误；等价于a0且b0,因此“a”是“a0”的充足不必要条件,B对的；命题“x0R,x+x010”的否认为“R，2+x0”,C错误;若“p且q”为假命题，则p，q至少有一种为假命题，错误综上所述,故选B8.已知p：0,则綈p相应的x的集合为_.答案|-1x解析p：02或x-1,綈p:-1x29河南模拟若命题“xR，使得x+ax30”为假命题，则实数的取值范畴是_答案 -2a6解析 由命题“x0R,使得x+x0a3x2C.已知a，为实数,则a+b0的充要条件是-.已知a，b为实数,则a,b是ab1的充足条件答案解析 对于，对任意R,ex0，因此A为假命题；对于B,当x=时，有x=x,因此

15、B为假命题;对于C，1的充要条件为a0且b0,因此C为假命题；对于D，当,b1时，显然有ab1,充足性成立,当=4,=时,满足ab1,但此时a1，b1，必要性不成立，因此“a，b1”是“ab”的充足不必要条件，因此D为真命题故选D2已知命题p：x0,x4;命题：x0(0，）,2x0,则下列判断对的的是（ ）.p是假命题 B.q是真命题C.p（綈)是真命题 D(綈p)q是真命题答案 C解析 p：x,x+2=4,p为真命题q:当x时,2x,q为假命题p(綈q）是真命题故选C3.已知命题：方程2-x+10有实数解，命题q：22x+对任意x恒成立.若命题q（pq)真、綈p真，则实数m的取值范畴是_答案

16、(1,2)解析由于綈真,因此假，则q假，又q(pq)真，故q真，即命题p假、q真当命题p假时,即方程x-m=0无实数解，此时m24.因此所求的m的取值范畴是124桂林模拟给定两个命题:：对任意实数x,均有ax2ax10恒成立,：函数y3xa在x0,2上有零点,如果(綈p）q为假命题,綈q为假命题，求a的取值范畴解 若p为真命题，则有或a=0,即0a，故当为真命题时，0a4.若q为真命题时,方程3a=在x0，2上有根.当x0,2时，有1x9，1a9，即当q为真命题时，1a9(綈p）q为假命题，綈p，中至少有一种为假命题.又綈q为假命题，q为真命题綈p为假命题,为真命题当,都为真时,即1a4.故所求a的取值范畴是,)5已知R,命题p：对任意0,，不等式2x-223 恒成立；命题：存在-1，1，使得max成立.(1）若p为真命题，求m的取值范畴；（2)当1，若且q为假，p或q为真，求m的取值范畴.解 ()对任意0,1，不等式x2m2m恒成立,（x-2)min2-3m即m2-3m2.解得1m2因此,若p为真命题时，m的取值范畴是1,.（)a1，且存在x-1,使得max成立，mx,命题q为真时，m1p且为假，或q为真,p,q中一种是真命题,一种是假命题.当真q假时,则解得1m2;当p假真时，即m1.综上所述,m的取值范畴为（，1）(1，2.