高等数学同济第五版第11章答案

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1、习题11 1. 写出下列级数的前五项: （）; 解. 解 . （）; 解 . 解 . (3)； 解 . 解 . (） 解 . 解 . 2. 写出下列级数的一般项: （1）; 解 一般项为. (); 解一般项为. (); 解 一般项为 (4) 解 一般项为. 3 根据级数收敛与发散的定义鉴定下列级数的收敛性： （）； 解 由于 , 因此级数发散. (2）; 解由于 ,因此级数收敛. （3）. 解 由于不存在,因此不存在,因而该级数发散. 4. 鉴定下列级数的收敛性： (1); 解 这是一种等比级数, 公比为, 于是, 因此此级数收敛. ()； 解 此级数是发散的, 这是由于如此级数收敛, 则级数

2、 也收敛, 矛盾. (3）； 解 由于级数的一般项, 因此由级数收敛的必要条件可知, 此级数发散. (4); 解 这是一种等比级数, 公比,因此此级数发散. (). 解 由于和都是收敛的等比级数,因此级数 是收敛的. 习题11-2 . 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法鉴定下列级数的收敛性: (）; 解 由于， 而级数发散, 故所给级数发散. （2)； 解由于， 而级数发散, 故所给级数发散. (）; 解 由于， 而级数收敛，故所给级数收敛. (4）; 解 由于， 而级数收敛，故所给级数收敛. () 解 由于 , 而当1时级数收敛， 当0a1时级数发散,因此级数当a1时收敛, 当0a1时发散

3、. 用比值审敛法鉴定下列级数的收敛性: (1); 解 级数的一般项为.由于 , 因此级数发散. （2）； 解 由于， 因此级数收敛 （); 解 由于,因此级数收敛. (3） 解由于,因此级数收敛. 3. 用根值审敛法鉴定下列级数的收敛性: （1); 解 由于, 因此级数收敛. (2); 解 由于,因此级数收敛. (3)； 解 由于 , 因此级数收敛. （4)， 其中ana(n)， an， , 均为正数. 解 由于, 因此当a时级数发散 4.鉴定下列级数的收敛性: (1); 解 这里， 由于 ,因此级数收敛. （); 解 这里, 由于 , 因此级数收敛. (); 解 由于, 而级数发散, 故所给

4、级数发散. (4)； 解 由于,因此级数收敛. (5); 解 由于, 因此级数发散. (6). 解 由于, 而级数发散,故所给级数发散. . 鉴定下列级数与否收敛？如果是收敛的, 是绝对收敛还是条件收敛？ (1); 解 这是一种交错级数, 其中 由于显然unun+1, 并且, 因此此级数是收敛的 又由于是p1的p级数， 是发散的， 因此原级数是条件收敛的. (2）; 解 . 由于, 因此级数是收敛的, 从而原级数收敛， 并且绝对收敛 （3); 解这是交错级数， 并且. 由于级数是收敛的, 因此原级数也收敛， 并且绝对收敛. (4); 解 这是交错级数, 其中. 由于unun+,并且, 因此此级

5、数是收敛的. 又由于， 而级数发散, 故级数发散, 从而原级数是条件收敛的. (5）. 解 级数的一般项为. 由于, 因此级数发散. 习题11-3 1. 求下列幂级数的收敛域: (1)x+2x+33+ +nxn+ ; 解 ,故收敛半径为R=1. 由于当x=1时,幂级数成为, 是发散的; 当x=-1时, 幂级数成为, 也是发散的, 因此收敛域为（-1,）. (2); 解, 故收敛半径为R=. 由于当x=1时, 幂级数成为,是收敛的;当x=-1时, 幂级数成为,也是收敛的, 因此收敛域为-1,. (3); 解 ,故收敛半径为=+, 收敛域为(-, +). (4); 解 , 故收敛半径为R=3. 由

6、于当=3时,幂级数成为,是发散的;当x=-3时, 幂级数成为, 也是收敛的, 因此收敛域为-3, 3). (5); 解 , 故收敛半径为. 由于当时, 幂级数成为,是收敛的; 当=-1时, 幂级数成为, 也是收敛的, 因此收敛域为. (6); 解 这里级数的一般项为. 由于, 由比值审敛法,当x21, 即|x|1, 即|x|1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R=. 由于当=时,幂级数成为, 是收敛的; 当x=-时,幂级数成为, 也是收敛的, 因此收敛域为-1, . (7); 解 这里级数的一般项为. 由于, 由比值审敛法, 当,即时,幂级数绝对收敛; 当, 即时, 幂级数发散,故收敛半径为.

7、由于当时,幂级数成为, 是发散的,因此收敛域为. (). 解 , 故收敛半径为R=1, 即当-1-51时级数发散. 由于当x-5=-1, 即x=4时,幂级数成为, 是收敛的; 当x-5=1, 即x=6时, 幂级数成为, 是发散的, 因此收敛域为4, 6）. 2. 运用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数: （1); 解 设和函数为(x), 即, 则 . （); 解 设和函数为S（x), 即,则 . 提示: 由得. (3). 解 设和函数为(), 即 , 则 . 提示:由得. 习题11-4 . 求函数（x)=co 的泰勒级数, 并验证它在整个数轴上收敛于这函数. 解 (=1,2, ), (n=

8、1, 2, ）,从而得f()在x处的泰勒公式 . 由于(0q1）, 而级数总是收敛的, 故, 从而. 因此 , x(-, +). 2.将下列函数展开成x的幂级数, 并求展开式成立的区间: (）; 解 由于 , （-, +）, 因此 , x(-, +),故 , (-, +). (2)ln(a+)(0); 解 由于, (-1x1),因此 (-x）. (3）ax; 解 由于, （-, +), 因此 ,x（-, +), (4)sin2; 解 由于, , x（-,+),因此 x(-, +）. (5）（+x）ln(1+x); 解 由于 (-x）,因此 （-1x1）. (6). 解由于(-1x1）,因此 （

9、-1x1). 3. 将下列函数展开成(x-1）的幂级数, 并求展开式成立的区间: (); 解 由于 .因此 , 即 . 上术级数当=0和x=时都是收敛的, 因此展开式成立的区间是, 2. (2)g x. 解 ,即 . 4. 将函数(x)=co 展开成的幂级数. 解 . 5. 将函数展开成（x-)的幂级数. 解, 即 . 6. 将函数展开成(x+)的幂级数. 解 , 而 , 即 ; , 即 . 因此 . 习题1- 1. 运用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值: ()l（误差不超过0.001）; 解, . 又 , 故 ,.因而取n=6, 此时 . (2）(误差不超过0.001）; 解 , . 由

10、于 ,故 . 因此取n=4得 . (3)(误差不超过0.0001）; 解 ， 由于 , , 故 . (4）cos (误差不超过.000）. 解 , .由于 , ,故 . 运用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值: (1）（误差不超过0.0001）； 解 . 由于 , ， , 因此 . (）(误差不超过0001) 解, .由于 , , , 因此 . .将函数ex x展开成的幂级数. 解 ， 由于, , 因此 . 因此 . 习题1-7 1. 下列周期函数f(x）的周期为, 试将f(x)展开成傅里叶级数，如果(）在-,p)上的体现式为: (1)f(x)=3x+1(-pxp）； 解 由于 , （

11、n=, 2, ), (n=, 2, ),因此f(x)的傅里叶级数展开式为 . (2)f(）=x(-pb0). 解由于 , (n=1,2, ), (=1, 2, ),因此f(x)的傅里叶级数展开式为 (2n+1）p, =0, ,2, ）. 2 将下列函数f（x)展开成傅里叶级数： ()(-p); 解 将(x)拓广为周期函数(), 则(x)在(-p,p）中持续, 在x=p间断, 且 , , 故F（x)的傅里叶级数在（-p,p)中收敛于f(x),而在x=p处F（x)的傅里叶级数不收敛于f(). 计算傅氏系数如下: 由于（-pxp)是奇函数,因此an=（n=0, 1,2, ）, (n=1, 2,),因

12、此 （xp). （2）. 解 将(x)拓广为周期函数F（）, 则F(x)在(-p,p)中持续, 在x=p间断, 且 , , 故F(x)的傅里叶级数在(-p, p)中收敛于f（x）, 而在x=p处F（x)的傅里叶级数不收敛于(）. 计算傅氏系数如下: , (n=, 2, ), （n=1,2, ）,因此 (-px）. 3. 设周期函数f（x）的周期为2p, 证明f()的傅里叶系数为 (n=0, , 2， ), (n=1, 2, ). 证明我们懂得, 若f（x)是以l为周期的持续函数, 则 的值与无关, 且, 由于(）, co nx, sin x均为以2p为周期的函数, 因此f(x)cos n, (

13、)sinx均为以2p为周期的函数, 从而 (n=1,2, ）.同理 (n=1, 2, ) 4. 将函数(-pxp)展开成傅里叶级数: 解 由于为偶函数, 故bn=0(n1, 2, ), 而 （n=1， 2, ). 由于在-p, p上持续, 因此 （-pxp). 设f(x)的周期为2p的周期函数, 它在-p, p）上的体现式这 , 将(x)展开成傅里叶级数. 解 由于(x)为奇函数, 故an=0(=0, 1, ,), 而 （n=, 2, ),又()的间断点为x=(2+1）p, n=, , 2, , 因此 （x(2n+1)p, n=, 1, , ). 6. 将函数(0xp)展开成正弦级数. 解 作

14、奇延拓得F(x）: , 再周期延拓(x)到(-, +), 则当x(, p时F(x)=f(x), . 由于an=0(=0, 1,2, ）,而 （n=1, 2, ),故 (0xp), 级数在=处收敛于0. . 将函数f(x)2x2（)分另别展开成正弦级数和余弦级数. 解 对f（x)作奇延拓, 则an=(0， 1, 2, ),而 (n=, 2, ），故正弦级数为 (0x0, s0). 解 由于 , 故由根值审敛法知, 当a时级数发散. 当=时,原级数成为, 这是p=的p-级数,当s1时级数收敛, 当s时级数发散. . 设正项级数和都收敛， 证明级数与收敛. 证明 由于和都收敛, 因此, . 又由于,

15、因此级数和级数都收敛,从而级数 也是收敛的. 4. 设级数收敛,且,问级数与否也收敛？试阐明理由. 解级数不一定收敛. 当和均为正项级数时, 级数收敛, 否则未必. 例如级数收敛, 但级数发散, 并且有 . 5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: （1); 解 是p级数. 故当1时级数是收敛的， 当1时级数发散. 因此当p时级数绝对收敛 当0时绝对收敛, 当0p时条件收敛， 当p0时发散. (2); 解 由于, 而级数收敛, 故由比较审敛法知级数收敛， 从而原级数绝对收敛. (3) ； 解 由于, 而级数发散， 故由比较审敛法知级数发散, 即原级数不是绝对收敛的. 另一方面, 级数是交错

16、级数, 且满足莱布尼茨定理的条件， 因此该级数收敛，从而原级数条件收敛. (4) 解 令 由于 ,故由比值审敛法知级数收敛, 从而原级数绝对收敛. 6求下列级限: (1); 解 显然是级数的前项部分和. 由于,因此由根值审敛法, 级数收敛, 从而部分和数列s收敛. 因此. (2). 解 . 显然是级数的前项部分和 设, 则. 由于, 因此, 从而 . 7.求下列幂级数的收敛域: (1）; 解 , 因此收敛半径为. 由于当时, 幂级数成为, 是发散的; 当时, 幂级数成为, 是收敛的, 因此幂级数的收敛域为. (）; 解, 由于,由根值审敛法, 当e|1, 时幂级数发散. 当时, 幂级数成为;

17、当时,幂级数成为. 由于 , 因此 , 因此级数和均发散, 从而收敛域为. （); 解n=(x+1)n . 由于 ,根据比值审敛法,当|x+11,即-2x1时,幂级数发散. 又当x=时,幂级数成为, 是发散的; 当x=-时, 幂级数成为, 也是发散的, 因此幂级数的收敛域为(-2,0). (4). 解 由于 , 根据比值审敛法，当, 即时， 幂级数收敛；当时， 幂级数发散. 又当时, 幂级数成为, 是发散的，因此收敛域为. 求下列幂级数的和函数： (1）； 解 设幂级数的和函数为S(）， 则 , 即 . (2); 解 设幂级数的和函数为S（x),则 . 由于当=1时， 幂级数收敛, 因此有 (

18、x)act (-1x1）. （3）； 解设幂级数的和函数为S（x), 则 , 即 . (4). 解 易知幂级数的收敛域为-1, 1. 设幂级数的和函数为S(x),则当x时 , -1, 0）(0, 1, 又显然S(0)=, 因此 . . 求下列数项级数的和: (1)； 解 . 由于,两边求导得,再求导得, 因此 , 从而 . (2). 解 . 提示: , . 0. 将下列函数展开成x的幂级数： （1）； 解 ,由于 ,|x|1, 故 (-1). （). 解 (-x2). 11. 设f()是周期为p的函数, 它在-p, p)上的体现式为 . 将f（)展开成傅里叶级数 解, ,即 (=1,2, ）, (n=1,2, ）.因此 (-x+且xnp,=0, 1,2, ). 1. 将函数 分别展开成正弦级数和余弦级数 解若将函数进行奇延拓, 则傅里叶系数为 an=0(n=,1,2, ), . 因此, 函数展开成正弦级数为 , x(, h）(h, p), 当x=h时, . 若将函数进行偶延拓, 则傅里叶系数为 , （n=1, 2, ), bn=0（=1,2, ）, . 因此,函数展开成余弦级数为 , x, h)(, p）, 当x=时, .