因式分解掌握方法与技巧

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1、因 式分解一、因式分解的技巧：1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提 取公因式，再考虑其他方法。2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。(1) 当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式a2_b2=(a +b)(ab)。(2) 当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、 配方法。(3) 当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆(

2、添)项后 再分解。二.因式分解的方法：(一)提公因式法方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因 式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1.分解因式=，7为+約分析：此多项式各项都有公因式X因此可提取公因式X。(二)应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两 项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。例2.分解因式：+-(葢 分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。解：原式二(x + 2y)+(x-y)(2y)-(x-y)例3.分解因式 J+捡+40分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式

3、，因此考虑用完全平方公 式分解。解：原式二(a+2b分组分解法方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的 是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因 式的目的。下面介绍八种常见的思路：1. 按公因式分组：例4分解因式=m3 -mn + mp-np分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、 4项有公因式p，可将它们分别分为一组。解. 原式二(存一诃)十(mp - up)2. 按系数特点分组：例5.訐十廿-a-2分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1： 2,所以可考虑将 第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三

4、项和第二、四项分为一组。解.原式=)+ (-边-2)3. 按字母次数特点分组：例6.分解因式：4a3-b3 2b分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。解：原式=(拧-) + (4富-羽4. 按公式特点分组:例7分解因式 9-，+2町-丫分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上 运用平方差公式。5. 拆项分组:例 8.分解因式=X3 -y2 -2s-4y-3分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-4+1,再适当分组，达到因式分 解的目的。解.原式二（黑2 _ 2童十1） _ （y卫十幻十4=仗一 1)2 -(7十窈仗-1) + (?+ 即

5、仗-1)-(7* 二仗一l + y+2)仗一_y_2)=(x + y + l)(x y 7.换元分组：例9.分解因式：（迟+卩一 2今壮+y - 2） +脚一 1）分析：观察代数式中的x+y, xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。解：设z + y 二xy = n,则原式二(rn _ 2) + (n_ 1)=m2 2mn- 2m 十4：n +n2 - 2n + 1=(m? 2mn + J) +2m 4- 2n) +1、l=(tn _ n) 2(m _ nJ 4- 1（四）待定系数法方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数, 求出字母系数，从而把多项式因式分解。例io.

6、分解因式= x4 - s3 -5x2 -6-4分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解:盘$ _盘_ jg? _斗二紂 + 亦 + ck + d=盘* +(边 + c)护 +(血 + b +(1 撐 + (ad +bc) + bd利用恒等式的性质可得:日十匚-1ac +b -I- d = -5 ad -I- b c = -6解之潯bd = -4a = 1b二 1c = -2d = -4原式二H十芷十1）（忑卫一 2厘一4）（五）十字相乘法：方法介绍：对于mx2+px+q形式的多项式，如果ab=m, cd=q且ac +bd=p,则多项式可因式分解为：（ax+d）（bx+c

7、）。例11.分解因式:7z2-19k-6分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式:（六）巧用换元法：方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次, 化繁为简的目的。1.取相同部分换元例12.分解因式；何-亦+即阿-知- 2）-孙分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m2- 5m看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。解：设 nt?-= 则原式二(y +3)(y- 2)-36分解因式:1、X4 - 2X3 - 35X23 、25(x一 2y)2 一 4(2y 一 x)24、 x2 一 4xy 一 1 + 4y25、x5

8、- x6、x3 -17、ax2 - bx2 - bx + ax + b - a8、x4 -18x2 + 812、3x6 - 3x 29、9x4 一 36y210、 (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 24(1)(x+p)2 (x+q)2；(2)16(a-b)2-9(a+b)2；1. 2x2 - llx - 21 =2. 5x2 - 7x - 6 = 3. 15x2 + x - 2 = 4. 6x2 - 25x + 4 =5. (x 一 4)G 5) 42 = 6. (x - 5-(5 - x)- 42 = 7. x2 - 7x - 30 =8. 9x2 - 30x + 25

9、 = 9. 7x2 -19x - 6 = 10. - 20x2 + 9x + 20 = 11. 36x2 + 39x + 9 =12. 9x4 - 35x2 - 4 = 13. 9x4 - 37x2 + 4 = 14. 7(x -1)2 + 4(1 - x)(y + 2)- 20(y + 2)2 =15. xy2 - 2xy - 3x - y2 - 2y -1 = 16. 20a3bc - 9a2b2c - 20ab3c =17. (x 一 2)(x 一 1)3 - (x 一 2(x 一 1)=18. a3 4ab2 a 2b =19. 1 一 a2 一 b2 + a2b2 =20 x2 (y

10、 - z )+ y2 (z - y)=21 (x - y)3 - 4(x - y)C + b)2 =22 a3b ab a2 +1 =23(x 一 1)(x + 2)3 + (1 一 x)3(2 + x )=24 x2 y2 一 9x2 一 4 y2 + 36 =25. a 2b 2a2 + 8b2 =26 x2 一 y2 + 2 yz 一 z2 =27 a 4 一 2a 2 b 2 + b 4 =28 . G xy )2 (x y )2 =29. a2 + b2 + c2 一 2ab 一 2bc + 2ac =30. 4(a + b)2 4a 4b +1 =31. x2 一 y2 一 2 y

11、z 一 z2 =32. a2 ab 2a + b +1 =33 ab + 2bc 一 ac 一 b2 一 c2 =34 b 2 x 2 + a (a + 2b )=35. x2 + 2xy 一 2x 一 2y +1 =36. xy2 2xy y2 + x + 2 y 1 =37. 4x2 + y2 一 a 2 一 b2 + 4xy + 2ab =38. x2 +14x + 49 =39 9x2 + 6x +1 =40 9x 2 66x +121 =41 36 x2 1 12 x =42 9a 2 24ab + 16b 2 =43 寸 x 2 + * xy + * y 2 =2515944. 9 x 2 24 xy 2 +16 y 4 =45 . a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 =46. (a + 2b+ 10(a + 2b)+ 25 =47. 49(a b)2 42(a bit + 9x2 =48. 5a3 + 10a2 5a =49 x2 81 =50 16 x 2 49 =51. 4a2 25b2 =52.1 4 x 2 y 2 =53. 2 18x2 =54. 16 x 3 4 x =55. a2 4a2b2 =56. 16 (2 x 3 y =57. (2x 1)2 (4x + 3)2 =58. 4(x + 2 y)2 25 =