理想气体分子平均相对速率公式的一种推导方法

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1、理想气体分子平均相对速率公式的一种推导方法理想气体遵循麦克斯韦速率分布f(v)=4n(2常)3e-mv2，每个分子的速度大小 不同。我们无法确切指出某个分子的速度大小，但我们可以认为某个分子的速率 落在v到v+dv区间内的概率为f(v)dv。考察两个分子1和2的相对速率，假设1和2的速率分别为u和v。u和v的 方向都不确定，我们可以假设u的方向固定，而v的方向任意。如图所示，u的方 向固定于y轴，v由原点(圆心)o指向半径为v的球面的任一点。由余弦定理，角度为。时，u和v合成的速率V= u2 + V2 + 2uvcos0那么当。取遍0到2n时，V的平均恤=:u2 + V2 + 2uvcos9

2、2ne 。=1 n u2 + v2 + 2uvcos0 sin 9d9=(u+v)3- u-v 32 6uv此时，先假定u不变，分子2的速率分布为附)=4兀(4康-22n kT=Cv2e-入v2其中 C = 4n(土)2,入=户那么两分子平均相对速率V = +8 V f(v)dv= u3u2+2 Cv2e-入v2dv+ +8 2+3 Cv2e-入v2dv100 3uu 3v再考虑u也遵循麦克斯韦速率分布，则最终两分子的平均相对速率u= J8 V1f(u)du=0+8 Cu2e-入u2 du ； 3u2+v2 Cv 2e-入v2 dv+ J8 Cu2e-入u2 du +8 u2+3v2 Cv 2

3、e-入v2 dv 两项积分式分别对应vu的情况，由对称性(第一项中u, v互换就得第二项)， 两项数值相等，即 0+8 Cu2e-入 u2du ；3u2+v2 Cv2e-入 v2dv= + OT Cu2e-入 u2du +OT u2+3v2 Cv 2 e-A v2 dv故有u=2 0+8 Cu2 e-入u2 du +8 u2+3v2 Cv 2e-入v2 dv=2C2 0+8u2e-入u2 du +8 v(u2+3v2)e-入v2 dv2C2 + 8u2e-入u2 dug(u)*30其中，g u = +8 v(u2 + 3v2)e-入v2 dv=u2 +8ve-Av2dv+3 +8 v3e-Av2dv=u2 (工)e-入v2 +8)+3( Av2+1 e-入v2)2入u2入2uu2e-入u2 + 3(入u2+1)e-入u2 = 4Au2+3e-入u22入2入22入2代入*式，得u=2 C 2 +8 u2 e-入u2 du 4腥2+3 e-入u2302 入 2=B(4入 +8 u4e-2 入u2 du + 3 +8 u2 e-2 入u2 du)3 入2oo利用高斯公式，得u=（4入3+3 1）=4 空3入282入54 2入38入3 入将C与入的值代入，u= 16kT= 2v。