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1、第三章F关系与聚类分析一、 关系1 直积（笛卡尔积）2关系现实世界中存在各种各样的关系“父子关系”，“师生关系”，“数的大于等于关系”特点：涉及两个集合，与或者有关系，或者没关系，这就是普通关系。定义1 给定论域，规定一个到的关系（记作），对任意，与有关系，记作，与无关系记作，二者必居其一，且仅居其一。定义1 （等价定义）若，则称为到的关系。例1 “大于等于“关系，记作“”，3常用性质（上的关系）（1）自反 （2）对称 （3）传递 4分类（聚类）问题（1）（2） 二、F关系的定义和性质1定义1 称的一个模糊子集确定了一个到的模糊关系（记作），隶属度表示与有关系的程度。“朋友”关系，“信任”关系
2、，“相像”关系例1实数域上的“远远大于”关系，记作“”，隶书函数定义为：例2 设某地区身高论域，体重论域，下表给出了一个表示身高与体重之间相互关系，它是一个模糊关系。140150160170180400.90.70.60.30.1500.70.90.80.50.2600.60.610.80.4700.30.30.810.7800.10.20.40.712关系与运算由于F关系也是F集，所以F集之间的关系、运算以及性质对它一样成立。如：其中，称为截关系。并称为在水平上有关系，否则称为无关系。3F矩阵，（1）定义1设以为第行，第列元素构成的矩阵称为F矩阵，记作 。F矩阵也是普通矩阵，它表示从到的一个
3、F关系，元素代表有关系的程度。（2）性质92页7条（与13页对比）；93页性质1-性质5。例1设则三、F关系的对称性与自反性1对称（1）定义定义1定义，则称为的转置关系。当论域有限时，上面定义为为的转置矩阵。定义2若，则称为对称矩阵（模糊关系）。例1设是对称矩阵。举对称模糊关系和非对称模糊关系“朋友”？“相像”？“信任”？（2）转置关系性质；，则是对称的；，对称，则由性质，得，包含的对称矩阵一定包含，故是包含的最小对称矩阵。（3）对称闭包定义3 包含具有对称性的最小模糊关系称为的对称闭包，记作。，且是对称的（4）对称闭包求法性质和说明是的对称闭包。即1自反关系（1） 定义4 若则称为上的自反（
4、模糊）关系。论域有限时称为自反（模糊）矩阵。是自反矩阵其中为单位矩阵。（2） 自反闭包定义5 包含具有自反性的最小模糊关系称为自反闭包，记为。，且是自反的（3） 自反闭包求法3截矩阵（1）定义6 设，记其中则称为的截矩阵。截矩阵就表示截关系。可以类似定义。例 2 设若取，则若取，则（2）性质注意：四、F关系的合成1定义例1 设表示一群人, 表示“兄弟”关系，表示“父子”关系。若且，那么与有什么关系？“叔侄”关系。反之，若与有叔侄关系，则必存在使且。在这个例子中，“叔侄”关系由“兄弟”关系和“父子”关系确定的新关系，或者说由和运算得到。 新关系： 用特征函数表示和，的关系，则有：推广到模糊关系情
5、况，有下面定义：定义1 设，对的合成就是从到的一个F关系，记作，隶属函数定义为：“叔侄”关系=“兄弟”关系合成“父子关系”，即定义2 当，记例2设则其中例2设则其中：即2性质结合律：证因为 因此 #推论其中：0为零关系为恒等关系 （上的关系）（对分配）证所以类似地 #分配律对任意并也成立。即对任意指标集,有分配律对交成立吗？例3 设，但所以因此事实上，对任意交仅有包含关系，没有等式成立。设，则证只要证两边矩阵元素相等即可。左边行列为1的充分必要条件是右边行列为1，从而两边相等。推论证设，按转置关系定义，有因此推论定理1设，则证根据分解定理3，只须证明因为所以类似可证五、F关系的传递性例1 朋友
6、关系 0.8 乙 0.4甲 丁 0.6 丙 0.8甲与丁：0.4（通过乙） 0.6（通过丙）甲与丁：大于等于0.6-传 小于0.6-不传1定义1设，若，则称是传递关系。等价定义：设，如果，具有传递性，则称是传递关系。举例：传递关系远远大于，朋友 不具备传递性的关系熟悉，信任，2传递闭包定义2 设，包含的最小的传递关系称为的传递闭包，记作或。用数学语言描述则为：（1），（2） ，（3）传递，则称为的传递闭包，记。3求法定理2设，则 证（自己证）定理3证必要性充分性由，得故因为所以同理可证对一切，有故 而因此 定理4设只有个元素，则例1设，求。解定理5设是自反矩阵，则证由于是自反矩阵，故 ,按定理4和定理1，有做法：练习： 2，4，7，9，11，13，15，18，22，23，24
模糊数学讲稿4 (1)
