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1、随机信号分析 中国民航大学 焦卫东 色噪声的产生与白化滤波器 利用频域法，解决两类问题： 白噪声 色噪声 色噪声产生系统 白噪声 ()XGC ()YG 已 知()H 色噪声 白噪声 白化滤波器 ()YGC ()XG 已 知 ()H 举例（色噪声的产生） ) 1(XG 2 42 2 5 4( 9) 9 10YG 设计一稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下 输出功率谱为 22 ( 7 5 ) ( 7 5 ) () ( 1 ) ( 9 ) ( 7 5 ) ( 7 5 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) Y ss Gs ss ss s s s s 910 2549)( 24
2、2 ss ssG Y )(YG 的复频域表达式为 sj 2( ) ( ) ( ) YXG H G () ( ) ( ) () Y X G HH G () ( ) ( ) () Y X Gs H s H s Gs 分解 ()Hs ()Hs 零极点在左半平面（不含虚轴） ()Xt L ()Yt 举例（白化滤波器） ) 1(YG 2 42 2 5 4( 9) 9 10XG 设计一稳定的线性系统，输出为具有单位谱的白噪声，激励 的功率谱为 () ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) ( ) ( 7 5 ) ( 7 5 ) Y X Gs s s s s G s s s 2 42 4 9 2 5
3、() 1 0 9X sGs ss ()XG 的复频域表达式为 sj 分解 ()Hs ()Hs 零极点在左半平面（不含虚轴） ()Xt L ()Yt 白化滤波器与色噪声的产 生系统是一对可逆系统。 系统的等效噪声带宽 等效 若实际系统用一个频率响应为矩形的理想系统来代替，定义此 理想系统的带宽为等效噪声带宽 。满足以下等效原则： e 系统的等效噪声带宽是系统固有的参数，与输入信号无关。 ()Xt L ()Yt 输入为同一白噪声时，理想系统与实际系统的输出平均功率 相等。 理想系统的增益与实际系统的最大增益相等。 ( ) ( )I M A XH K H IYPP 等效原则 低通系统 带通系统 等效
4、 等效 m a x( ) ( 0 )K H H 0m a x( ) ( )K H H 系统等效噪声带宽的计算 ()Xt ()ht ()Yt 设输入随机信号 X(t)为理想白噪声，功率谱密度为 0 2 N 实际系统的输出功率 YP 201 () | ( ) | 42Y YGd N Hd P 频域法 时域法 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 YX X R R h h N R 00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )22Y NNR h h h u h u du 20 0 ()2( 0)Y Y N dR h u u P 帕萨瓦尔定理 可互求 系统等效噪声带宽的计算 ()Xt
5、 ()Iht ()Yt理想系统的输出功率 IP 2 02011 ( ) 2 22 22YeI I eNGd NK K P频域法 m a x()HK 等效原则 IYPP 2 2 m a x 0 | ( ) | ()e Hd H 2 0 2 m a x () ()e h u du H 0 2 m a x() 2 Y e N H P 时域法 频域法 举例 （ 系统等效噪声带宽 ） 1( ) ( )bth t be U t b RC ， 其 中 R C)(tX )(tY 1() 1/H jb ( 3 )b D B 实际系统传递函数的最大值 m a x( ) ( 0 ) 1HH 低通系统 输入单位白噪声
6、时，实际系统输出的平均功率 2 2 2 2 00 0 (0 ) ( ) 02 2 2b u b uYY b b bR h u d u b e d u e P 0 2N 2 m a x 2() e Y b H P P154结论 3DB带宽（复习） 这是一个低通的 RC电路， 3DB带宽（半功率带宽）如下： ( ) ( )bth t b e U t 1() 1/H jb 22 22() bH b 2 m a x( ) 1H 2 22 1 2 b b 半 功 率 点 1b RC 1 22 Cf R b 等效 信号的等效噪声带宽 ()Xt ()ht ()Yt 带宽是系统固有的参数，信号也有带宽的概念。
7、 对于某个已知的随机信号 Y(t)，其等效噪声带宽可以看成是 得到 Y(t)的色噪声产生系统的带宽。 问题的转移 ：通过求系统等效噪 声带宽来求信号等效噪声带宽。 ()H () ( ) 1 Y X G G 已 知 e 1() 1H j 1() 1Hs s ,12e b 2 1() 1YG 举例 2 2 m a x 0 | ( ) | ()e Hd H 线性系统输出端随机信号的概率分布 高斯 分布 线性系统 高斯 分布 结论 1： 近似为 高斯分布 线性系统 任意 分布 结论 2： e 信 号 条件： 在中心极限定理的应用中，一般只要有 7 10个独立随机变量 和的分布，就可以近似为高斯分布。由
8、此推出，一般当信号功 率谱的等效噪声带宽 系统的带宽时，就可 以将系统输出看作为高斯过程。 (7 1 0 )e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tY t X h t d X h t d )(h oT 结论 2的证明 ()Xt ()ht ()Yt 0 1 ( ) ( ) l im ( ) ( )t tT n i i i i i n X h t d X h t t )( th )(X Tt i21 )( iX )()( 1 iii XX Y(t)是 n个随机变量 的和，据中心极限定理 “ 大量 的， 独立 的随机变量和的分布 趋向高斯分布 ” 。 )( iX iTn 独立的要求 0 0 (
9、) ( ) ( ) ( ) ii ii ii ii XX XX 当 采 样 间 隔 相 关 时 间 时 ， 状 态 和 近 似 不 相 关 。 若 状 态 和， 近 似 独 立 。 i Tn 由图可得，求和的数目 “ 什么条件 可以使 Y(t)成为 大量 的， 独立 的随机变量和？ ” 结论 2的证明 ( ) ( )iXX 对 进 行 采 样 随 机 变 量 大量的要求 0iT 时域： e信 号 频域： 1T T 系 统 响 应 时 间 与 通 频 带 成 反 比 , 00 1 e e 信 号 的 相 关 时 间 与 等 效 噪 声 带 宽 成 反 比 , 随机信号通过线性系统 线性系统的基本理论 时域法 频域法 色噪声和白噪声的产生 白噪声通过线性系统 习题 必做题 4-10 4-12 4-14 改题：等效噪声带宽为 XH MHz。 4-18 选做题 4-11 4-16 XH表示学号的最后两位 例： 040420524同学 XH 24 本来无望的事，大胆尝试，往往能成功。
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