中学数学核心概念教学设计基本模式的研究

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1、衢州市名师课题结题报告课题名称中学数学核心概念教学设计基本模式的研究课题负责人吴光耀负责人所在单位浙江省衢州高级中学（324006）目录（一）“中学数学核心概念教学设计基本模式的研究”课题结题报告1.课题研究的理论意义和实践意义 32.课题相关概念的界定 43.课题研究的内容及预期目标 44.课题研究的主要内容、重点、难点和基本过程 55.课题研究的主要成果（详情参见附件） 6（二）附件附件1：中学数学核心概念教学设计基本模式的心理学分析 7附件2：课题组教师发表与课题相关的论文情况 11附件3：核心概念函数概念的教学设计 12附件4：核心概念变化率问题的教学设计 17附件5：核心概念数学归纳

2、法的教学设计 20 “中学数学核心概念教学设计基本模式的研究”课题结题报告浙江省衢州高级中学 吴光耀 324006一、课题研究的现实背景和意义奥苏贝尔在意义言语学习心理学一书中提出的同化理论，他认为，同化是意义学习的心理机制同化这一概念，最初是由皮亚杰提出的皮亚杰用同化和顺化来说明儿童认知发展的内部机制同化是个体把客体纳入已有的图式之中，这只能引起图式的量的变化；顺应是指个体因环境作用而引起的原有图式的变化，以适应外界环境的过程奥苏贝尔对同化这个概念赋予了特定的内涵随着高中数学新课程改革的不断深入，我们发现：部分数学教师在课堂教学上没有抓住数学概念的核心进行教学，教学中没有前后一致、贯穿始终的

3、数学思想主线，学生经常在没有对数学概念有基本了解的情况下就盲目进行大运动量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在一些无关大局的细枝末节上耗费学生的宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”学生花费大量时间学数学，完成了无数次解题训练，但他们的数学基础仍非常脆弱尽管我国数学教学质量随着新课程改革的不断深入而有所改观，但要极大地提高我国数学的教学质量，探索出一套适合中国国情的、适合新课程标准的中学数学核心概念教学设计的基本模式已迫在眉睫首先，数学概念是抽象化的空间形式和数量关系,是反映数学对象本质属性的思维形式,脱离了数学概念,便无法进行数学思维,也无法构成数学思想和数学方法.数学中

4、的每一个判断,每一种推理都是在数学概念的基础上进行；数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式它的产生一般说有两种情形：一种是直接从客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到；另外一种是在已有的数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而成的概念是思维的单位，反映一类事物的特征，是整个数学知识结构的基础，是判断选择推理的重要依据；数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映，是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高数学解题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓其次，核心是指中心，主要部分顾名思义，中学数学核心概念是指中学数学概念中主要的中心的部分而教学设计是应用

5、系统方法分析研究教学的问题和需求，确定解决它们的教学策略、教学方法和教学步骤，并对教学结果作出评价的一种计划过程与操作程序那么，什么是模式？简单说来，模式类似于定式，就是遇到反复出现的同一问题时所固定使用的解决方案使核心概念的教学设计模式在数学课堂中得到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手，因为在双基的教学中，使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法的真谛，学会数学地思维，这样才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养因此，本课题研究的重点是探索中学数学核心概念教学设计基本模式的形成过程，难点是中学数学核心概念教

6、学设计基本模式的分类及应用长期以来，不少教师重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节的现象，我们提出的新课程标准下的中学数学核心概念教学设计基本模式的研究中学数学核心概念教学设计基本模式的研究，对中学数学教学研究有示范作用，能有效地促进中学数学教师的专业化发展和教学能力的提高对一线数学教师而言，这是个紧迫且具有较强的现实意义与实际背景的课题二、课题相关概念的界定1核心概念从心理学的角度看，核心概念是同人们的分类行为紧密相连的奥苏伯尔认为核心概念是符号（具有一般意义的词）所代表的具有共同标准属性的对象、事件、情景或性质核心概念是指一个根本的、重要的概念核心概念具备基础性、系统性、联系性、全局性和一

7、致性等五个特性基础性是指具有丰富内涵的概念，是系统发展的起点；系统性是指系统按一定的关系组成的同类事物的整体；联系性是指不仅引领整个系统知识块的发生、发展和深化，而且随着系统的深入，概念的内涵变得更加丰富；全局性是概念的外延在系统知识块的整个局面来看是生长的，具有预见性；一致性是指不会因为系统知识块的发生、发展、深化而产生分歧2教学设计教学设计是运用系统方法对各种课程资源进行有机整合，对教学过程中相互联系的各个部分做出整体安排的一种构想，即为达到教学目标，对教什么、怎样教以及达到什么结果所进行的策划；是“一种系统设计、实施和评价学与教全部过程的方法”（加涅）那么，如何从事中学数学核心概念的教学

8、设计，就新课程而言，中学数学核心概念教学的基本目标是使学生通过中学数学核心概念的学习，促进自身的整体发展；中学数学核心概念教学设计的基本目的是帮助学生进行有效的学习尽管任何形式的中学数学核心概念的教学活动都可能使学生得到发展，但系统的中学数学核心概念教学设计会使每一位学生都有最充分地运用自己的潜能去获得发展的机会，从而极大地影响他们对中学数学核心概念的学习效果三、研究的内容及预期目标1研究的内容以普通高中数学课程标准为理论依据，在研究分析人民教育出版社普通高中数学A版教材中的核心概念的基础上，经过重复试验，修改，形成中学数学核心概念教学设计的基本模式，并推广应用具体内容从三个方面去把握：（1）

9、收集人民教育出版社普通高中数学A版教材中的核心概念，根据中学数学核心概念的形成与中学数学核心概念的同化的不同特点进行分类中学数学核心概念的形成是学习者在对客观事物的反复感知，并在分析、类比、抽象概括的基础上，概括出某一类事物的本质属性，从而获得中学数学核心概念的方式 中学数学核心概念的同化是指在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出中学数学核心概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的有关中学数学核心概念相联系和掌握中学数学核心概念的方式（2）分析人民教育出版社普通高中数学A版教材中的核心概念教学设计的基本模式主要从核心概念的形成与核心概念的同化两个方面进行分析其中中

10、学数学核心概念的形成可以概括为以下几个阶段：辨别不同的刺激模式在教学环境下，这些刺激模式可以是学生自己感知过的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的事例分化和类化各种刺激模式的属性各种具体刺激模式的属性不一定是共同属性，为了找出共同属性，就需要将从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较提出和验证假设一般来说，事物的共同属性不一定是本质属性，因此，在中学数学核心概念的学习过程中，学生首先要提出各个刺激模式的本质属性的假设，然后在特定的情景中检验假设以确认出中学数学核心概念的本质属性把中学数学新的核心概念从以前学过的相关数学旧的核心概念中分离出来，把中学数学新的核心概念的本质属性推广到这个类目的一

11、切例子，这个过程实际上是明确中学数学核心概念的外延的过程，也是中学数学新的核心概念与其他数学旧的核心概念相区别的过程用符合习惯的数学语言和数学符号表示中学数学核心概念，即形式化中学数学核心概念同化的方式可以概括为以下几个阶段：辨认同化建立新的核心概念与原有核心概念实质性的联系，把新的核心概念纳入到已有的认知结构中，使新的核心概念被赋予一定的意义强化通过辨认中学数学核心概念的肯定和否定的例子，使新的核心概念和原有核心概念精确化（3）形成人民教育出版社普通高中数学A版教材中的核心概念教学设计基本模式，基本模式在实践中的应用2预期目标本课题研究的目的在于以科研促进教学，促进教师发展，大面积提高教育教

12、学质量根据中学数学核心概念形成模式的操作程序形成教学设计；根据中学数学核心概念同化模式的操作程序形成教学设计预期目标：教师通过对中学数学核心概念教学设计基本模式的研究和课堂教学的实施，提高教学质量；教师通过课堂教学实践，进一步完善教学设计基本模式四、课题研究的主要内容、重点、难点和基本过程1课题研究的主要内容1.1 核心概念函数概念的教学设计；1.2 核心概念变化率问题的教学设计；1.3 核心概念数学归纳法（第一课时）的教学设计；2课题研究的重点在中学数学核心概念形成的过程中，引导学生从特殊事物中抽象概括出一般性的结论，引导学生学会从定性分析到定量分析，学会用数学语言(包括文字语言、符号语言和

13、图形语言)表达核心概念是本课题研究的重点3课题研究的难点3.1 在中学数学核心概念的教学设计中，讲背景使得核心概念的引入成为必需；3.2 在中学数学核心概念的教学设计中，要体现概念教学的螺旋式上升的过程4课题研究的基本过程4.1 课题研究的时间和课题研究的材料从2007年开始,历时两年教材选用人教版普通高中课程标准实验教科书.4.2 课题研究的对象课题组确定的研究对象是16个班级共800名学生参与课题研究的教师4名，衢州市教研室数学教研员1名4.3 课题研究的程序4.3.1 学习阶段组织课题组全体教师学习了中学数学核心概念教学设计的有关文献资料，认真听取有关专家的讲座，共同探讨，不断提高课题组

14、教师的理论水平与研究能力4.3.2 课题研究的原则中学数学核心概念教学设计的目的是发挥核心概念教学上的优势，探讨适应高中数学教学实际的中学数学核心概念教学设计的基本模式，促进教学效率的提高为了达到上述目的，我们在进行中学数学核心概念教学设计时，采用以下原则：自主性原则中学数学核心概念教学设计要立足于能力的培养，要鼓励学生自主地，充分地进行探索，尝试，进行发现式学习，做学习的主人活动性原则中学数学核心概念教学设计要善于将数学教学内容融入活动之中，实行任务驱动教学，让学生在活动的过程中进行体验学习反思性原则中学数学核心概念教学设计在实施的过程中要及时进行总结反思或评价考核，有效地控制教学进程，教师

15、根据反馈信息，掌握情况，发现问题，采取措施，及时解决，学生要利用反馈信息，随时调节，强化自己的学习行为4.3.3 结题阶段两年来，课题组形成了中学数学核心概念教学设计的基本模式；形成了中学数学核心概念教学设计基本模式的心理学分析完成了一些核心概念的教学设计. 经过优化的课堂教学设计有利于培养学生的数学素养，有效地改进了学生的学习方式，提高了学生的学习效率，很好地完成了数学教育教学任务和功能课题组人员完成课题研究情况：吴光耀：组织课题研究的具体实施，完成方案设计和报告撰写李世杰：理论指导何豪明：资料整理舒燕芳：课题实施 徐维风：课题实施五、课题研究的主要成果通过两年的中学数学核心概念教学设计的研

16、究，我们探索并完成了中学数学核心概念教学设计的心理学模式，以及该模式在实践中的具体应用，完成了“核心概念函数概念的教学设计”、完成了“核心概念变化率问题的教学设计”、完成了“核心概念数学归纳法（第一课时）的教学设计”，培养了一支骨干队伍，为在更大范围内开展研究工作积累了丰富的经验和大量的案例，为本校及衢州市进一步培养适应新课改要求的高中数学教师队伍打下了坚实的基础，这是一项数学课程改革的开创性、奠基性工作其主要成果详请参见附件参考文献：1 曹才翰，章建跃中学数学教学概论北京师范大学出版社2008年4月2 钱佩玲，马 波等高中数学新课程教学法高等教育出版社2007年3月3 周小山，雷开泉等新课程

17、视野中的数学教育四川大学出版社2003年11月4 韩际清等高中数学新课程理念与教学实践商务印书馆出版2007年2月5 刘儒德对信息技术与课程整合问题的思考课程教材教法2004年10月6 高 文基于信息技术的课程与教学改革课程教材教法2003年6月7 潘小明试论信息技术与数学课程的整合策略数学通报2003年7月8 王佑镁信息技术与学习变革，现代教育技术2003年3月9 王旭媚信息技术与数学学科教学整合的尝试与思考数学教育学报2004年5月10 何 克信息技术与课程整合的目标与意义教育研究2003年8月11 傅德荣信息技术与课程整合的目标与方法中小学信息技术教育2003年10月12 鲁正火谈中小学

18、信息技术课程理念电化教育研究2001年第10期附件1中学数学核心概念教学设计基本模式的心理学分析中学数学核心概念是中学数学知识的细胞，是中学数学知识思维的单元，是学生在学习中学数学中赖以思维的基础中学数学核心概念反映的是客观事物的空间形式与数量关系方面的本质属性，是用数学语言揭示事物共同属性即本质属性的思维形式因此，中学数学核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，注重体现核心概念的来龙去脉在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出核心概念的过程，在初步运用中逐步理解核心概念的本质1获得中学数学核心概念的心理学分析中学数学核心概念是中学数学知识的基本单元从理解的层面看，掌握中学数学核心概念不仅要

19、简单地用数学语言将中学数学核心概念表述出来，而是真正理解中学数学核心概念的内涵和外延，表现为能对中学数学对象进行识别和归类，用自己能够接受和可以储存的形式对中学数学核心概念的本质属性或特征进行理解中学数学核心概念的获得有两种基本模式：中学数学核心概念形成的模式与中学数学核心概念同化的模式1.1中学数学核心概念形成的模式中学数学核心概念形成是学习者在对客观事物的反复感知，并在分析、类比、抽象、概括的基础上，概括出某一类事物的本质属性，从而获得核心概念的模式以中学数学核心概念形成的模式获得中学数学核心概念的心理活动过程可以分为以下六个阶段：辨别不同的刺激模式在教学环境下，这些刺激模式可以是学生自己

20、感知过的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的事例分化和类化各种刺激模式的属性，并综合出共同属性各种具体刺激模式的属性不一定是共同属性，为了找出共同属性，就需要将从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较提出和验证假设一般来说，事物的共同属性不一定是本质属性，因此，在中学数学核心概念的学习过程中，学生首先要提出各个刺激模式的本质属性的假设，然后在特定的情景中检验假设以确认出中学数学核心概念的本质属性把中学数学新的核心概念从以前学过的相关数学旧的核心概念中分离出来，把中学数学新的核心概念的本质属性推广到这个类目的一切例子，这个过程实际上是明确中学数学核心概念外延的过程，也是中学数学新的核心概念与其

21、它数学旧的核心概念相区别的过程用符合习惯的数学语言和数学符号表示中学数学核心概念，即形式化具体运用中学数学核心概念，使学生完成由抽象到具体的认知活动，自觉地把所学的概念及时纳入到相应的概念体系中去，使有关概念融会贯通形成整体结构中学数学核心概念形成是以学生的直接经验为基础，在教师指导下自行发现中学数学核心概念的本质属性的一种有意义学习他对学生的心理水平要求不高，但比较费时这种方式较适合抽象层次低，处于中学数学核心概念体系基础的少数重要核心概念的学习在中学数学核心概念形成的学习过程中，起主要作用的智力活动方式是观察、分析综合、比较、形式化和具体化其中观察、分析综合是基础，抽象概括是关键学生能否在

22、观察分析的基础上抽象出核心概念的本质属性并概括出核心概念的定义，是这种学习方式成败的关键，也是区分学生的学习是否为有意义学习的关键点为了提高学习的质量，教师应注意选择那些刺激强度大，具有典型性、新颖性的实例，引导学生进行深入细致的观察，进行科学的抽象和概括，避免非本质的属性得到强化，还应及时引导学生对新旧核心概念进行精确区分、分化，以形成良好的认知结构1.2中学数学核心概念同化的模式中学数学核心概念同化是指在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出中学数学核心概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的有关中学数学核心概念相联系，从而使学生获得中学数学核心概念的模式以中学

23、数学核心概念同化模式获得中学数学核心概念的心理活动过程可以分为以下四个阶段：辨认、比较正反实例，确认新的中学数学核心概念的本质属性同化建立新的中学数学核心概念与原有有关核心概念实质性的联系，把新的中学数学核心概念纳入到已有的认知结构中，使新的中学数学核心概念被赋予一定的意义强化通过辨认新的中学数学核心概念肯定和否定的例子，使新的中学数学核心概念和原有有关核心概念精确分化具体应用新的中学数学核心概念通过各种形式运用新的中学数学核心概念，使学生进一步加深理解，完成由抽象到具体的认识过程，使有关核心概念融会贯通形成整体结构中学数学核心概念同化是以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，直接接受和理解

24、教师所提供的材料的一种有意义学习它要求学生具备较为丰富的知识经验，并具有积极思维的能力和较高的心理活动水平，是学习一般中学数学核心概念的最主要的方式在中学数学核心概念同化的学习过程中，起主要作用的智力活动方式是观察、分析、系统化、比较、具体化，其中系统化是关键学生能否在观察新核心概念的定义、名称和符号的基础上，明确新旧核心概念内的关系并精确分化，建立起与原有相关核心概念的联系，融合到原有认知结构之中，形成一个新的知识体系，是学习成败的关键这种学习必须以新核心概念对学习者构成潜在意义为前提，否则不能构成有意义学习2确定中学数学核心概念教学设计的心理学模式根据中学数学核心概念学习原理，提出以下中学

25、数学核心概念教学设计的心理学模式2.1中学数学核心概念形成的心理学模式2.1.1以概念形成模式获得中学数学核心概念的心理活动的程序框图教师提供核心概念的正例学生概括出正例的共同的本质的属性（讨论、观察、思考）师生共同归纳出正例的本质属性给出核心概念的定义学生举出核心概念的正例 教师举出核心概念的反例核心概念的应用形成核心概念域（系） 2.1.2 中学数学核心概念“函数”概念形成模式的教学设计案例实例1：炮弹发射时间与高度的关系，归结为数集与的对应关系实例2：臭氧层空洞的面积随时间变化情况，归结为数集与的对应关系引导学生观察思考例子的共性，回答表中恩格尔系数和时间（年）的关系进而设置思考题“分析

26、、归纳三个实例，它们有什么共同特点？”师生共同归纳上述几个实例的共性，得到：对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有惟一确定的和它对应给出中学数学核心概念函数概念的定义强化中学数学核心概念函数的概念要求学生举出函数的实例，如，等；教师举出反例说明，如等；数形结合，分析图像，如下面的图像是不是函数的图像：中学数学核心概念应用与形成核心概念域（转入函数概念相关命题的学习）为了提高以概念形成模式获得中学数学核心概念的学习质量，应注意选择那些刺激强度大，具有典型性、新颖性的实例，引导学生进行深入细致的观察，进行科学的抽象和概括，避免非本质的属性得到强化，还应及时引导学生对新旧核心概念进行精确

27、区分、分化，以形成良好的认知结构此类型的中学数学核心概念的教学是从已有知识和实例出发，再抽象为严格化的定义2.2 中学数学核心概念同化的心理学模式2.2.1以概念同化模式获得中学数学核心概念的心理活动的程序框图呈现先行组织者给出核心概念的定义核心概念的辨认、剖析与同化强化核心概念核心概念的应用2.2.2 中学数学核心概念“直线与平面垂直”概念形成模式的教学设计案例呈现学生已经习得的生活中的例子（呈现先行组织者），如旗杆与地面的位置关系、大桥的桥柱与水面的位置关系等等给出直线与平面垂直的定义辨认、剖析核心概念区别“任意一条”与“无数条”的关系，把直线与平面平行与垂直作一比较，从而完善直线与平面位

28、置关系的认知体系强化核心概念除定义外，如何判断一条直线与平面平行？进一步研究直线与平面垂直核心概念直线与平面垂直的应用形成核心概念系此类型中学数学核心概念教学是通过案例来学习它的思想和方法，理解其意义和作用在实际教学过程中，不能单纯使用某一种方式来学习中学数学核心概念只用核心概念形成方式来学习，显然时间上不允许，而仅用核心概念同化方式来学习，由于中学数学核心概念的高度抽象性和概括性的特点，学生也难以把握形式化的中学数学核心概念背后的丰富材料，难以把握核心概念的本质属性况且，中学数学核心概念形成中的智力活动是开发学生智力、提高学生数学素养的有效途径因此，教学中应把两种获得中学数学核心概念的方式综

29、合使用，扬长避短，互相补充，使教学效果达到最佳状态总之，中学数学核心概念教学是高中数学教学的重要组成部分，在新课程标准下的中学数学核心概念教学，其地位尤为突出因此，我们一定要在中学数学核心概念学习原理的指导下，按照中学生的认知规律进行中学数学核心概念的教学设计附件2：课题组教师发表与课题相关的论文情况1.上海中学数学2007年第10期简约中蕴含深刻听核心概念和思想方法视野下的“函数”一课有感李世杰，何豪明，吴光耀2.中国数学教育2007年第6期新课引入教学设计案例的选择原则以“等比数列前n项和（第一课时）”的引入为例何豪明3. 中国数学教育2008年第5期中学数学核心概念教学设计基本模式的心理

30、学分析何豪明，吴光耀4. 中国数学教育2009年第5期让思维动起来数学课堂教学效率最大化的思考何豪明，吴光耀5.中学生数学2009年第6期茎叶图何豪明6.中小学数学（高中版）2008年第4期常用逻辑用语的教学反思何豪明7.中学数学教与学2007年第12期人教版数学教材（A版）使用过程中的困惑与对策何豪明，吴光耀，孙亦器8.中学教研（数学）2007年第11期剖析十个关键点 学好算法初步何豪明，张金良9.教学月刊（中学版）2008年第8期“椭圆”内容的引入教学设计例说何豪明10.中国数学教育2008年第10期“导数及其应用（第一课时）”教学反思何豪明11.中国数学教育2008年第10期围绕核心 凸

31、现本质对核心概念思想方法视野下教学设计的思考李世杰12.中国数学教育2009年第4期围绕核心内容的生成使课堂教学更有效李世杰13数学教学通讯(教师版).2009年第1期对基本事件的再认识. 鲁林富. 14中小学数学(高中版).2009年第4期体验随机试验，感悟概率本质.鲁林富. 15中小学数学(高中版).2009年第5期一例程序框图的教学思考.鲁林富. 16中小学数学(高中版).2009年第10期数学归纳法（第一课时）教学设计及反思.何豪明. 17.中学数学教学参考2009年第12期椭圆和双曲线第二定义教学情况调查分析及思考吴光耀附件3函数第一课时教学设计1内容和内容解析函数概念图形语言文字语

32、言符号语言文字语言：即用集合与对应的语言理解函数概念；图形语言：即用图形揭示函数概念的本质；符号语言：即通过对的理解，进一步认识函数的三要素函数知识是学好数学后继知识的基础和工具学生在初中阶段已学过把函数看成变量之间依赖关系的基础上，通过分析具体实例，抽象概括出用集合与对应的语言来刻画函数概念教学重点：在学生把函数看成变量之间依赖关系的基础上，体会集合与对应语言在刻画函数中的作用，使学生认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型2目标和目标解析通过分析三个实例，让学生进一步理解函数是描述变量之间依赖关系的一种数学模型，并学会用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中所

33、发挥的作用通过分析三个实例，让学生了解构成函数的三要素，掌握一些简单函数定义域的求法，熟练掌握函数的函数值通过阅读三个实例，让学生学会用数学的眼光看现实事物，进行数学抽象与概括，初步体验实际问题数学化的过程，体会由特殊到一般，由具体到抽象等数学思想方法3教学问题诊断分析分析例1，理解函数概念中“A、B是非空数集”的含义，感知函数的表示法：列表法；理解函数概念中“A中任何一个元素对应B中唯一的元素”的含义，感知函数的表示法：解析法；分析例2，理解直线x=a与图中曲线至多只有一个交点是判断曲线是否为函数图象的依据，感知函数的表示法：图象法理解函数的三要素：定义域、对应关系和值域值域由定义域和对应关

34、系确定，定义域和对应关系完全一致的两个函数相等学生容易将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值分析例3和例4，让学生在比较判断中进行体会、理解正确理解函数符号的意义，即“对定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”通过三个实例教学，让学生逐渐认识和理解函数符号的内涵，从而突破难点教学难点：学生对函数概念的整体性认识和抽象的函数符号的理解4教学支持条件分析从学生熟悉的三个实例出发，通过对函数解析式和图表进行定量分析，对函数图象进行定性分析，从中体会到两个变量之间的依赖关系，体会特殊到一般的思维过程既关注学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，符合学生的认知规

35、律函数概念意义建构的两个层面：一是通过对三个实例的主动探索，形成对函数概念的主动建构；二是通过思维构造把函数概念用数学的文字语言、符号语言和图形语言加以描述这需要以下两方面条件的支持才能较好地完成：（1）学生方面：学生是教学的主体，解决教学中的重点问题，需要教师创设恰当的情境，适时提出恰当的问题引导，让学生参与讨论使学生在原有认知基础上，把函数看成变量之间的依赖关系等进行建构（2）多媒体方面：在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合得到充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的数学思想方法5教学过程设计51设计情景，引入新课实例1本学期你们寝室的长和宽各5米，下学期把你们调换

36、到长增加2米，宽减少2米的寝室你们愿意吗？请说明理由考虑周长的学生说愿意，考虑面积的学生说不愿意 图1 设长增加米，宽减少米，则面积增加（或减少）的长度的变化范围是数集，面积S的变化范围是数集实例2据新华社2002年3月12日电，图1显示1985年到2000年间，我国农村人均居住面积随时间的变化而变化的情况时间的变化是数集,人均居住面积的变化是数集实例3下表是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值的变化情况身高（cm）6080100120140160体重（kg）6.139.9915.0220.9231.1147.25某地未成年男性体重平均值随身高增加而增加,身高变化体重的变化是数集三个实例说明

37、了当一个量(如长宽,时间和身高)变化时,另一个量(如面积,人均居住面积和体重)也随之变化这就是初中用来描述两个变量之间的依赖关系的函数,今天我们进一步研究函数的知识(板书课题：函数的概念)设计目的:根据教材内容,恰当处理教材,选择学生身边的素材作为新课引入的实例,利用简单的熟悉的问题情境激发学生学习的积级性,让学生在迫切要求下学习“从最简单的情形开始!”是笛卡儿的名言，也是体现自主探索，合作交流的教学活动的精髓与座右铭52 意义建构，讲解新课通过对三个实例的分析，你能说出它们的异同点吗？（异质分组，小组讨论）不同点：例1是用解析式刻画变量之间的对应关系；例2是用图象刻画变量之间的对应关系；例3

38、是用表格刻画变量之间的对应关系共同点：1两个都是非空数集；2两个数集之间都有一种确定的对应关系其实，解析式、图象、表格都是一种对应关系函数的概念：设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数，记作，其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域设计目的：培养由具体到抽象的概括思维能力一般化，数学理解的最高境界强调：对的理解，作为一个整体，它是一种符号，可以是解析式，如例1；可以是图象，如例2；可以是表格，如例3定义中集合是非空数集对于的每一个值，按某个

39、确定的对应关系，都有唯一的值与它对应分组讨论函数和的定义域，对应关系，值域分组讨论：函数定义中有几个要素？如何判定两个给定变量间是否具有函数关系？板书函数的三要素：定义域，对应关系和值域强调：值域由定义域和对应关系唯一确定；函数记号表示“是的函数”，而不是“等于与的乘积”例1判断下列对应是否为函数：（1）已知集合，集合，对应关系如下表：你我他石头剪子布123246（2）已知集合，集合，对应关系如上表：（3），；（4），这里,，解：（1）不是数集，（1）不表示函数（2）都是非空的数集，且对于任意一个，被唯一确定，且，（2）是函数（3）对于任意一个非零实数,被唯一确定，当时，是函数（4），,即给定

40、一个,和它对应的有二个，()不是函数函数的判断方法：“两个非空数集，一个对应关系，中任一对中唯一”设计目的：抽象问题具体化，有利于学生对事物本质的认识同时触及学生情绪和意志领域的教学法有利于发挥高度有效的作用例2.判断下列图象是否为函数的图象y y x （1） （2）解：（1）图中任一对唯一，即直线与图中曲线只有一个交点，是函数的图象（2）图中任意一个的值对应两个、一个或零个的值，即直线与图中曲线有两个交点的可能不是函数的图象设计目的：抽象的函数概念转化为具体图形语言，在研究图象时，注意代数刻画以求思考和表述的精确性，即通过直线与曲线有一个或零个交点形象生动地描述函数概念例3已知函数,（1）求

41、函数的定义域；（2）求,的值；（3）当时，求的值解：（1），且，即,定义域是（2），（3）,；设计目的:（1）求函数定义域的方法：开偶次方根其根号下面非负；分母不为零（2）理解和：表示当时函数的值，是一个常量；而是自变量的函数，一般情况下，它是一个变量，是的一个特殊值例4 下列函数中哪个与函数相等？(1)；（2）；（3）；(4)解：（1）函数定义域与不相等这个函数与不相等（2）函数与的定义域和对应关系相同，是同一函数（3）函数与对应关系不相同，这个函数与不相等（4）函数与函数定义域不相同，这个函数与不相等设计目的：(1)通过判断函数是否相等认识函数的整体性值得注意的是，在函数的三个要素中，由于

42、值域由定义域和对应关系确定，所以只要两个函数的定义域和对应关系完全一致，这两个函数就相等(2)进一步加深对函数概念的理解53 课堂练习，深化理解1.函数的定义域，对应关系和值域各是什么？请用函数的定义进行描述2.判断下列对应是否为函数（1）高一（1）班的每一个学生对应高一（1）班的每一个座位；（2）某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，列表表示如下：笔记本数12345钱 数 5101520253.已知集合,下列各对应关系不是函数的是（ ）A、 B、 C、 D、4.课本P22，练习15.课本P22，练习26.课本P22练习3教学建议：函数概念讲解后做课堂练习1；例1讲解后做课堂练习2；例2讲

43、解后做课堂练习3；例3讲解后做课堂练习4、6；例4讲解后做课堂练习5设计目的：根据维果斯基的最近发展区理论，在学生学习用集合与对应的语言刻画出函数概念的基础上，通过练习题给学生搭建思维平台，缩小学生认知水平与认知目标之间的差异，提高单位时间的教学效率54 课堂小结，总结提高 主要内容：函数的概念，函数的定义域，对应关系和值域等概念；函数相等的概念主要方法：观察与归纳的思想方法、定义法55 布置作业，巩固知识课本P28-29习题1.2组第1、2、4题；组第1题附件4：“变化率问题”教学设计与教学反思一、内容和内容解析内容：均变化率的概念及其求法.内容解析：本节课是人教A版普通高中课程标准实验教科

44、书数学（选修2-2）第一章“导数及其应用” 的第一节“变化率与导数”中的“变化率问题”.本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透.教学重点：函数平均变化率的概念.二、目标和目标解析目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤.目标解析：(1)经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想

45、，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.(2)通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想.(3)通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念.三、教学问题诊断分析吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单.从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键.教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念.四、教学支持条件分析为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等

46、. (1)在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想.(2)通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律.五、教学过程设计1.章引言师生共同学习本章的章引言.设计意图：充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣.2.形成

47、概念问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 假设资本在单位时间的扩张速度保持不变，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景.师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题.问题2：大家可能都有过吹气球的回忆.在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景.师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解

48、释上述现象.思考：当空气容量从增加到时,气球的平均膨胀率是多少?设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想为归纳函数平均变化率概念作铺垫师生活动：教师播放多媒体，学生直接回答问题，教师板书其正确答案.问题3：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 (单位:m)与起跳后的时间 (单位:s) 存在函数关系，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: （1）在这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在这段时间里, 运动员的平均速度为多少？设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以

49、减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰.通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景.师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.说明第（2）问的答案的物理意义.探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像的过程体现了数形结合的数学思想方法.师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.说明答案的物理意义（可以结合图像说明）.思考：当运动员起跳后的时

50、间从增加到时,运动员的平均速度是多少?设计意图：把问题3中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想,为归纳函数平均变化率概念作铺垫.师生活动：教师播放多媒体，学生直接回答问题，教师板书其正确答案.通过引导,使学生逐步归纳出问题2和问题3的共性.定义：一般地,函数 中，式子称为函数从到的平均变化率.其中令，则.设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想.思考：（1）的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？设计意图：加深对概念内涵的理解.师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果.思考：观察函数f(x)的图象,平均变化率表示什么?（图略）设计意图：从几何角

51、度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想.3.应用举例课堂练习1：求下列函数的平均变化率：（1） （2）设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律.师生活动：教师适当点拨，学生口答.例.求函数的平均变化率.解：课堂练习2：设圆的面积为s,半径为r,求面积s关于半径r的平均变化率.设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤.从课堂练习1到例题,再到课堂练习2,体现了由易到难、由特殊到一般的数学思想. 师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：（1）作差;（2）作商.最后请一位同学板演，其余学生

52、在草稿上练习.4.总结提高（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？（3）这节课主要用了哪些数学思想？师生活动：最后师生共同归纳总结函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想(从特殊到一般，数形结合).设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构.六、目标检测设计（1）课本第10页习题1.1A组第1题.（2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：“变化率的应用” 、“数学来源于生活” 、“生活中的平均变化率问题”. （3）备选作业：已知函数，求的值.设计意图：对一般学生

53、布置第（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识.附件5：数学归纳法（第一课时）教学设计一、内容和内容解析“数学归纳法”是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）中的内容，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命题的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时

54、命题成立；（2）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条（设是正整数的一个子集，且它具有下列性质：；若，则那么是全体正整数的集合，即）也叫做归纳公理设是一个与正整数有关的命题，我们把使成立的所有正整数组成的集合记为，如果要证明对于所有正整数都成立，只要证明即可为此，根据归纳公理，首先证明（数学归纳法中的第一步“归纳奠基”正是进行这样的证明）；其次证明若，则（数学归纳法中的第二步“归纳递推”正是进行这样的证明）这样即可得到，从而证明了命题对于一切正整数都成立不难看出归纳公理是数学

55、归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当时命题成立，利用这个假设，如果能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有的正整数，命题都成立. 也就是说，当时命题成立，可以推出时命题成立，当时命题成立，可以推出时命题成立，即命题真命题真命题真命题真因此可知命题对于从开始的所有正整数都成立数学归纳法的思维模式是：“观察归纳猜想证明”数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题二、目标和目标解析本节课

56、的目标是借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题，在证明过程中，要分“两个步骤和一个结论”其中第一步是归纳奠基，只需验证取第一个值（这里是使结论有意义的最小的正整数，它不一定是1，可以是2，或取别的正整数）时命题成立；第二步是归纳递推，就是要证明命题的传递性把第一步的结论和第二步的结论联系起来，才可以断定命题对所有的正整数都成立因此，用数学归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个总的结论否则，还不能算是已经证明完毕所以，严格地说，用数学归纳法证明命题的完整过程应该是“两个步骤和一个结论”用类比的方法，类比多米诺骨牌游戏和数学归纳法，将

57、一块“骨牌”对应一个“命题”，某块骨牌 “倒下”对应某个命题“成立”，从而培养学生的类比推理能力三、教学问题诊断分析教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明为此，课堂教学中采用两条线索突破教学难点一条是主线：“提出问题分析问题解决问题”；另一条是暗线：“课堂提问的规则根据学号提问，并依次从小号

58、到大号”在这个过程中让学生体会第一步的第一个值不一定是1，如第一个被提问的学生是2号，则下一个被提问的学生一定是3号四、教学支持条件分析在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础因此，教学时应该充分注意这一教学条件，引导学生对数学归纳法本质的理解利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，这就是数学归纳法的证明

59、步骤另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果五、教学过程设计1.从思考题中引入课题思考题：已知数列的第1项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明分析：逐一验证是不可能的那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法数学归纳法”【设计意图】 应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察归纳猜想证明”2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【设计意图】 通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1: 摆放好多米诺骨牌，推倒第1块骨牌，观察发生的结果？思考游戏2: 摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】 在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这