变系数常微分方程的解法探讨[教学知识]

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1、目 录1 引言12 一阶变系数常微分方程的解法探讨12.1 变系数一阶微分方程的几个可积类型12.2 应用举例43 二阶变系数线性微分方程的解法探讨53.1 用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解63.1.1 对变系数线性二阶微分方程 特解的探索63.1.2 确定 的通解73.1.3 用常数变易法确定 的特解 83.1.4 应用举例83.2 二阶变系数线性微分方程的积分因子解法93.2.1 关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论93.2.2 讨论如何求出 103.2.3 应用举例103.3 二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法113.3.1 利用自变量的变换实现常系数化113.3

2、.2 利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化123.3.3 应用举例134 三阶变系数线性微分方程的解法探讨144.1 方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件144.2 应用举例16结束语17参考文献17致谢17变系数常微分方程的解法探讨数学计算机学院数学与应用数学专业2013届 余小艳摘 要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法. 本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件. 又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解范围. 关键词

3、：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换中图分类号：O175.1Discussion on the Solution of Ordinary Differential Equation with Variable CoefficientAbstract: So far, there hasnt been an established method on how to solve Ordinary Differential Equation (ODE) with Variable Coefficients. This paper presents some methods of s

4、olving the second order linear ODE with variable coefficients by means of searching special solution and variable transformation, etc. This paper also gives an introduction to the necessary and sufficient conditions of first order linear ODE and 3 rd order linear ODE with variable coefficient that c

5、an be translated into constant coefficients. Moreover, we give some examples to illustrate the feasibility of these methods. Hence, the results effectively extend the solvable for the variable coefficient differential equations. Key words: variable coefficients ordinary differential equations；second

6、 order differential equations with variable coefficients；general solutions；variable transformation练题变系数常微分方程的解法探讨1 引言常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科,并且在求解问题,模型,指导实践中有着极为广泛的应用. 二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中一类常见的方程，但迄今为止，二阶变系数常微分方程的通解问题在数学领域内并没有解决. 变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，因此，研究变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的理论意义和应用价值. 众所周知，变系

7、数一阶微分方程具有一般的解法，由于在理论研究和实际应用中出现有大量的二阶及三阶以上的高阶变系数线性微分方程，因此，近年来数学领域内对高阶变系数线性微分方程求解方程的研究，并取得了一些成果. 本文在总结变系数一阶常微分方程解法的同时，着重就二阶及三阶变系数线性微分方程的求法进行了探讨，最后又给出了这些解法的应用及推广. 2一阶变系数常微分方程的解法探讨 2.1变系数一阶微分方程的几个可积类型对于一阶常微分方程我们常用解法有：分离变量法，变量替换法，积分因子法 ，常数变易法等.在此，主要讨论变系数一阶微分方程的几个可积类型. 为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数一阶微分方程的标准形式为： (2

8、.1)定理2.12 设. 如果等式 (2.2) 在I上成立（k为常数），则方程 (2.3)是可积的. 证明 令 ,则 (2.4)将（2.2），（2.4）代入（2.3），得,. 属于可分离变量型，而V可由（2.4）解出，所以方程（2.2）是可积的. 推论2.1 设为常数，则方程 (2.5)是可积的.在定理2.1中，令,则,即得推论2.1. 利用推论2.1，可以用化归为可分离变量型的求解方法，统一处理有关类型的一阶方程.(1) 奇次方程 (2.6)是（2.5）式，当时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.6）式化归为可分离变量型来求解. (2) 线性一阶方程 (2.7)是(2.5)式，当时的特例.

9、由定理2.1，可令,将（2.7）化归为来求解，其中. (3) Bernoulli 方程 . (2.8)这是（2.5）式，在时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.8）化归为可分离变量型来求解. 推论2.2 设如果存在常数,使得 (2.9)成立，则Riccati方程 (2.10)是可积的. 证明 将（2.9）式变形为令 它是Brinoulli方程的通解.显然，. 在定理2.1中，令,应用定理2.1（此时定理中的），知方程即（2.10）是可积的. 推论2.3 为常数，则一阶微分方程 是可积的，其中为常数. 在定理2.1中，令即可得推论2.3.定理2.2 设为常数，则方程 （2.11）是可积的. 证

10、明 令则（2.11）可变形为.由定理2.1推论2.1，知（2.11）是可积的. 推论2.4 设为常数，则下列方程都是可积的. .在（2.11）中，令分别等于即得结论. 2.2 应用举例例2.1 解方程 (2.12)解 将（2.11）变形为,. 由定理2.1，推论2.1知，可令(2.12)可化为两边积分，得(2.12)的通解为例2.2 解方程 (2.13)解 取，容易验证条件（2.9）是满足的. 由定理2.1，推论2.2知，故（2.13）可积. 令 （2.13）变形为两边积分，得为任意常数. 令则为任意常数为（2.13）的通解. 3 二阶变系数线性微分方程的解法探讨3.1 用求特解的方法求二阶变

11、系数线性微分方程的解众所周知，的通解为其中，,且线性独立. 引理3.13 若为之解，则仍为之解，且时，为的通解. 引理3.2 若为之一特解，则为之通解. 关键性的问题是如何找的两线性无关的解和的特解. 3.1.1 对变系数线性二阶微分方程 特解的探索关于变系数线性二阶微分方程 如何视查其特解，有如下的探索.（1）若，则为其特解. 特殊地：当，即时，为其特解. 当，即时，为其特解. 例：,为其特解；,为其特解；,为其特解；（2）若,则为其特解；（3）科西-尤拉方程(为常数)令去试探例： 解方程 令 ,a得 =0故有通解. 3.1.2 确定 的通解定理3.1 若方程 ，已知一个特解，则可用公式确立

12、其另一个特解：,且线性独立. 证明 令 , 则带入方程整理：由有 积分 从而 只要不是常数。则线性独立. 3.1.3 用常数变易法确定 的特解 定理3.2 设 的特解为其中 为对应奇次方程之特解，且线性独立，当为常系数仍可用此法求解. 3.1.4 应用举例例3.1 求 的通解解 是其特解，由公式 有 的通解为 设 的特解为由 解出， 的 通解为 3.2 二阶变系数线性微分方程的积分因子解法43.2.1 关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论定义3.1 对于一阶线性微分方程 (3.1)若存在非零可微函数,使得方程（3.1）两端同乘后可化为 (3.2)则称 为方程（3.1）的积分因子. 引

13、理3.3 非零可微函数是方程（3.1）的积分因子的充分必要条件是，此时，方程（3.1）的通解为定义3.2 对于二阶线性微分方程 (3.3) 若存在二阶非零可微函数 ，方程（3.3）两端同乘 后可化为 (3.4)则称 为方程（3.3）的积分因子. 定理3.3 二阶非零可微函数是方程（3.3）的积分因子的充分必要条件是 (3.5)此时可取，方程（3.3）的通解为 . 证明 必要性 若方程（3.3）存在积分因子，则有. 即,因而，必满足（3.5）. 充分性 由式（3.5），,带入方程 (3.3)，得，所以有，即，故为方程（3.3）的积分因子. 定义3.3 若存在二阶非零可微函数,方程（3.3）两端同

14、乘后可化为 (3.6)称为方程（3.3）的第一积分因子，为方程（3.4）的第二积分因子. 类似引理，定理3.2的讨论可得出定理3.3. 定理3.4 若存在二阶非零可微函数满足 （3.7）则 为方程（3.3）的积分因子.此时方程（3.3）的通解为. 3.2.2 讨论如何求出 记 ，则 ，于是 ，带入（3.7）式 ，于是 （3.8） （3.9）若能从方程（3.9）中解出，带入式（3.8）得到 ，则. 3.2.3 应用举例例3.2 解方程 解 取 ，因为 ,所以是原方程的积分因子，由定理3.2可知，方程 的解为. 3.3 二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法为确定起见，在以下讨论中规定一般的二阶线

15、性齐次常微分方程的标准形式为 (3.10)3.3.1 利用自变量的变换实现常系数化令，方程（3.10）化为 (3.11)可见方程（3.10）关于自变量代换保线性齐次性. 若变换能使方程（3.10）常系数化，则在式（3.11）中同时有 （常数） (3.12) (常数) (2.13)从式（3.13）解得 并代入（3.12）可得出. 结论1：若方程（3.10）的系数满足判别式（常数）， (3.14)则作变换 (3.15)方程（3.10）可常系数化为 (3.16)注意：(1) 常数，方程（3.10）可常系数化，变换系数仅通过式（3.15）由Q确定.若常数，方程虽不能经自变量代换常系数化，但变换式（3.

16、15）可使化为常数. (2) 若Q已为常数，从式（3.14）可知，由于常数（若P也是常数，则式（3.10）已为常系数方程），常数，即经自变量的代换不能使式（3.10）常系数化. (3) 通常选取使式（3.15）最简单. 3.3.2 利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化5 令 (3.17) 其中为x的已知函数，为新的未知函数，方程（3.10）可化为 (3.18)可见方程（3.10）可变换为式（3.16）保线性齐次性. 若变换式（3.16）能使方程（3.10）常系数化，则在式（3.17）中同时有 (常数) (3.19) (常数) (2.20)从式（3.19）解得 (3.21)代入式（3.20）可

17、得出结论2:若方程（3.10）的系数满足判别式(常数) (3.22)则经变换式（3.17），（3.11），方程（3.10）可常系数化为 (3.23) (3.24)注意：(1) 常数，方程（3.10）可经未知函数的线性变换常系数化，从式（3.21）可知，仅由确定.若常数，方程（3.10）虽不能经未知函数的变换常系数化，但总可根据式（3.21）选择 ，通过变换 使式（3.18）的系数 为常数. (2) 若原方程中已为常数，从式（3.22）可知一定不是常数，（若为常数，则也是常数，原方程已是常系数方程）；即通过未知函数的线性变换不能使方程（3.10）常系数化. (3) 通过选取使得表达式（3.22）

18、最简单（详见例题），由式（3.22）（3.24）确定. 3.3.3 应用举例例3.3 将Euler型方程常系数化为常数解 将方程化为标准形式（3.10），,利用判别式（3.14）常数可以经自变量的代换常系数化，根据式（3.15）需作变换 (取)当,因此，原Euler方程常系数化为例3.4 解 解 方程化为标准形式后根据式（3.14）检验判别式，即 ，方程可以常系数化，根据式（3.15）作变换 或 上列运算中已取.因此，方程常系数化为解之得为任意常数. 回到原来的变量4 三阶变系数线性微分方程的解法探讨为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数三阶微分方程的标准形式为： (4.1)下面将给出方程（

19、4.1）经自变量代换化为三阶常系数方程的充要条件. 为行文方便，先给出一个引理. 引理3.1 三阶线性方程（4.1）经自变量代换 (4.2)这里函数在所论区间上具有三阶连续导函数，且可化为方程 (4.3)其中 ， （4.4） (4.5)而以在所论区间上的反函数代人. 4.1方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件设在所论区间上，. 由引理4.1立即可得下述引理4.2. 引理4.2 自变量代换（4.2）将方程（4.1）化为三阶常系数线性方程的必要条件是 (4.6)(这里C为适当选取的非零函数，以使代换最简单). 在此带换下，方程（4.1）化为, (4.7)其中 ， （4.8）(4.9)而 以（

20、4.6）之反函数代人. 定理4.16三级线性方程（4.1）经自变量代换（4.6）化为三阶常系数方程 (4.10)的充分必要条件是 连续可微且 (4.11) (4.12)同时成立，其中是任意给定的常数. 证明 必要性 设在方程（4.7）中有，则由（4.8）（4.9）两式分别得 (4.13) (4.14)(4.13)是关于的贝努利（Bernoulli）方程，由此即知（4.11）式成立，再由（4.14）式解出，并注意到可由（4.13）式得到 及 则又有充分性证明从略，定理4.1证毕. 推论4.1 方程（4.1）经代换（4.6）化为常系数方程的充分必要条件是此时，若取,则所用代换（4.6）也可表为 (

21、4.15)推论4.2 方程（4.1）经代换（4.15）化为常系数方程的充分必要条件是，4.2 应用举例例4.1 求解 解 本题满足推论4.1的条件，经代换可化为常系数方程 ，最后可求得原方程的通解为(此处及以下文中，均为任意常数. )例4.2 求解 解 本题满足推论4.2的条件（对应于），该方程经代换可化为常系数方程 . 最后可求得原方程的通解为. 结束语由于求变系数常微分方程的通解迄今为止还没有一般的解法，本文在总结变系数一阶微分方程解法的基础上，着重对变系数二阶线性微分方程的解法进行了探讨. 通过求特解，积分因子，将变系数常系数化三种方法给出了一些特殊形式的二阶变系数线性微分方程通解的求法

22、，并且应用实例说明了这些求解方法的可行性. 最后又讨论了变系数三阶微分方程化为常系数方程的一些充要条件，对研究变系数微分方程的求解问题有一定参考价值. 参 考 文 献1 朱思铭，王寿松.常微分方程M.（第3版）.北京：高等教育出版社，2006.2 郑隆炘.关于变系数一阶微分方程的几个可积类型J.武汉教育学院.3 游潘丽.简议二阶变系数线性微分方程的解法J.西昌师范高等专科学校学报.2003，15（2）：97-99.4 张凤然，马金江.二阶变系数线性常微分方程的积分因子解法J.高等理科学刊.2008,28（6）：13-14.5 朱仁贵，宋蔚.一类二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法J.大学物理.1997,16（9）：6-7.6 吴檀，车克键.关于三阶线性微分方程的可积新类型J.1995,4:77-79. 致 谢本文是在贾保华老师的精心指导下完成的，老师在撰写过程中给予点拨、开启、指导并提出了诚恳的建议从论文的选题、写作、修改、直至最后定稿，无不倾注着老师大量的心血老师严谨求实的治学态度、兢兢业业的工作作风，是我学习的榜样，在此致以诚挚的谢意！我还要感谢数学计算机学院的全体老师，是他们一直以来的关怀和帮助，使我在大学四年有了非常大的进步！练题