求解电场强度13种方法(附例的题目)

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1、求解电场强度方法分类赏析一.必会的基本方法：1 .运用电场强度定义式求解例1.质量为m、电荷量为q的质点，在静电力作用下以恒定速率v沿圆弧从A点运动 到B点,，其速度方向改变的角度为6 （弧度），AB弧长为s,求AB弧中点的场强E。【解析】：质点在静电力作用下做匀速圆周运动，则其所需的向心力由位于圆心处的点工一.,.，工，V2s电荷产生电场力提供。由牛顿第二定律可得电场力F =F向=m；。由几何关系有r =-,所以F= m卫，根据电场强度的定义有E =-=竺虫。方向沿半径方向，指向由sq qs场源电荷的电性来决定。2 .运用电场强度与电场差关系和等分法求解例2 （2012安徽卷）.如图1-1所

2、示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强 电场，其中坐标原点O处的电势为0V，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强 度的大小为AA. 200V /mB. 200（3u /mC. 100 V / mD. 100%克 / mtu(cm)虾D)状cm)vCrti I Oc（1）在匀强电场中两点间的电势差U = Ed，d为两点沿电场强度方向的距离。在一些 非强电场中可以通过取微元或等效的方法来进行求解。（2若已知匀强电场三点电势，则利用“等分法”找出等势点，画出等势面，确定电场 线，再由匀强电场的大小与电势差的关系求解。3 .运用“电场叠加原理”求解例3（2010海南）.如右图2

3、，M、N和P是以MN为直径的半圈弧上的三点，O点为半圆 弧的圆心，ZMOP = 60。.电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为气；若将N点处的点电荷移至P则O点的场场强大小变为气，气与气之比为BA. 1:2 B. 2:1C. 2:寸3D. 4:寸3二.必备的特殊方法：4 .运用平衡转化法求解例4. 一金属球原来不带电，现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆MN,如图3所示。金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上a、b、c 三点的场强大小分别为匕、Eb、Ec，三者相比（ ）A. Ea最大B. Eb最大 C. Ea最大D. E= Eb= E【解析】：导体处于

4、静电平衡时，其内部的电场强度处处为零，故在球内任意点，感应 电荷所产生的电场强度应与带电细杆MN在该点产生的电场强度大小相等，方向相反。均匀 带电细杆MN可看成是由无数点电荷组成的。a、b、c三点中，c点到各个点电荷的距离最近， 即细杆在c点产生的场强最大，因此，球上感应电荷产生电场的场强c点最大。故正确选项 为C。点评：求解感应电荷产生的电场在导体内部的场强，转化为求解场电荷在导体内部的 场强问题，即E感=-E外（负号表示方向相反）。5 .运用“对称法”（又称“镜像法”）求解例5. （2013新课标I）如图4, 一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在 垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有

5、a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为 R,在a点处有一电荷量为q （qO）的固定点电荷.已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为（k为静电力常量）A.k 三B. k 土R29R2C. k三D. k三砂9R2【解析】：点电荷+q在b点场强为E1、薄板在b点场强为E2, b点场强为零是E1与E2 叠加引起的，且两者在此处产生的电场强度大小相等，方向相反，大小E1 = E2 = R。根据对称性可知，均匀薄板在d处所形成的电场强度大小也为E2,方向水平向左；点电荷在d点场强E3 =kq(3R )2方向水平向左。根据叠加原理可知，d点场E = E +E = d 2310kq9 R 2点

6、评：对称法是利用带电体电荷分布具有对称性，或带电体产生的电场具有对称性的特点来求合电场强度的方法。通常有中心对称、轴对称等。例7如图6所示，在一个接地均匀导体球的右侧P 点距球心的距离为d,球半径为R.。在P点放置一个电荷 量为+q的点电荷。试求导体球感应电荷在P点的电场强 度大小。析与解：如图6所示，感应电荷在球上分布不均匀， 靠近P 一侧较密，关于OP对称，因此感应电荷的等效分 布点在OP连线上一点P。设Pz距离O为r,导体球接地，故球心O处电势为零。根据kq电势叠加原理可知,导体表面感应电荷总电荷量Q在O点引起的电势与点电荷q在O点引导 起的电势之和为零，即 + = 0,即感应电荷量Q

7、= -Rq。同理，Q与q在球面上任 d Rd意点引起的电势叠加之后也为零,即. 螳=.，其R 2 一 2Rr cos a+ r 2 R 2 一 2Rd cos a + d 2中a为球面上任意一点与O连线和OP的夹角，具有任意性。将。代入上式并进行数学变换 后得d2r2 - R4 = (2Rr& - 2R，d)cosa，由于对于任意a角，该式都成立，因此，r满足R 2的关系是r = 丁。dkqQkdRq 2.根据库仑定律可知感应电荷与电荷q间的相互作用力F = ,严、= 一。根 (d - r)2 (d2 R2)2据电场强度定义可知感应电荷在P点所产生的电场强度E =-二/ , 光 。q (d2

8、-R2)26 .运用“等效法”求解例6. (2013安徽卷).如图5所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z 0的空间为真空。将电荷为q的点电荷置于z轴上z=h处，则在xOy平面上会产 生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。=一 ”， h ，一 ，皿已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z = 5处的场强大小为(k为静电力常量)4q4q32q40qA. kB. kC. k D. kh29h 29h29h 2【解析】：求金属板和点电荷产生的合场强，显然用现在的公式直接求解比较困难。能 否用中学所学的知识灵活地迁移而解决呢？当然可以。由于x

9、Oy平面是无穷大导体的表面， 电势为0,而一对等量异号的电荷在其连线的中垂线上电势也为0,因而可以联想成图6中 所示的两个等量异号电荷组成的静电场等效替代原电场。根据电场叠加原理，容易求得hq 1 40q ，一一 右z = 点的场强，E = k + k= k，故选项D正确。2(h )2(竺)29h 22点评：(1)等效法的实质在效果相同的情况下，利用问题中某些相似或相同效果进行知 识迁移的解决问题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。h4q(2)本题也可以用排除法求解.仅点电荷q在Z =-处产生的场强就是k卢，而合场2h2强一定大于k取，符合的选项只有D正确。例6如图5 (a)所示，距无

10、限大金属板正前方l处，有正点电荷q,金属板接地。求 距金属板d处a点的场强E (点电荷q与a连线垂直于金属板)。析与解：a点场强E是点电荷q与带电金属板 产生的场强的矢量和。画出点电荷与平行金属板 间的电场线并分析其的疏密程度及弯曲特征，会 发现其形状与等量异种点电荷电场中的电场线分 布相似，金属板位于连线中垂线上，其电势为零， 设想金属板左侧与+q对称处放点电荷-q, 果与+q及金属板间的电场效果相同。因此， 左侧对称地用-q等效替代金属板，如图5其效 在+q (b)(a)(b)+q所示。所以，a点电场强度Ea = kq土 +7运用“微元法”求解例7. (2006-甘肃).ab是长为l的均匀

11、带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点， 位置如图7所示.ab上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1,在P2处的场强大小为E2.则 以下说法正确的是(A两处的电场方向相同,E1E2B两处的电场方向相反,E1E2C两处的电场方向相同,E1 VE2D两处的电场方向相反,E1 VE2由于细杆均匀带电，我们取整个杆对于P1点的电场，仅【解析】：将均匀带电细杆等分为很多段，每段可看作点电荷, a关于P1的对称点a,则a与a关于P1点的电场互相抵消, 仅相对于a b部分对于P1的产生电场.而对于P2,却是整个杆都对其有作用，所以，P2点 的场强大.设细杆带正电根据场的叠加，这些点电荷在P1的合

12、场强方向向左，在P2的合场 强方向向右，且E1VE2.故选D.点评：(1)因为只学过点电荷的电场或者匀强电场，而对于杆产生的电场却没有学过，因而 需要将杆看成是由若干个点构成，再进行矢量合成.(2)微元法就是将研究对象分割成许多微小的单位，或从研究对象上选取某一 “微元”加 以分析，找出每一个微元的性质与规律，然后通过累积求和的方式求出整体的性质与规律。 严格的说，微分法是利用微积分的思想处理物理问题的一种思想方法(a)(b)例8如图7 (a)所示，一个半径为R的均匀带电细圆环，总量为Q。求圆环在其轴线上与环心 O距离为r处的P产生的场强。析与解：圆环上的每一部分电荷在P点都产生电场，整个圆环

13、在P所建立电场的场强 等于各部分电荷所产生场强的叠加。如图7(b)在圆环上取微元其所带电荷量Aq =Q 、一戛在P点产生的场强：2兀Rkq _kQMr2 + R2 - 2兀R(r 2 + R2)整个圆环在P点产生的电场强度为所有微元产生的场强矢量和。根据对称性原理可， 所有微元在P点产生场强沿垂直于轴线方向的分量相互抵消，所以整个圆环在P点产生场中 各微元产生的场强沿轴线方向分量之和，即r:r 2 + R 2 v(r 2 + R 2)3kQrkQMEp = Ec0Se = 2 2兀R(r2 + R2)8.运用“割补法求解例8.如图8所示，用长为L的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽

14、度 为d的间隙，且d远远小于r,将电量为Q的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。【解析】：假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度 与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀 分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷 可视为两个相应点的点电荷，它们在圆心O处产生的电场叠加后合场强为零。 根据对称性可知，带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆心O处的场强E1 是可求的。若题中待求场强为E2,则E1+ E2 = 0。设原缺口环所带电荷的线密度为P, P=Q/(2兀r-d),则补上的那一小段金属丝带电量Q=P，在0处的场强E1 = KQ/r2, 由匕

15、槌2=0可得：E2=-E1,负号表示E2 与 E1反向, 背向圆心向左。例9如图8 (a)所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分 移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电。试比较A，点与A点电场强度的大小。析与解：如图8 (b)所示，球冠上正电荷在A，点产生的电场强度为E1、球层面上正 电荷在A点产生电场强度为号。球冠与球层两部分不规则带电体产生的电场强度，无法用所学公式直接进行计算或比较。于是，需要通过补偿创造出一个可以运用已知规律进行比较的条件。(C)在球层表面附着一个与原来完全相同的带正电半球体，如图8 (c)所示，显然由叠加 原理可知，在A点产生电场强度E3E2

16、。若将球冠与补偿后的球缺组成一个完整球体，则 则均匀带电球体内电场强度处处为零可知，弓与E3大小相等，方向相反。由此可以判断，球冠面电荷在A，点产生的电场强度为E大于球层面电荷在A点产生电场强度弓。9运用“极值法”求解例9.如图9所示，两带电量增色为+Q的点电荷相距2L, MN是两电荷连线的中垂线， 求MN上场强的最大值。【解析】：用极限分析法可知，两电荷间的中点O处的场强为零，在中垂线MN处的无穷 远处电场也为零，所以MN上必有场强的最大值。最常规方法找出所求量的函数表达式，再 求极值。点评：物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理、 定律求解。数学型则是在根

17、据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。本题属于 数学型极值法，对数学能力要求较高，求极值时要巧妙采用数学方法才能解得。10运用“极限法”求解例10 （2012安徽卷）.如图11-1所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为 。，其轴线上任意一点P （坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求x 一出：E = 2兀k1-（r2+尤2）2 ，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为。的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r圆板，在Q处形成的场强为E = 2兀kb。的圆版，如 图11-2所示。则圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x）的电场强度为A.2兀ke0 (r2 + x

18、2)1/2B.2兀ke0 (r2 + x2 )1/2xC.2 兀 ke 0 r-, rD. 2兀ke 0x【解析1】：由题中信息可得单位面积带电量为e 0无限大均匀带电平板，可看成是RT8的圆板，在Q处形成的场强为E = 2兀ke。而挖去的半径为r的圆板在Q点形成的场强为 0图 11-1图 11-2E = 2兀ke 1- 一 ,则带电圆板剩余部分在Q点形成的场强为 0（r 2 + x 2 ）1/2E - E = 2兀ke 。正确选项：A0 （r2 + x2）1/2【解析2】：RT8的圆板，在Q处形成的场强为E = 2兀ke。当挖去圆板10时，坐标x 0处的场强应为E = 2兀ke0，将r=0代

19、入选项，只有A符合。点评：极限思维法是一种科学的思维方法，在物理学研究中有广泛的应用。我们可以将该物 理量或它的变化过程和现象外推到该区域内的极限情况（或极端值），使物理问题的本质迅速 暴露出来，再根据己知的经验事实很快得出规律性的认识或正确的判断。11.运用“图像法”求解例11（2011北京理综）.静电场方向平行于x轴，其电势中随x的分布可简化为如图12所示的折线，图中6。和d为已知量。一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心，）由轴方向做周期 性运动。已知该粒子质量为m、电量为-q，其动能与电势能之和为一A （OAq60）。忽略重 力。求：（1）粒子所受电场力的大小。【解析】：（1）由图可知

20、，0与d （或-d）两点间的电势差为乳爬电场强度的大小E =、电场力的大小F = qE = 0d图12点评：物理图线的斜率，其大小为k二纵轴量的变化量/横轴量的变化量。但对于不同的 具体问题,k的物理意义并不相同。描述电荷在电场中受到的电场力F与电量q关系的F-q 图像的斜率表示电场强度，同样，电势对电场方向位移图像的斜率也表示场强。12.运用“类比法求解例10如图9 （a）所示，ab是半径为r的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，电场（a）（b）图8强度为E。在圆周平面内，将一电荷量为q的 带正电小球从a点以相同的动能抛出，抛出方 向不同时，小球会经过圆周上不同的点。在这些 点中，到达c点时小

21、球的动能最大。已知/cab 二30。若不计重力和空气阻力，试求： 电场的方向与弦ab间的夹角。若小球在a点时初速度方向与电场方 向垂直，则小球恰好落在c点时的动能为多大。析与解：求解电场强度方向问题看起来 简单但有时是比较复杂而困难的。本题中，在匀强电场中，仅电场力做功，不计重力，则电 势能与动能之和保持不变。在两个等势面间电势差最大，则动能变化量最大。因此，小球到 达c点时小球的动能最大，则ac间电势最大。根据重力场类比，可知c点为其最低点，电 场方向与等势面垂直，由“重力”竖直向下可以类比，出电场方向沿方向，与弦ac夹角 为 30。 若小球在a点初速度方向与电场方向垂直，则小球将做类平抛运

22、动，由图9 （b）可知,ad = rcos30再二？- r、cd = r(1 + sin30 ) 2小球在初速度方向上做匀速运动,其初速度v0二从a到c,qE 1加速度a=-,cd二云at2。ad。在电场万向上做匀加速运动,t由动能定理有qE cd =Ek - 2 mv02，联立上述方程解得小球落到c点动能,13为 Ek 二互qEr。13.综合运用力学规律求解例13.在水平方向的匀强电场中，有一带电微粒质量为m,电量为q,从A点以初速v0 竖直向上射入电场，到达最高点B时的速度大小为2、，如图13所示。不计空气阻力。试求 该电场的场强E。【解析】：带电微粒能达到最高点，隐含微粒的重力不能忽略的条件。因此，微粒在运 动过程中受到竖直向下的重力mg和水平向右的电场力qE。微粒在水平 二方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动。到达最高点 *B点时，竖直分速度vy=0，设所用的时间为t，运用动量定理的分量式：叫 水平方向上qEt = m(2v0) - 0、a竖直方向上mgt = 0 - ( - mv0),图13解得:E =2mg/q。点评：带电粒子或带电体在复合电场中的运动时，受到电场力与其他力的作 用而运动，运动过程复杂，因此解题过程中要综合分析物体的受力状况与初始条 件，然后选择相应的物理规律进行求解。