（课标专用）2020届高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列课件 文

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1、第六章 三角函数6.3等比数列高考文数高考文数(课标专用)考点一等比数列及其性质考点一等比数列及其性质五年高考A A组组统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组1.(2019课标全国,6,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2答案答案C本题主要考查等比数列的性质;以等比数列的前n项和公式为载体考查学生的运算求解能力;体现了数学运算的核心素养.设等比数列的公比为q,由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1,q2=4,又an0,q=2,由S4=15,解得a1=1.a3=a1q2=4,故选C.易错警示易错警示对an

2、=a1qn-1和Sn=(q1)未能熟练掌握,从而导致失分.2.(2015课标,9,5分)已知等比数列an满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.答案答案C解法一:设an的公比为q,则an=.由a3a5=4(a4-1)得=4,即(q3-8)2=0,解得q3=8,q=2,因此a2=.解法二:设an的公比为q,由等比数列的性质可知a3a5=,=4(a4-1),即(a4-2)2=0,得a4=2,则q3=8,得q=2,则a2=a1q=2=,故选C.3.(2019课标全国,18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式;(

3、2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.解析解析本题主要考查等比数列的概念及运算、等差数列的求和;考查学生的运算求解能力;体现了数学运算的核心素养.(1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为1+3+2n-1=n2.4.(2018课标全国,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求a

4、n的通项公式.解析解析(1)由条件可得an+1=an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n2n-1.方法规律方法规律等比数列的判定方法:证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于选择题、填空题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.考点二等比数列的前考点二等

5、比数列的前n n项和项和1.(2019课标全国,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=.答案答案解析解析本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.设公比为q(q0),则S3=a1+a2+a3=1+q+q2=,解得q=-,a4=a1q3=-,S4=S3+a4=-=.2.(2015课标,13,5分)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.答案答案6解析解析由已知得an为等比数列,公比q=2,由首项a1=2,Sn=126得=126,解得2n+1=128,n=6.3.(2018课标

6、全国,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.解析解析本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式.(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.思路分析思路分析(1)根据已知,建立含有q的方程求得q并加以检验代入等比数列的通项公

7、式(2)利用等比数列前n项和公式与已知建立等量关系即可求解.易错警示易错警示解方程时,注意对根的检验.求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值,避免错解.4.(2017课标全国,17,12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解析解析本题考查了等差、等比数列.设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.联立和解得(舍去),或因此bn的通项公式为bn=

8、2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.B B组组自主命题自主命题省省(区、市区、市)卷题组卷题组考点一等比数列及其性质考点一等比数列及其性质1.(2018北京,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.fB.fC.fD.f答案答

9、案D由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f,公比为的等比数列,设此数列为an,则a8=f,即第八个单音的频率为f,故选D.易错警示易错警示本题是以数学文化为背景的实际应用问题,忽略以下几点容易造成失分:读不懂题意,不能正确转化为数学问题.对要用到的公式记忆错误.在求解过程中计算错误.2.(2015广东,13,5分)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=.答案答案1解析解析a,b,c成等比数列,b2=ac=(5+2)(5-2)=1,又b0,b=1.考点二等比数列的前考点二等比数列的前n n项和项和1.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为

10、Sn.已知S3=,S6=,则a8=.答案答案32解析解析本题考查等比数列及等比数列的前n项和.设等比数列an的公比为q.当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意,q1,由题设可得解得a8=a1q7=27=32.2.(2017北京,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.解析解析(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3

11、=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=.方法总结方法总结求解有关等差数列和等比数列问题的关键是对其基本量(首项,公差,公比)进行求解.对于数列求和问题,常用的方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法和分组转化法等.1.(2013课标,6,5分)设首项为1,公比为的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2anC C组教师专用题组组教师专用题组答案答案D解法一:因为a1=1,公比q=,所以an=,Sn=31-=3-2=3-2an,故选D.

12、解法二:采用特殊值法.当n=2时,S2=a1+a2=,且2a2-1,3a2-2,4-3a2,3-2a2=,所以选D.2.(2015浙江,10,6分)已知an是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=,d=.答案答案;-1解析解析a2,a3,a7成等比数列,=a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),解得d=-a1,2a1+a2=1,3a1+d=1,由可得a1=,d=-1.3.(2012课标全国,14,5分)等比数列an的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=.答案答案-2解析解析由S3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4

13、+4q+q2=0,解得q=-2.4.(2016北京,15,13分)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.解析解析(1)等比数列bn的公比q=3,(1分)所以b1=1,b4=b3q=27.(3分)设等差数列an的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.(5分)所以an=2n-1(n=1,2,3,).(6分)(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.(8分)从而数列cn的前n项和Sn=1+3

14、+(2n-1)+1+3+3n-1=+=n2+.(13分)评析评析本题考查了等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,属容易题.5.(2015四川,16,12分)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.解析解析(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=

15、2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得=.所以Tn=+=1-.评析评析本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识,考查运算求解能力.6.(2015重庆,16,13分)已知等差数列an满足a3=2,前3项和S3=.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b1=a1,b4=a15,求bn的前n项和Tn.解析解析(1)设an的公差为d,则由已知条件得解得a1=1,d=,故通项公式为an=1+,即an=.(2)由(1)得b1=1,b4=a15=8.设bn的公比为q,则q3=8,从而q=2,故bn的前n项和Tn=2n-1.评析

16、评析本题考查等差、等比数列的基本量计算,考查运算求解能力.7.(2011全国,17,10分)设等比数列an的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.解析解析设an的公比为q,由题设得解得或当a1=3,q=2时,an=32n-1,Sn=3(2n-1);当a1=2,q=3时,an=23n-1,Sn=3n-1.8.(2010大纲,18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2,a3+a4+a5=64.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.解析解析(1)设公比为q,则an=a1qn-1,由已知有化简得又an0,故q=2,a1=1,所

17、以an=2n-1.(2)由(1)知bn=+2=4n-1+2.因此Tn=(1+4+4n-1)+2n=+2n=(4n-41-n)+2n+1.考点一等比数列及其性质考点一等比数列及其性质三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2019湖南衡阳一模,5)在等比数列an中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是()A.6B.-8,8C.-8D.8答案答案Da1a3=4,a4=4,a2=2,q2=2,a6=a2q4=24=8,故a6的所有可能值构成的集合是8,故选D.2.(2019江西九江一模,3)等比数列an中,若a4a5a6=

18、8,且a5与2a6的等差中项为2,则公比q=()A.2B.C.-2D.-答案答案B因为an是等比数列,a4a5a6=8,所以(a5)3=8,解得a5=2,由a5与2a6的等差中项为2,得a5+2a6=4,解得a6=1,则q=.故选B.3.(2017安徽淮北二模,3)5个数依次组成等比数列,且公比为-2,则其中奇数项和与偶数项和的比值为()A.-B.-2C.-D.-答案答案C由题意可设这5个数分别为a,-2a,4a,-8a,16a,a0,故奇数项和与偶数项和的比值为=-,故选C.4.(2019山西3月高考考前适应性测试,6)正项等比数列an中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,且a5与a9的

19、等差中项为4,则an的公比是()A.1B.2C.D.答案答案D设公比为q,由正项等比数列an中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,可得+2a3a7+=(a3+a7)2=16,即a3+a7=4,由a5与a9的等差中项为4,得a5+a9=8,则q2(a3+a7)=4q2=8,则q=(舍负),故选D.5.(2018山东菏泽第一次模拟,6)等比数列an中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的两个实数根,则的值为()A.2B.-或C.D.-答案答案Ba2,a16是方程x2+6x+2=0的根,a2+a16=-6,a2a16=2,a20,a160,q0或a10,=a9=.故选B.6.(2017福建4月

20、模拟,6)已知递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn0,则()A.a10,0q1B.a11C.a10,0q0,q1答案答案ASn0,a1an,且|an|an+1|,则-an-an+10,则q=(0,1),a10,0q1,a10或0q1,a11,a10或0q0时,数列an为递减数列.7.(2019广东东莞第一次统考,8)已知an是等差数列,bn是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,则a2018+b9=()A.2274B.2074C.2226D.2026答案答案A设等差数列an的公差为d,正项等比数列bn的公比为q,q0,b1=1,b3=b2+2,

21、b4=a3+a5,b5=a4+2a6,q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1.则a2018+b9=1+2017+28=2274.故选A.考点二等比数列的前考点二等比数列的前n n项和项和1.(2019湘赣十四校第二次联考,4)中国古代著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问最后一天走了()A.6里B.12里C.24里D.96里答案答案A由题意可得,每

22、天行走的路程构成等比数列,记作数列an,设等比数列an的首项为a1,公比为q,则q=,依题意有=378,解得a1=192,则a6=192=6,最后一天走了6里,故选A.2.(2018山西太原模拟考试(二),4)已知公比q1的等比数列an的前n项和为Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=()A.1B.5C.D.答案答案D由题意得=3a1q2,解得q=-或q=1(舍),所以S5=,选D.3.(2017广东深圳一模,4)已知等比数列an的前n项和Sn=a3n-1+b,则=()A.-3B.-1C.1D.3答案答案A等比数列an的前n项和Sn=a3n-1+b,a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+

23、b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,等比数列an中,=a1a3,(2a)2=(a+b)6a,解得=-3.故选A.4.(2019广东揭阳一模,6)已知数列an满足(n+1)an=nan+1(nN*),a2=2,等比数列bn满足b1=a1,b2=a2,则bn的前6项和为()A.-64B.63C.64D.126答案答案B因为(n+1)an=nan+1,所以2a1=a2=2,a1=1,因此等比数列bn的公比q=2,所以bn的前6项和为=63,选B.5.(2019福建模拟考试,7)已知等比数列an的前n项和为Sn,若S10=20,S30=140,则S40=()A.280B.30

24、0C.320D.340答案答案B设等比数列an的公比为q,由题意易知q1,所以=20,=140,两式相除得=7,化简得q20+q10-6=0,解得q10=2,所以S40=S30+S10q30=140+160=300,故选B.一题多解一题多解由题意知S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-20)2=20(140-S20),解得S20=60,=2,S40-S30=S1023,S40=S30+S1023=300.故选B.6.(2018华大新高考联盟4月教学质量检测,14)设等比数列an的前n项和为Sn,若a3a11

25、=2,且S4+S12=S8,则=.答案答案解析解析an是等比数列,a3a11=2,=2,q4=2,S4+S12=S8,+=,1-q4+1-q12=(1-q8),将q4=2代入计算可得=.B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组(时间:40分钟分值:70分)一、选择题(每题5分,共25分)1.(2019安徽蚌埠第二次教学质量检查,10)等差数列an的公差为d,若a1+1,a2+1,a4+1成以d为公比的等比数列,则d=()A.2B.3C.4D.5答案答案A由题意知a1+1,a1+1+d,a1+1+3d成以d为公比的等比数列,故=d,=d,所以=,化简

26、得a1+1=d,则d=2,故选A.2.(2019河北沧州全国统一模拟,7)已知等比数列an的公比为2且a2,a3+2,a4成等差数列,若=32,则n为()A.4B.5C.8D.10答案答案A因为等比数列an的公比为2且a2,a3+2,a4成等差数列,所以2(a3+2)=a2+a4,即2(4a1+2)=2a1+8a1,解得a1=2,所以an=2n,所以a1a2an=21+2+n=,又=32,因此=32,所以=5,解得n=4.故选A.3.(2019福建宁德期末质量检测,11)某市利用第十六届省运会的契机,鼓励全民健身,从2018年7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月份投放A型健身器材

27、300台,B型健身器材64台,计划从8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2000台,则a的最小值为()A.243B.172C.122D.74答案答案D将每个月的投放量列表如下:则有64(1.5+1.52+1.53+1.54+1.55)+64+300+5a2000,解得a74,所以a的最小值为74,故选D.月份投放量(台)789101112A300aaaaaB64641.5641.52641.53641.54641.554.(2018河南六市第一次联考(一模),10)若正项递增等比数列an满足1+(a2

28、-a4)+(a3-a5)=0(R),则a6+a7的最小值为()A.-2B.-4C.2D.4答案答案Dan是正项递增的等比数列,a10,q1,由1+(a2-a4)+(a3-a5)=0,得1+(a2-a4)+q(a2-a4)=0,1+q=,a6+a7=a6(1+q)=(q2-1)+2+2+2=4(q2-10),当且仅当q=时取等号,a6+a7的最小值为4.故选D.5.(2017河南洛阳期中,11)已知Sn为等比数列an的前n项和,S8=2,S24=14,则S2016=()A.2252-2B.2253-2C.21008-2D.22016-2答案答案B设an的公比为q,由题意知q1.Sn为等比数列an

29、的前n项和,S8=2,S24=14,=2,=14,由得到q8=2或q8=-3(舍去),=2,则a1=2(q-1),S2016=2253-2.故选B.特别提醒特别提醒1.对于等比数列的有关计算问题,可类比等差数列问题进行,在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法,同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用.2.在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论.二、填空题(每题5分,共10分)6.(2019河南洛阳第二次统考,14)等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a8a13=64,则log2a1+log2a2+log2a20=.答案答案50解析解析由等比数列的性质可得

30、a10a11=a8a13,所以a10a11+a8a13=2a10a11=64,所以a10a11=32,所以log2a1+log2a2+log2a20=log2(a1a2a3a20)=log2(a1a20)(a2a19)(a3a18)(a10a11)=log2(a10a11)10=log23210=50.7.(2018广东佛山教学质量检测(二),16)数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=3-,nN*,则a1+a2+an=.答案答案1-解析解析因为a1+3a2+(2n-1)an=3-,所以a1+3a2+(2n-3)an-1=3-(n2),两式相减得(2n-1)an=(n2),an=(n2)

31、,当n=1时,a1=3-=适合上式,an=(nN*),因此a1+a2+an=1-.方法总结方法总结给出Sn与an的递推关系求an的常用思路:一是利用an=Sn-Sn-1,n2转化为关于an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.应用an=时,一定要注意分n=1,n2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.三、解答题(共35分)8.(2019安徽淮南二模,17)记Sn,q分别为等比数列an的前n项和与公比,已知a2=9,S3=-21,|q|1.(1)求an的通项公式;(2)求的前n项和Tn.解析解析(1)由题设可得解得q=-3或q=

32、-.|q|1,q=-3.a1=-3.故an的通项公式为an=(-3)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-3)n.所以是以-为首项,-3为公比的等比数列,Tn=-+(-3)n.9.(2019河南名校联盟尖子生第六次联合调研,17)已知数列an满足a1=0,且an+1-1=2an(nN*).(1)求证:数列an+1为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.解析解析(1)证明:an+1-1=2an,an+1+1=2(an+1),又a1+1=1,数列an+1是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an+1=(a1+1)2n-1=2n-1,an=2n-1-1.Sn=a1+a2+a3+an=

33、(20-1)+(21-1)+(22-1)+(2n-1-1)=(20+21+22+2n-1)-n=2n-n-1.10.(2019湖北武汉4月毕业班调研,17)已知正项等比数列an的前n项和Sn满足S2+4S4=S6,a1=1.(1)求数列an的公比q;(2)令bn=an-15,求T=|b1|+|b2|+|b10|的值.解析解析(1)由题意可得q1,由S2+4S4=S6,可知+4=,(1-q2)+4(1-q4)=1-q6,而q1,q0,1+4(1+q2)=1+q2+q4,即q4-3q2-4=0,(q2-4)(q2+1)=0,q=2.(2)由(1)知an=2n-1,则an的前n项和Sn=2n-1,当n5时,bn=2n-1-150,n4时,bn=2n-1-150,T=-(b1+b2+b3+b4)+(b5+b6+b10)=-(a1+a2+a3+a4-154)+(a5+a6+a10-156)=-S4+S10-S4+60-90=S10-2S4-30=(210-1)-2(24-1)-30=210-25-29=1024-32-29=963.